1、5.3平面向量的数量积 与平面向量的应用,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,自测点评,1.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义:|a|b|cos叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos.(2)向量数量积的性质:如果e是单位向量,则ae=ea=;ab?;|ab|a|b|.,|a|cos,ab=0,|a|2,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,自测点评,(3)数量积的运算律:交换律:ab=;分配律:(a+b)c=;对R,(ab)=(a)b=a(b).(4)数量积的坐标运算:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=;ab?;
2、|a|=;cos=.,ba,ac+bc,a1b1+a2b2,a1b1+a2b2=0,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,射影,数量,数量,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,3.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:ab(b0)? .(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质ab? (a,b均为非零向量).(3)求夹角问题,利用夹角公式cos =(为a与b的夹角).,a=b,x1y2
3、-x2y1=0,ab=0,x1x2+y1y2=0,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,4.向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,5.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,6.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合
4、成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=(为F与s的夹角).,|F|s|cos ,2,-9-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负. ()(2)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,所以ab0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因为ab=0时,有可能ab.3.在实数运算中,若a,bR,则|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c.但对于向量a,b却有|ab|
5、a|b|;若ab=ac(a0),则b=c不一定成立,原因是ab=|a|b|cos ,当cos =0时,b与c不一定相等.4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.,-15-,考点1,考点2,考点3,例1(1)(2017浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I10),函数f(x)=mn+3,若函数f(x)的图象的两个相邻,B,2,-34-,考点1,
6、考点2,考点3,A,-35-,考点1,考点2,考点3,-36-,考点1,考点2,考点3,-37-,考点1,考点2,考点3,-38-,考点1,考点2,考点3,-39-,考点1,考点2,考点3,1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a与b的夹角.,-40-,考点1,考点2,考点3,2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或解决最值问题常用的方法与技巧.4.解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知
7、条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决.5.解决向量与解析几何的综合问题,可将向量用点的坐标表示,利用向量运算及性质转化为解析几何问题.6.向量中有关最值问题的求解思路:一是“形化”,利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题;二是“数化”,利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.,-41-,考点1,考点2,考点3,1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏共线的情况.2.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立.3.注意向量夹角和三角形内角的关系.,-42-,思想方法数形结合思想在数量积中的应用典例若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为 ,则与的夹角的取值范围是.,-43-,-44-,反思提升求向量夹角的取值范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.求向量夹角的取值范围问题,根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合确定夹角的取值范围.,
