1、要求：会用其性质与展开定理要求：会用其性质与展开定理，计算低阶及特殊的行列式。计算低阶及特殊的行列式。一、行列式一、行列式两个重要概念两个重要概念：余子式余子式,代数余子式代数余子式ijjiijMA )1(上（下）三角行列式的值上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积对角线上元素之积性质性质是计算行列式的中心环节，是计算行列式的中心环节，利用性质将行列式利用性质将行列式化为三角形行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式的重要方法。然后计算是计算行列式的重要方法。则则的的代代数数余余子子式式是是设设,ijijnnijaAaA jijiAAaAaAajinjiji当当当当,022211展开定理
2、及其应用展开定理及其应用 jijiAAaAaAanjnijiji当当当当,02211利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低一阶行列式的计算。一阶行列式的计算。特殊关系式特殊关系式是是数数，则则阶阶方方阵阵是是设设knBA,AAAkkAnn1,1 ,121*1 nAAAA BABCABAAB 0,3例题 3 31235,2,AAAAAB 设设求求，解解1213,23 AAAA 132cc B21cc 123,3 AAA 3A 12223,2 BAAAAA 其其中中计算下列行列式计算下列行列式 123 4121231123232112 ,4=m ,=n+=
3、?例例题题 设设均均为为 维维列列向向量量且且四四阶阶行行列列式式则则解方程解方程02781941321111132xxx此为范德蒙行列式此为范德蒙行列式0321xxx3,2,1x例题例题二、矩阵二、矩阵smA nsB nmijnmcC )(BAAB 不能推出不能推出(1)(3)(2)0AB0A或或0BBCAB 不能推出不能推出CB 交换律不成立交换律不成立消去律不成立消去律不成立转置矩阵的运算律转置矩阵的运算律1 1221 sijijijissjikkjkca ba ba ba b 一、矩阵运算中注意的几点一、矩阵运算中注意的几点()TTTABB A 特殊矩阵特殊矩阵：AAT 若若AAT 若
4、若阶梯阵阶梯阵A与行最简阶梯阵与行最简阶梯阵B 00000160007430051321A 00000210003010050021BTT-1 A A=E A=A 正正交交矩矩阵阵正正定定矩矩阵阵若若A A 为为n n阶对称矩阵阶对称矩阵A A 为为n n阶反对称矩阵阶反对称矩阵n n 阶方阵阶方阵A可逆的充要条件可逆的充要条件n n阶方阵阶方阵A可逆可逆0 A可逆矩阵可逆矩阵EBAEABB 或或，使使存存在在方方阵阵,nAnn 秩秩0 的的特特征征值值全全部部A仅仅有有零零解解齐齐次次线线性性方方程程组组0 XAnn向向量量组组线线性性无无关关。列列的的行行)(AEA可逆矩阵的性质可逆矩阵的
5、性质 设设A,B都是都是n n阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，k是非零数，则是非零数，则 TTAAAkkAABABAA111111111142,31 5 5、求方阵、求方阵A的逆矩阵的方法的逆矩阵的方法*1,011AAAAA 且且可可逆逆则则如如果果BAA 1可可逆逆，且且 则则或或使使如如果果存存在在方方阵阵,2EBAEABB 1,3AAEEA可可逆逆，且且则则如如果果行行变变换换nEAAAAA*1 AAA1 nAA特别：特别：AA11 矩阵的初等变换矩阵的初等变换,初等方阵初等方阵用初等方阵左（右）乘用初等方阵左（右）乘 A A，相当于对相当于对 A A 作初等行作初等行（列）变换得到的矩阵，（列
6、）变换得到的矩阵，矩阵矩阵A A的标准型的标准型 0,00rm nm nEr ArA 初初等等变变换换设设则则1 1、R（A）：）：A的不等于的不等于0 0的子式的最大阶数。的子式的最大阶数。2 2、秩的基本关系式：、秩的基本关系式：TnmARARnmAR ;,min13 3、关于秩的重要结论：、关于秩的重要结论：矩矩阵阵的的秩秩；矩矩阵阵的的初初等等变变换换不不改改变变1 003 AnARAAnARnA可可逆逆阶阶方方阵阵，则则是是设设矩阵的秩矩阵的秩 矩矩阵阵是是阶阶可可逆逆矩矩阵阵，阶阶、分分别别是是、设设nmAnmQP 2 PAQRAQRPARAR 则则 002 AAR)(),(min
7、()(BrArABr重要结论重要结论则则设设,)(,)(tnijnmijbBaA)()()()1(ABrnBrArnBrArAB)()(,0)2(特特别别,)()3(nAr若若0,0BAB则则且且阵阵，则则均均为为nmBA,)4()()()(BrArBAr则则阶阶方方阵阵为为,2,)5(nnA)(*Ar.)(,nArn.1)(,1 nAr.2)(,0 nAr定理定理秩的求法：秩的求法：1)1)R（A）：）：A的不等于的不等于0 0的子式的最大阶数。的子式的最大阶数。2 2）初等变换法：初等变换法：TA阶梯形阶梯形,R（A）=T的阶梯数的阶梯数3 3）若）若P可逆，则可逆，则 APRAR,常需先
