1、中学八年级数学下（勾股定理实际应用）义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品23初中数学单元作业设计 一、单元信息 基本信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称 数学 八年级 第二学期 沪教版 勾股定理 单元组织方式 自然单元 课时信息 序号 课时名称 对应教材内容 1 勾股定理 18.1 2 勾股定理实际应用 18.1 3 勾股定理的逆定理 18.2 4 勾股定理的逆定理应用 18.2 二、单元分析 (一)课标要求 体验勾股定理的探索过程，勾股定理及其应用，掌握勾股定理的面积证法与勾股定理逆定理的构造证明。 本章需
2、掌握的知识点勾股定理的内容及应用；判断一个三角形是直角三角的条件；曲面上的最短路线问题。 通过本章的学习，在对勾股定理的探索和验证过程中体会数形结合的思想，发展空间观念和合情推理的能力，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力；在对直角三角形判断条件的研究中培养学生大胆猜想，勇于探索的精神，介绍一些有关勾股定理的知识培养学生学习数学的兴趣及克服困难的毅力。 （二）教材分析 勾股定理的逆定理勾股定理的证明 勾股定理及逆定理 勾股定理及其逆定理的联系勾股定理与逆定理的区别 （三）内容分析 勾股定理是课标（2011 年版）“图形与几何”中“三角形”内容，勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几
3、何 中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要 用于解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一， 同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又应用于生活” 是这章中体现的淋漓尽致。“勾股定理的逆定理一节，是在上节“勾 股定理之后，继续学习的直角三角形的判定的定理，它是前面知识 的继续与深华勾股定理逆定理，是今后判断某三角形是直角三角形 的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应 用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想。为将来学习解 析几何埋下了伏笔，所以本章也是初中数学的重要内容之一。 通过本单元的学习，它从边的角度进一步对直角三
4、角形的特征进行了刻画。 它的主要内容是探索勾股定理及其逆定理，验证勾股定理的正确性，在此基础上，让学生利用勾股定理来解决一些实际问题。本单元是在学生认识直角三角形的基础上，在了解正方形和等腰直角三角形以后进行学习的，它是前面所学知识的延伸和拓展，具有承上启下的作用。 教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力， 通过实际操作，使学生获得较为直观的印象。通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。 （四）学情分析 从学生的认知规律看：学生在以了解的三角形的全等知识和直角三角形的知识的基础之上，以及上章二次根式的学习后探究勾股定理及其逆定理。 从学生的学习习惯
5、、思维规律看：通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 初二的学生对三角形的概念及分类已经非常熟悉，对直角三角形也有一定的了解，这有利于本节课的学习。但对其深入探究还有一定的难度，所以通过小组合作，实验探究等这样的情境，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿
6、意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 三、单元学习与作业目标 1. 理解并掌握用面积来证明勾股定理。 2. 会运用勾股定理解决简单的实际问题。 3. 了解勾股定理的逆定理成立。 4. 能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 5. 会运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。 课时作业 18.1 勾股定理（第一课时） 作业 1（基础性作业） 一、作业内容 1、在RtABC 中，C=90 （1）已知a=b=5,求c。 (2)已知b=15，A=30，求a，c （3）已知c=17,b=8, 求a。 2、在RtABC，C=90,斜边 AB=5,试求 AB2+BC2+AC2
7、值 3、如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且 𝐴，𝐵，𝐶 三个正方形的面积分别为 1，2，3，则正方形 𝐷 的面积为 二、作业时间要求（15 分钟） 三.评价设计 等级 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 综合评价等级 AAA、A
8、AB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 四、作业分析与设计意图 第一题主要是巩固勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的第三边的长。 第二题是勾股定理的学以致用，进一步熟悉勾股定理公式。 第三题采取数形结合的方式，培养学生探究数学的兴趣，从而加强学生对勾股定理的理解。 作业 2（发展性作业） 一、作业内容 1.(1)若一个直角三角形的两直角边分别为 3 和 4，则第三边的长为多少？ (2）若一个直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，则第三边的长为多少？ 2. 已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。 等级 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确
