1、高考中的导数应用问题,高考专题突破一,考点自测,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,考点自测,1,2,3,4,5,解析,答案,解析f(x)2cos x2,2，,当两函数的切线平行时，xp0，xQ1.,2.(2017全国)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为 A.1 B.2e3 C.5e3 D.1,1,2,4,5,解析,3,答案,解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1.由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1. 所以f(x)(x2x1)ex1，f(
2、x)ex1(x2x2).由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)1. 故选A.,1,2,4,5,3,解析,3.设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当ag(x)B.f(x)g(x)f(a)D.f(x)g(b)g(x)f(b),答案,解析f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当af(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a).,1,2,4,5,3,4.若函数f(x)2x33mx26x在区间
3、(2，)上是增加的，则实数m的取值范围为_.,解析,答案,解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，,1,2,4,5,3,5.(2017江苏)已知函数f(x)x32xex ，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是 .,解析,1,2,4,5,3,答案,因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a).,3x20，当且仅当x0时“”成立，所以f(x)在R上是增加的，所以2a21a，即2a2a10，,1,2,4,5,3,题型分类深度剖析,例1 (2018沈阳质检)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1
4、)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；,题型一利用导数研究函数性质,解答,解由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)，,当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)是增加的；,所以当a0时，函数g(x)的递增区间为(0，)；,(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围.,解答,解由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)是增加的，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是减少的，当x(1，)时，f(x)0，f(x)是增加的，所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意；,可得当x(0,1)时，f(x)0，,所以f(x)在x1处取得极小值，不
5、符合题意；,所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)是减少的，不符合题意；,当x(1，)时，f(x)0，f(x)是减少的.所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意.,利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f(x)的单调性，可转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.,解答,跟踪训练1 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex (xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的递增区间；,解当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(
6、2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，,解答,(2)若函数f(x)在(1,1)上是增加的，求a的取值范围.,解因为函数f(x)在(1,1)上是增加的，所以f(x)0对x(1,1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，,题型二利用导数研究函数零点问题,例2 已知函数f(x) axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；,解答,解f(x)x2(1a)xa(x1)(xa).由 f(x)0，得x1或xa
7、(a0).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故函数f(x)的递增区间是(，1)，(a，)；递减区间是(1，a).,解答,(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围.,解由(1)知f(x)在区间(2，1)上是增加的，在区间(1,0)上是减少的，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，,函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.,解答,f(x)与f(x)在区间(0，)上随x的变化情况如下表：,(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间
8、(1， 上仅有一个零点.,证明,题型三利用导数研究不等式问题,例3 (2017陕西省宝鸡市质检)设函数f(x)ax2ln xb(x1)，曲线yf(x)过点(e，e2e1)，且在点(1,0)处的切线方程为y0.(1)求a，b的值；,解答,解由题意可知，f(x)ax2ln xb(x1)的定义域为(0，)，f(x)2axln xaxb(x0)，f(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，a1，b1.,(2)证明：当x1时，f(x)(x1)2；,证明f(x)x2ln xx1，f(x)(x1)2x2ln xxx2，设g(x)x2ln xxx2(x1)，则g(x)2xln xx1.由(
9、g(x)2ln x10，得g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0，g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0.f(x)(x1)2.,证明,(3)若当x1时，f(x)m(x1)2恒成立，求实数m的取值范围.,解答,解设h(x)x2ln xxm(x1)21(x1)，则h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)知x2ln x(x1)2x1x(x1)，xln xx1，h(x)3(x1)2m(x1)(32m)(x1).,h(x)在1，)上是增加的，h(x)h(1)0成立.,h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得x0 1，当x1，x0)时，h
10、(x)是减少的，则h(x)h(1)0，h(x)在1，x0)上是减少的，h(x)h(1)0，即h(x)0不成立.,求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解.,解析,跟踪训练3 已知函数f(x)x32x2xa，g(x)2x ，若对任意的x11,2，存在x22,4，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是 .,答案,解析问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，,对于f(x)，f(x)3x24x1，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况列表如下：,f(x)
11、maxa2，f(x)mina4，,课时作业,基础保分练,1,2,3,4,5,6,解答,1.已知函数f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；,解答,1,2,3,4,5,6,(2)若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围.,解由题意，得f(x)ax1在1，)上恒成立，,故g(x)在1，)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)1，从而a的取值范围是(，1.,解答,2.已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a的值；,解f(x)3x26xa，f(0)a.曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.,1,2,3,4
12、,5,6,证明,(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)是增加的，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x).,1,2,3,4,5,6,h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根.综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,1,2,3,4,5,6,3.已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；,解答,解由f(x)x2x
13、sin xcos x，得 f(x)x(2cos x).因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)，解得a0，bf(0)1.,1,2,3,4,5,6,(2)若曲线 yf(x)与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,6,解令f(x)0，得x0.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,6,所以函数f(x)在区间(，0)上是减少的，在区间(0，)上是增加的，f(0)1是f(x)的最小值.当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2
14、b1b，,f(0)11时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同的交点.综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点，那么b的取值范围是(1，).,1,2,3,4,5,6,4.已知函数f(x)a 2ln x(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；,解答,1,2,3,4,5,6,解由题意得，函数f(x)的定义域为(0，)，,1,2,3,4,5,6,令h(x)ax22xa.当a0时，h(x)0时，44a2.()当00，即h(x)0，,由f(x)0，即h(x)g(x0)成立，求实数a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,解因为存在x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，,1,2,3,4,5,6,则题目等价于当x1，e时，aF(x)min.,因为当x1，e时，F(x)0，所以F(x)在1，e上是增加的.所以F(x)minF(1)0，因此a0，即实数a的取值