8、验证常需先验证P可逆可逆4 ）利利用用矩矩阵阵的的秩秩和和矩矩阵阵对对应应的的其其次次方方程程组组的的解解的的关关系系5 ）利利用用相相似似矩矩阵阵的的秩秩（矩矩阵阵的的秩秩n-0n-0特特征征秩秩的的重重数数）选择题 1设设 A A、B B 都是都是 n n 阶方阵，则阶方阵，则 222()2 aABAABB e e,ABBA 当当时时 成成立立 1 nABBA ,ABBA 当当时时成成立立,ABBA 当当时时 成成立立 ABABBABA bABBA 1,:1 cIfAthenA 22()()dABABAB eABBA 选择题2,nA,B,CABC=E设设 阶阶方方阵阵满满足足关关系系式式则
9、则必必有有：1 2(3)4ACB=ECBAEBACE BCA=E （）（）（）（4）3 ,0 A BnABA,B 选选择择题题 设设都都是是 阶阶非非零零矩矩阵阵，且且，则则的的秩秩为为：1 2(3)n（）必必有有一一个个等等于于零零（）都都小小于于一一个个小小于于n,n,一一个个等等于于n(4)n(4)都都等等于于n n（2）选择题411=(,0,0,),222 E,TTnAEBEnAB=设设 维维列列向向量量矩矩阵阵其其中中为为 阶阶单单位位矩矩阵阵则则T(1)0 (2)-E(3)E (4)E+（3）,1,23,.3 BABA阶阶方方阵阵，如如果果都都是是设设 BAABABAAAA 计计算
10、算设设,2321321解解 3221,2ABAABA 3221,4ABAA 12124,4321321 ABAAAA *1,41AA 计计算算 114141AA413 A *13,128141AA例例例例：设方阵：设方阵 A满足满足2A2A2 2-5A-8E=0-5A-8E=0，证明，证明 A-2E 可逆，可逆，12 EA求求关键：寻求方阵关键：寻求方阵 B B，使（，使（A-2EA-2E）B=EB=E分析分析 EEAEA 21012并且可逆所以,2EA EAEA 210121原式可写为原式可写为 010)2(2 EEAEA（重点）（重点）例例：设矩阵：设矩阵 X 满足：满足：AXB=XB+C
11、，求，求X，其中，其中 110101,100012002,2012CBA由已知，得由已知，得 AXB-XB=C，则得则得 1CXBEA 显然显然A-E、B均可逆，并且均可逆，并且 1000110021,10111011111BEA 11CBEAX 11 BCEAX解解（重点）（重点）2 101020 201ABA BABEAB 设设三三阶阶方方阵阵、满满足足，则则？2 A BABEA+E)(A-E)B-(A+E)=0 解解：由由，（A+E,显显然然可可逆逆 于于是是()AE BE,-1B=(A-E)以以下下的的做做法法有有多多种种 比比如如 求求,A A-E B求求 的的特特征征值值的的特特征
12、征值值的的特特征征值值例 12341,3456 56780112101,110R AABR BA 求求设设求求12340246 0000A R(A)R(A)=2=2 2 R BAR A初等初等变换变换例（重点）（重点）41312114321 TA例例,4,3,2,1,41,31,21,1,TA,TBNnABAn,求求解解13424431233213212413121143214131211TB4三向量组的线性关系三向量组的线性关系定义定义定义定义 极大无关组、等价极大无关组、等价等价定义等价定义（重点）（重点）结论结论:2 2、,2121mm线性无关，线性无关，设向量组设向量组。3 3、1 1
13、、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系线线性性表表示示，必必可可由由则则线线性性相相关关m ,21并并且且表表法法惟惟一一。注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；秩（秩（A）=列向量组的秩列向量组的秩 =行向量组的秩行向量组的秩定理定理线线性性表表示示可可由由向向量量m ,21有有解解 mmxxx2211 有有解解线线性性方方程程组组 mmxx121,，mmRR,2121 定理定理线线性性相相关关向向量量组组m ,21有有非非零零解解02211 mmxxx 非非零零解解线线性性方方程程组组0,121 mmx
14、x 是是向向量量个个数数mmRm ,21判别法判别法 1 1 nrnnnnn ,0,212121线线性性相相关关元元个个判别法判别法 2 2.1元元向向量量必必线线性性相相关关个个 nn 等价的向量组的等价的向量组的秩相等秩相等；nrnnnnn ,0,212121线线性性无无关关元元个个部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关1212.,.,.jjmmbAB b bbBA 即添上一个分量后得向量若向量组：即添上一个分量后得向量若向量组：线性无关 则向量组：也线性无线性无关 则向量组：也线性无关 反言之，若向量组 线性相关 则向量组 也线关 反言之，若