9、、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准答题的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 二、作业时间要求（15 分钟） 三.评价设计 四、作业分析与设计意图 第一题主要是通过（1）、（2）对比求值，进一步理清直角三角形的直角边和斜边的区别，明白已知直角三角形的两边，必须分类讨论第三边是直角边还是斜边。然后利用勾股定理求 出。 第二
10、题是综合等腰三角形的“三线合一”的性质和三角形面积公式的知识，必须要求学生先利用勾股定理求出等腰三角形底边上的高的值，进一步让学生明确勾股定理的运用。 第二课时（18.1（2）勾股定理） 作业 1（基础性作业） 1. 作业内容 （1） 在ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12,求ABC 的周长. （2） 小明和爸爸妈妈五一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。 （3）3一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q 两点，PQ=16 厘米，且 RPPQ，则 RQ= 厘米。 RPQ2. 时间要求（10 分钟） 3. 评价
11、设计 评价指标 等级 备注 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。 解法的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不规范或无过程，答案错误 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。 4. 作业分析
12、与设计意图 作业第（1）题，是应用勾股定理解决直角三角形中长度的问题，进一步加深对勾股定理的运用。第（2）题，根据题意需要学生画出草图，利用勾股定理解决即可。利用数学知识帮助我们解决生活中的问题。第（3）题需先设 RQ=x，通过勾股定理建立方程解出 x。学生不但完善了思维，也锻炼了能力，使学生对知识形成有了总体把握. 作业 2（发展性作业） 一、作业内容 （1） 在数轴上画出表示17 的点？（尺规作图） （2） 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 100 cm，60 cm 和 20(cm)，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物请你
13、想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面或侧面爬到点B，最短的爬行路线长是多少？ （3） 高速公路的同一侧有 A、B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为 AA2 km，BB4 km，AB8 km. 要在高速公路上 A、B之间建一个出口 P，使 A、B 两城镇到 P 的距离之和最小求这个最短距离 二、时间要求（10 分钟） 三、评价设计 评价指标 等级 备注 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。 解法的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规
14、范、完整，答案正确。 C 等，过程不规范或无过程，答案错误 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。 四.作业分析与设计意图 作业第（1）题需要在数轴上画出直角边分别为 4 和 1 的直角三角形，利用勾股定理可以求出斜边为17 。在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用.让学生更直观，更清晰的看到如何在数轴画出无理数点，规范画图语言和
15、作图方法. 第（2） 题此问题需要将实际问题转化成数学问题，同时要把立体图展开成平面图形，再利用勾股定理解决有关最短路线问题。主要是为了培养学生良好的观察能力和分析解决问题的能力通过拓展提升，及时反馈学生的学习情况，并及时地查漏补缺，进一步提升教学效果.第（3） 题作点B 关于 MN 的对称点C，连接 AC 交MN 于点P，则点 P 即为所建的出口设计具有一定的挑战性，引导学生将实际问题转化成数学问题，感受数学的巨大作用，培养学生勇于探索、敢于实践的精神。 第一课时（18.2 勾股定理的逆定理） 作业 1、（基础性作业） 一、作业内容 1、请补充一个数，使下列每组数据形成勾股数 ，12，13；
16、 7， ，25; 9，40， 2、判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形 (1)在ABC 中，A20，B70； (2)在ABC 中，AC7，AB24，BC25； (3)ABC 的三边长 a、b、c 满足(ab)(ab)c2. 3、给你一根带有刻度尺的皮尺，你如何用它来判断放桌面的角是直角？ 二、时间要求（10 分钟） 三、评价设计 评价指标 等级 备注 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。 解法的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C
