1、5.1导数的概念5.1.1平均变化率学习目标1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题导语恩格斯说“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动”，大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现；比如火箭的发射、F1的赛道上，也能让我们感受到速度与激情一、平均变化率的概念问题如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？提示陡峭程度反应了气温变化
2、的快与慢；AB两点相差31天，气温增加了15.1C，则有0.5；而BC两点相差2天，气温增加了14.8C，则有7.4，我们用比值刻画了变量变化的快慢程度，比值称为函数在某一区间上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”知识梳理1一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.2平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”注意点：(1)函数在区间x1，x2上有意义(2)在式子中，x2x10，而f(x2)f(x1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(4)作用：刻画函数值在区
3、间x1，x2上变化的快慢例1(教材174页例1改编)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力试用数学语言给出解释解从A处到B处高度的平均变化率为，从B处到C处高度的平均变化率为，由，知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力反思感悟平均变化率的大小反映了某过程在单位时间内或单位距离内的变化的快与慢跟踪训练1某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别
4、计算前5年与后5年森林面积的平均变化率解前5年森林面积的平均变化率为0.8(公顷/年)后5年森林面积的平均变化率为1.6(公顷/年)二、实际问题中的平均变化率例2 (教材174页例2改编)2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1 500 m处开始实施动力下降，7 500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则()Av m/s，a m/s2Bv m/s，a m/s2Cv m/s，a m/s2Dv m/s，a m/s2答案D解析
5、探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以v m/s；探测器的速度逐渐减小，所以a m/s2.反思感悟平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等分清自变量和因变量是解决此类问题的关键跟踪训练2蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T15，其中T为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则t0到t10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为_/min.答案1.6解析1.6(/min)，从t0到t10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为1.6 /min.三、函数中的平均变化率例3(教材175页例3、例4改编)(1)计算函数yf(x)x2从x1到x1x的
6、平均变化率，其中x的值为：2；1；0.1；0.01；(2)思考：当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)因为f(1x)f(1)(1x)212(x)22x，所以x2.当x2时，平均变化率为x24，即函数f(x)x2在区间1,3上的平均变化率为4；当x1时，平均变化率为x23，即函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为3；当x0.1时，平均变化率为x22.1，即函数f(x)x2在区间1,1.1上的平均变化率为2.1；当x0.01时，平均变化率为x22.01，即函数f(x)x2在区间1,1.01上的平均变化率为2.01.(2)当x越来越小时，函数f(x)
7、在区间1,1x上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.反思感悟求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量x2x1.(2)求函数值的改变量f(x2)f(x1)(3)求平均变化率.跟踪训练3(1)求函数f(x)3x22在区间2,2.1上的平均变化率；(2)求函数g(x)3x2在区间2，1上的平均变化率解(1)函数f(x)3x22在区间2,2.1上的平均变化率为12.3.(2)函数g(x)3x2在区间2，1上的平均变化率为3.1知识清单：(1)平均变化率(2)平均变化率的几何意义及应用2方法归纳：转化法3常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错1如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率等于()
8、A1 B1C2 D2答案B解析平均变化率为1.故选B.2一物体的运动方程是S32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4 B2 C0.3 D0.2答案B解析2.3设函数f(x)x21，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是()A2.1 B0.21 C1.21 D0.121答案A解析x1.110.1，yf(1.1)f(1)1.121(121)0.21，所以函数f(x)x21在区间1,1.1上的平均变化率为2.1.4如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间0,2上的平均变化率为_. 答案解析由折线图知，f(x)所以该变量在区间0,2上的平均变化率为.课时对点练1已知函数y2，当
9、x由1变到2时，函数值的改变量y等于()A. B C1 D1答案B解析y(21).2已知函数f(x)x22，则该函数在区间1,3上的平均变化率为()A4 B3 C2 D1答案A解析f(3)11，f(1)3，该函数在区间1,3上的平均变化率为4.3甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是()A甲厂 B乙厂 C两厂一样 D不确定答案B解析在t0处，虽然有W甲(t0)W乙(t0)，但W甲(t0t)s1s0，t1t00，所以，故C正确，D错误7若函数f(x)x2x在区间上的平均变化率为2，则t_.答案58已知函数ysin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k
10、2的大小关系为_答案k1k2解析当x时，平均变化率k1，当x时，平均变化率k2，k1k2.9已知函数f(x)x23x在0，m上的平均变化率是函数g(x)2x1在1,4上的平均变化率的3倍，求实数m的值解函数g(x)在1,4上的平均变化率为2.函数f(x)在0，m上的平均变化率为m3.令m323，得m3.10为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能解甲车速度的平均变化率为5(m/s2)乙车速度的平均变化率为4.5(m/s2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的
11、速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好11函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是()A. B. C. D.答案C解析函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，0且x相同，由图象可知函数在区间上的最大所以函数f(x)在区间上的平均变化率最大12已知函数f(x)x2x的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()A3 B3x(x)2C3(x)2 D3x答案D解析yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(2)3x(x)23x.13某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2
12、021年10月1日1235 0002021年10月15日6035 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A6升 B8升 C10升 D12升答案C解析由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V60(升)，这段时间的行驶里程数S35 60035 000600(千米)，故这段时间，该车每100千米平均耗油量为10010(升)，故选C.14某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示cc(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：t/min01020304050607080
13、90c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后3070 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为_mg/(mLmin)答案0.002解析0.002mg/(mLmin)15将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率为，则m的值为_答案2解析体积的增加量Vm3(m31)，所以，所以m2m17，所以m2或m3(舍)16圆柱形容器，其底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率解设液体放出t秒后液面高度为y m，则12y1210.01t，y1t，液面高度的平均变化率为，故液面高度的平均变化率为.