15、向量组 线性相关 则向量组 也线性相关性相关判别法判别法3 例题例题 线线性性相相关关维维向向量量组组mn ,121DFDF 中中至至少少有有一一个个零零向向量量；mA ,21 对对应应成成比比例例；中中至至少少有有两两个个向向量量分分量量mB ,21 个个线线性性表表示示；余余中中每每一一个个向向量量都都可可由由其其1,21 mCm 个个线线性性表表示示；其其余余中中至至少少有有一一个个向向量量可可由由1,21 mDm mnE mRFm ,21例题例题 则则的的秩秩为为维维向向量量组组设设,221rnm BC 个个向向量量必必线线性性无无关关；中中任任意意rAm ,21 个个向向量量必必线线
16、性性相相关关；中中任任意意1,21 rBm 都都构构成成极极大大无无关关组组；个个线线性性无无关关的的向向量量中中任任意意rCm ,21 0000001000501104020112311113111131163421设 987675431310745432432154321 ，的的一一个个极极大大无无关关组组与与秩秩，求求54321,解解 进进行行初初等等行行变变换换：，对对矩矩阵阵54321,A9713548510437473263421A 54321,，无无关关组组线线性性表表示示。并并将将其其余余向向量量用用此此极极大大例例重点重点(续续)9713548510437473263421A
17、 00000010005011040201的的一一个个极极大大无无关关组组为为：，54321,421 ，其余向量由此极大无关组表示为：其余向量由此极大无关组表示为：215213542 ，所以所以向量4-例题4 1231131,1,7 11bbb 讨讨论论 取取何何值值时时，向向量量组组线线性性相相关关？解解 1)1)因为行列式因为行列式 1131731 11Dbbbb 所以当所以当b=3b=3或或b=1b=1时，时，D=0D=0，线性相关；，线性相关；否则线性无关。否则线性无关。证明,3211321 设设线线性性无无关关设设证明证明 .10332211 xxx设设 03232123211 xx
18、x即即 03312321121 xxxxxxx所所以以线线性性无无关关因因为为,321 20003132121 xxxxxxx.,0:321321线线性性无无关关故故解解之之得得 xxx.,:,321323212也也线线性性无无关关证证明明 证明证明,mmnnmEBABmnAnm 满足满足矩阵矩阵与与矩阵矩阵设设分析：只要证明：分析：只要证明：B B的列秩的列秩=m;=m;证明证明 mBBR 的的列列数数显显然然 mERABRBRm 又又因因为为 的的列列数数所所以以BmBR 的的列列向向量量数数的的列列向向量量组组的的秩秩所所以以BmBRB 的的列列向向量量组组线线性性无无关关。所所以以B。
19、的的列列向向量量组组必必线线性性无无关关证证明明：并并且且Bnm,2)(,03334 ArABBA矩阵且矩阵且为为矩阵，矩阵，为为例设例设的的列列向向量量组组线线性性相相关关。证证明明B3)()(0 nBrArAB证明：证明：2)(Ar 1)(Br的的列列向向量量组组线线性性相相关关。B例例 设向量组设向量组 1111k 1112k k1113 20kk 问问 k 为何值时为何值时线性表示？线性表示？，可由可由321 表示法唯一，表示法唯一，不唯一，不唯一，不可表示。不可表示。解解 设设 332211xxx即即 01321xxxk kxxkx 3211 23211kxkxx kkkDA 111
20、111111用克莱姆法则用克莱姆法则)3(2 kk30 kk0)3(2 kk k=-3 时时.321线性表示线性表示，可由可由 表示法唯一，表示法唯一，0 k时时 011101110111A同解方程组同解方程组321xxx 有无穷多解。有无穷多解。921131210112A 1000123309211.321线性表示线性表示，不可由不可由 30 kk时时方程组有唯一解方程组有唯一解,321线性表示线性表示，可由可由 表示法不唯一，表示法不唯一，线性方程组线性方程组解的存在性定理解的存在性定理各种解法各种解法解的结构解的结构四、线性方程组的解法与解的结构四、线性方程组的解法与解的结构定理定理1
21、1 设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组 10,XAnm 有有解解；则则如如果果1,2 ARAR 无解；无解；则则如果如果1,1 ARAR 有有惟惟一一解解；则则有有解解时时，如如果果1,nAR 有有无无穷穷多多解解；则则如如果果1,nAR 定理定理1 1 设有齐次线性方程组（设有齐次线性方程组（2 2）方程组方程组-2-2-通解、基础解系通解、基础解系0 XAnm 则则设设,rAR 个个解解向向量量；基基础础解解系系中中含含rn 通解为：通解为：则则基础解系基础解系设设,21rn RkkkkkkXrnrnrn ,212211 仅仅有有零零解解；则则如如果果,1nr 必必有有非非零零解解；