17、 等，过程不规范或无过程，答案错误 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。 四、作业分析与设计意图 第一题简单的列出勾股数，可以检验学生对勾股定理逆运用知识的掌握情况；第二题分为三小题，第一小题直接由角数求得三角形类型，回顾了以往知识，第二小题则是运用新学知识进行解题，第三小题则是要学会通过公式与勾股逆定理结合起来运用，这三小题由所学知识引入到新学的知识，很
18、好的起到了过渡的作用，并且最后一小题将公式通过变形的方式来考察学生，可以很好的检测学生对知识的掌握情况，并且可以培养学生的观察能力以及逻辑推理能力；第三题属于一个开放性的问题，可以检验学生对勾股定理的实际运用能力，培养学生善于思考的能力以及拓展学生思维。 作业 2（发展性作业） 1、如图，点 P 为等边ABC 内一点，且 PA3，PB4，PC5， 求APB 的度数 （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） 2、如图所示，已知 AD 是ABC 边 BC 上的中线，BC10cm，AC4cm，AD3cm，求 SABC. 3、如图，在四边形ABCD 中，B=90,AB=7，BC=24，AD
19、=20,CD=15 ,求四边形ABCD 的面积. 2、时间要求（20min） 3、评价设计 评价指标 等级 备注 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。 解法的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不规范或无过程，答案错误 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； A
20、BB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。 4、作业分析及设计意图 第一题要学会构建全等三角形，再利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形，进而求出角度，该题可以培养学生的建构能力， 与角的度数相结合提高学生运用知识的灵活性； 第二题先用勾股逆定理判定直角三角形，再用面积法求 AE 的长，进而求出ABC 的面积，还可以先求出ADC 的面积，再由 AD 是中线，得到关系式后求出最后结果，多种解题思路，提高学生的发散性思维； 第三题利用三角形三条边数量关系来判定直角三角形，进而推出两条线的垂直关系，可以培养学生一定的观察和推理能力，充分利用所学知识以及所给条件解决问
21、题。 18.2 勾股定理逆定理第 2 课时 作业设计 作业 1（基础性作业） 1. 作业内容 (1) 下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A4，9，11B6，8，10C7，24，25 D8，15，17 (2) 如图，每个小正方形的边长为 1，则ABC 的度数为 (3) 一个三角形三边之比为 3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为 A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2 (4) 一艘轮船以 16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以 12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小 时 后 相 距 km （5）一根
22、30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。 (6)如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=1，AD=3，若B=90， 则BCD 的度数为 2. 时间要求（15 分钟以内） 3. 评价设计 评价指标 等级 备注 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。 解法的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不规范或无过程，答案错误 解法的创新性
23、A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。 4、 作业分析与设计意图 作业第（1）题要求学生加深对勾股定理数的理解和运用，作业第（2） 题要求学生在网格图中计算特殊角的角度，作业第（3）题要求学生运用勾股定理逆定理判断该三角形为直角三角形，从而利用面积计算斜边上的高，作业第（4）题要求学生在方位角上运用勾股定理解决实际问题，作业第（5）题利用方程求出各边长，在用勾股定理逆定理
24、判断该三角形形状，作业第（6）题本题是勾股定理和逆定理的混合运用。 作业 2（发展性作业） 1. 作业内容 （1） ABC 满足下列条件中的一个，其中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ） Ab2（a+c）（ac） Ba：b：c1：2 CCABDA：B：C3：4：5 （2） 如图，在单位为 1 的正方形网格图中有 a，b，c，d 四条线段， 从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（ ） A1 个B2 个C3 个D4 个 （3） 如图，某港口 P 位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港 P，各自沿固定方向航行，“远洋” 号每小时航行 12nmile，
