1、5.3.2极大值与极小值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件导语同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点这就是我们今天要研究的函数的极值一、函数极值概念的理解问题1如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？提示在x1，x3，x5处是山峰，在x2
2、，x4处是山谷问题2你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？提示以山峰xx1处为例来研究，在xx1处，它附近的函数值都比它小，且在xx1处的左侧函数是单调递增的，且有f(x)0，在xx1处的右侧函数是单调递减的，且有f(x)0，当x(x1，x1)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；当x(x2，x2)时，都有f(x)f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的
3、局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f(x0)0，则x0不一定是极值点，即f(x0)0是f(x)在xx0处取到极值的必要不充分条件，函数yf(x)的变号零点，才是函数的极值点例1函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间(3,5)上是增函数；函数yf(x)在区间上是减函数；函数yf(x)在区间(2,2)上是增函数；当x时，函数yf(x)有极大值；当x2时，函数yf(x)有极大值则上述判断中正确的序号是_答案解析对于，当x(3,4)时，f(x)0，f(x)是增函数，所以错误；
4、对于，当x时，f(x)0，f(x)是增函数，当x(2,3)时，f(x)0，f(x)是增函数，所以正确；对于，当x(2,2)时，f(x)0，f(x)是增函数，故当x时，f不是极大值，所以错误；对于，由知当x2时，函数yf(x)取得极大值，所以正确反思感悟解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值跟踪训练1已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)在区间内的极小值点
5、的个数为()A1 B2 C3 D4答案A解析由图象，设f(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中cd，知在(，c)，(d，b)上f(x)0，所以此时函数f(x)在(，c)，(d，b)上是增函数，在(c，d)上，f(x)0，此时f(x)在(c，d)上是减函数，所以xc时，函数取得极大值，xd时，函数取得极小值则函数yf(x)的极小值点的个数为1.二、求函数的极值(点)例2(1)关于函数f(x)的极值点，下列判断正确的是()Af(x)只有1个极值点，且该极值点为极小值点Bf(x)有2个极值点，且x为极值点Cf(x)只有1个极值点，且该极值点为极大值点Df(x)有2个极值点，且x为极大
6、值点答案A解析f(x)，当x时f(x)0，f(x)为减函数；当x1时f(x)0，f(x)为增函数故函数只有一个极值点，且x是极小值点(2)求函数f(x)x33x29x5的极值解函数f(x)的定义域为R.f(x)3x26x9，令f(x)0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x1时，函数yf(x)有极大值，且f(1)10；当x3时，函数yf(x)有极小值，且f(3)22.反思感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次
7、将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况跟踪训练2(1)“a2”是“函数f(x)ex在上有极值”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案A解析f(x)ex，则f(x)ex，令f(x)0，可得xa1.当xa1时，f(x)a1时，f(x)0.函数yf(x)在xa1处取得极小值若函数yf(x)在上有极值，则a10，a1.因此“a2”是“函数f(x)ex在上有极值”的充分不必要条件(2)求函数f(x)x3x的极值解函数f(x)的定义域为R.令f(x)0，得3x210，解得x或x
8、.当x变化时，f(x)和f(x)变化情况如下表：xf(x)00f(x)f(x)在x处取得极大值，在x处取得极小值.三、由极值求参数的值或范围例3(1)已知函数f(x)x3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，则a_，b_.答案39解析f(x)3x22axb.由题意知，1,3是3x22axb0的两个根，a3，b9.(2)已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3
9、.故实数m的取值范围是(3，)反思感悟已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立跟踪训练3若函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(
10、x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上是增函数，在(2,2)上是减函数，在(2，)上是增函数根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知a0；x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函数，在(2,4)上是减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点2(多选)已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个增区间是()A(，2) B(3，)C(2，) D(，3)答案AB解析f(x)6x
11、22ax36，且在x2处有极值，f(2)0，即244a360，解得a15，f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)0得x2或x3.3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案D解析令f(x)exxex(1x)ex0，得x1.当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.故x1为f(x)的极小值点4已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则a_， b_.答案24解析f(x)3x22axb，由题意知即解得经验证知符合题意课时对点练1下列函数
12、中存在极值的是()Ay ByxexCy2 Dyx3答案B解析对于yxex，y1ex，令y0，得x0.在区间(，0)上，y0；在区间(0，)上，y0.故当x0时，函数yxex取得极大值2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数yf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取
13、得极大值，在x2处取得极小值3函数f(x)(x1)ex的极小值点为()A(0，1) B(0,0) C1 D0答案D解析由题意得f(x)ex(x1)exxex，故f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数，故当x0时，f(x)的极小值为f(0)1，故极小值点为0.4已知a是函数f(x)x312x的极小值点，则a等于()A4 B2 C4 D2答案D解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)是增函数；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)是减函数，f(x)的极小值点为a2.5函数f(x)x3ax2bxa2a在
14、x1处有极值为7，则a等于()A3或3 B3或9 C3 D3答案C解析f(x)3x22axb，解得或当a3，b9时，f(x)3x26x93(x1)(x3)，当3x1时，f(x)1时，f(x)0，x1是极小值点；当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，x1不是极值点a3.6(多选)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的值可以是()A4 B3 C6 D8答案AD解析由题意知f(x)3x22ax(a6)0有两个不相等的根，所以4a212(a6)0，解得a6或a3.7已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_答案(，1
15、)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.8已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，如果函数f(x)在x1处取得极值，则b_，c_.答案13解析f(x)x22bxc，由解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x0，当x1时，f(x)0)由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，
16、解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上是增函数故f(x)在x1处取得极小值，极小值为f(1)3，无极大值10设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，得x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲
17、线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点11设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()答案C解析因为f(x)在x2处取得极小值，所以当x2时，f(x)为减函数，即f(x)0；当x2时，f(x)为增函数，即f(x)0.所以当x2时，yxf(x)0；当x2时，yxf(x)0；当2x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0.结合选项中的
18、图象知选C.12若函数f(x)exaxb在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，1) D(1，)答案B解析由题意知f(x)exa.当a0时，f(x)0恒成立，则f(x)在R上为增函数，不符合题意；当a0时，令f(x)0，解得xln a，当x(，ln a)时，f(x)0.可知xln a为f(x)的极值点，ln a0，得x3；令f(x)0，得2x0，得x或x3；令f(x)0，得3x.此时，函数yf(x)在x3处取得极大值，符合题意综上所述，a3.14若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_答案1,5)解析f(x)3
19、x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根又函数f(x)3x22xa的对称轴为x.应满足1a5.15.已知函数f(x)ax3bx2cx的图象如图所示，且f(x)在xx0与x2处取得极值，则f(1)f(1)的值一定()A等于0 B大于0C小于0 D小于或等于0答案B解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0，则x0和2是该方程的根x020.由题图知，f(x)0，则b0，f(1)f(1)2b，f(1)f(1)0.16已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，当实数a时，求函数f(x)的单调区间与极值解f(x)x2(a2)x2a24aex
20、.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a，得2aa2.分以下两种情况讨论：若a，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.