22、则则如如果果2,2nr 方程组方程组-2-2-通解、基础解系通解、基础解系定理定理2 2 设有非齐次线性方程组（设有非齐次线性方程组（1 1）0,XAnm 则则如果如果设设,nrARARrAR 必必有有无无穷穷多多解解；方方程程组组 AX1,2的的一一个个特特解解是是设设 AXRkkkkkkXrnrnrn ,212211 ,基础解系基础解系的的是是设设0,21 AXrn 的通解为：的通解为：则则 AX 讨论讨论a a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、23213213211aaxxxaxaxxxxax解解系数行列式系数行列式aaaD111111
23、212111111121111222 aaaaaaaaaa所以所以1):1):有有惟惟一一解解；时时并并且且即即当当,21,0 aaD增增广广矩矩阵阵时时当当,2 a2):2):421121211112A 300021211112 213rrr有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。（重点）（重点）例例例题例题3 3（续）（续）由于同解方程组中出现了矛盾方程由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,:0=3,故无解故无解.2):2):增增广广矩矩阵阵时时当当,1 a 111111111111A1312,rrrr 000000001111 方方程程组组为为，有有无无
24、穷穷多多解解，一一同同解解此此时时31 ARAR 33223211xxxxxxx则通解为则通解为Rkkkkxxx 2121321,001101011 0,当当时，时，称称与与正交正交。定理定理 nrr ,21nR中两两正交、非零向量组中两两正交、非零向量组线性无关。线性无关。jijiji,1,0,n ,21若若满足满足n ,21称称为为规范正交基规范正交基。定义定义3 五、内积、施密特正交化。五、内积、施密特正交化。元列向量）元列向量）为为nTT ,(),(定义定义4 4 A是是n n阶方阵阶方阵,若若是是正交矩阵正交矩阵A称称EAAT 性质性质2 2A的列的列(行行)向量组为正交单位向量组向
25、量组为正交单位向量组是正交矩阵是正交矩阵A1 AAT性质性质1是是正交矩阵正交矩阵则则A可逆且可逆且A设设性质性质3 设设 A、B 都是正交矩阵，都是正交矩阵，则则 AB 也是正交矩阵。也是正交矩阵。EAAT jiji ,jiji,1,0即即 A 的的 n 个列向量是单位正交向量组。个列向量是单位正交向量组。性质性质4 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则 AA与与1也是正交矩阵。也是正交矩阵。性质性质5 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则.1 A3、施密特正交化方法、施密特正交化方法321,3R设在设在中中为线性无关向量组为线性无关向量组11 令令正交化过程：正交化过程：1111222
26、,222231111333,321,则则是正交向量组，是正交向量组，单位化单位化iii 六、特征值与特征向量、矩阵的对角化六、特征值与特征向量、矩阵的对角化内容：内容：矩阵的特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的定义,求法求法,性质；性质；相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法定义定义1 1使方程使方程XAX ,nnijaA 设方阵设方阵,X成立成立数数 和和 n 元非零列向量元非零列向量1-1-特征值、特征向量特征值、特征向量-求法求法1 1、特征值特征值的求法的求法个个特特征征值值的的就就是是，的的根根nAAEn 210 2 2、特
27、征向量的求法、特征向量的求法 riiXAE ,0,1得基础解系得基础解系解解对特征值对特征值 所所对对应应的的特特征征向向量量为为i 不不全全为为零零rrrkkkk,111 2-2-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵-的性质的性质 nnnijnaA ,1个个特特征征值值分分别别为为的的设设矩矩阵阵 性质性质 .1221121nnnaaa 的的迹迹A An 212 nAA ,0321 可可逆逆全不为零。全不为零。3-3-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵-的性质的性质性质性质2 200,0,AA 设设是是 的的一一个个特特征征值值且且则则 01000*04400112,343356537537Tmm