25、“长峰”号每小时航行 16nmile，它们离开港口 1 小时后，分别到达 A，B 两个位置，且 AB20nmile，已知 “远洋”号沿着北偏东 60方向航行，那么“长峰”号航行的 方 向 是 （4） 如图，四边形 ABCD 中，ABBCCDAD4，DABB CD90，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的点，且 CEBC，F 为CD 的中点，问AEF 是什么三角形？请说明理由 （5） 如图A（5,3），AB/x 轴，AO 平分BOx,求点 B 的坐标。 BAO （6） 已知 A（3,0），B（0,4）在坐标轴上找一点 P，使PAB 是等腰三角形，求点 P 坐标. 2. 时间要求（20 分钟以内
26、） 3.评价设计 评价指标 等级 备注 A B C 答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确。 B 等，答案正确、过程有问题。 C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。 解法的规范性 A 等，过程规范，答案正确。 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不规范或无过程，答案错误 解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确。 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。 综合评价等级 AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。 4
27、.作业分析与设计意图 作业第（1）题要求学生加深对勾股定理数的理解和运用，作业第（2） 题要求学生在网格图中计算特殊角的角度，作业第（3）题要求学生在方位角上运用勾股定理解决实际问题，作业第（4）题要求学生利用过股定理逆定理判断三角形形状（边长含参数），作业第（5）（6）题利用勾股定理构造方程，在几何模型下的运用，以及分类讨论思想的综合运用。 六、单元质量检测作业 （一）单元质量检测作业内容 一、选择题（单项选择） 1. 若三角形三边的长为下列各组数，则其中不是直角三角形的是（ ） A.3，4，5B. 2 ，3， 5 C.5，12，13 D. 1 ， 1 ， 1 3452. 已知点 P 在直角
28、坐标系中坐标为(（ ） 3,-6 )，则 P 到原点的距离是A. 3 B. 6 C. 3 D. 3 3 在𝑅𝑡 𝐴𝐵𝐶中，𝐶 = 90, 已知a=2 , b=3, 则 c 是( ) A. 5 B. 11 C. 13 D. 14 4 如果三角形的三边𝑎，𝑏，𝑐满足(a - b)(a2 + b2 - c2 )= 0 ，则该三角形是( ) A 等腰三角形 B.直角三角形 C. 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 5. 一个直角三角形的两边长分别是6和
29、8，它的第三条边长为（ ） A. 10 B. 9 C. 2 7 D. 10 或 2 7 二、填空题 6. 在𝑅𝑡 𝐴𝐵𝐶中，𝐶 = 90，若𝑎: 𝑐 = 3: 5，𝑏 = 16，则𝑎 = 7 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章， 记载了一道“折竹抵地”问题，叙述为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：在𝑅𝑡 𝐴𝐵Ү
30、62; 中，𝐴𝐶𝐵 = 90，𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 = 10，𝐵𝐶 = 3，求𝐴𝐶的长，如果设𝐴𝐶 = 𝑥， 可列出的方程为 8.已知 𝐴𝐵𝐶中的三个角度数的比𝐴：B：𝐶=1:2:3, 则 BC 与AC 数量关系是 三、解答题 9. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，E 是 AD 边的中点，连接B
31、E，将ABE 沿直线 BE 翻折至FBE，延长 EF 交 CD 于点 G，求CG 的长度 10. 在 𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐵𝐴𝐶30，𝐵𝐴 = 48, 𝐶𝐷 𝐴𝐶，D 在边 AB上，求 AD 的长 11.如图,在ABC 中,D是BC 边上一点,已知AB=20,AD=12,AC=13,CD=5,求BD 的长. 12. 如图，在 𝐴𝐵𝐶中，⻒
32、3;是𝐵𝐶边的中点，𝐷𝐸 𝐵𝐶于点𝐷，交𝐴𝐵于点𝐸，且𝐵𝐸2 𝐴𝐸2 = 𝐴𝐶2， (1)试说明：𝐴 = 90； (2)若𝐷𝐸 = 3，𝐵𝐷 = 4，求𝐴𝐸的长 阅读下面的材料 13.勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材
33、中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为𝑎，𝑏，斜边为𝑐，然后按图1的方法将它们摆成正方形 由图1可以得到(𝑎 + 𝑏)2= 4 1 𝑎𝑏 + 𝑐2 2整理，得𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 2𝑎𝑏 + 𝑐2 所以𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 如果把图1中的四个全等的直角
34、三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理 （二）单元质量检测作业属性表 序号 类型 对应单元作业目标 对应学习水平 难度 来源 完成时间 了解 理解 应用 1 选择题 3 易 原创题 45 分钟 2 选择题 1 易 改编题 3 选择题 1 易 原创题 4 选择题 1、3 易 改编题 5 选择题 2 难 改编题 6 填空题 1、2 中等 原创题 7 填空题 1、2 中等 引用题 8 填空题 1、2 中等 改编题 9 解答题 1、2 难 改编题 10 解答题 2、3 中等 改编题 11 解答题 2、3 中等 改编题 12 解答题 2、3、4 难 改编题 13 解答题 1、4 难 引用题 1