28、AAAAAAAAAAE 特特征征向向量量可可逆逆时时特特征征向向量量特特征征向向量量特特征征向向量量可可逆逆时时特特征征向向量量例例2 2、3-3-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵 3,AA 设设的的一一个个特特征征值值为为，是是相相应应的的特特征征向向量量，则则2 2 11*211323444565AEAAAAAA 的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为 1322182481322A5.1921252例例3 3 设设A A是一个方阵是一个方阵 102030,kAE
29、AA 如如果果，则则的的一一个个特特征征值值为为如如果果，则则的的一一个个特特征征值值为为如如果果则则的的特特征征值值必必为为 -10000kkA 例4-相似矩阵设矩阵设矩阵A A、B B相似，求参数相似，求参数a,b,c.a,b,c.;11,201200011bBaA解解 1 1）因为矩阵）因为矩阵A A、B B相似，所以相似，所以 trAtrBAB 1 2 21 14bab 即即31ba例4-相似矩阵设矩阵设矩阵A A、B B相似，求参数相似，求参数a,b,c.a,b,c.2 2）因为矩阵）因为矩阵A A、B B相似，所以相似，所以1 1也是也是A A的特征值，所以的特征值，所以 1452
30、016,03Ac 并且并且1 1是是B B的一个特征值的一个特征值0,242060054010cccAE3-3-特征向量的性质特征向量的性质1 1）方阵方阵A A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。2 2）实对称矩阵实对称矩阵A A的不同特征值所对应的特征向量必相的不同特征值所对应的特征向量必相3 3）正交向量组必是线性无关组。）正交向量组必是线性无关组。互正交互正交。4-n4-n阶方阵阶方阵A A可对角化的条件、方法可对角化的条件、方法1 1、一个充分必要条件：、一个充分必要条件：n n阶方阵阶方阵A可对角化可对角化A有有n个线性无关的特征向量个线性
31、无关的特征向量2 2、两个充分条件、两个充分条件：1 1）如果）如果A有有n个互不相同的特征值，则个互不相同的特征值，则A必可对角化必可对角化2 2）如果）如果A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。必可用正交矩阵对角化。3 3、对角化方法对角化方法：nnnA ,2121，个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的是是设设 nAPP 2114 4、正交对角化、正交对角化 可可逆逆，并并且且，则则令令是是相相应应的的特特征征值值PPn ,21（重点）（重点）（重点）（重点）,10100002xA例例1 1（1）求）求设设,BA相似于相似于（1）由性质）由性质.,yx yx12
32、（2）1y,10000002yB.3EA（2）解解.402453EA0 xBA 的的特特征征值值相相同同与与BA112，为为的的特特征征值值为为EA3245，y22 例例5,3,2,13321 的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设A：对应的特征向量分别是对应的特征向量分别是,)4,2,1(,)1,1,1(21TT ,)9,3,1(3T ).(ZnAn 求求),(321 C取取解解ACC1 321 1 CCAnnCCA)(1 111 CCCCCCAn1 CCAnn三阶实对称矩阵三阶实对称矩阵 的特征值分别为的特征值分别为A,3,221 ,321,秩秩,2A例例8 8相应的特征向量分别为相应的特征
33、向量分别为已知已知,0111 X 1112X3.A求求 的值及矩阵的值及矩阵解解秩秩,2A,0321 A,03 A有三个不同有三个不同特征值特征值,则则 可取可取A03 的特征向量为的特征向量为,321 xxxX则则 0021321xxxxx七、二次型化标准型七、二次型化标准型-1-1-基本定义、基本内容基本定义、基本内容1 1、二次型、二次型二次齐次多项式；二次齐次多项式；32312121222132124232,xxxxxxxxxxxxf 312111212A标准型的矩阵标准型的矩阵对角阵对角阵二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示2 2、二次型的矩阵、二次型的矩阵前提前提：实对称矩阵；注意元素
34、特点：实对称矩阵；注意元素特点 标准型标准型仅含有平方项的二次型仅含有平方项的二次型则二次型的矩阵则二次型的矩阵设二次型二次型及其标准型-2-最重要内容注注1 1：对线性变换：对线性变换 X=PYX=PY来说，当来说，当P P可逆矩阵时，称之为可逆矩阵时，称之为 2TTfXXAXXPYYY 注注：经经后后3 TfXXAX注：如果APPT An就就是是的的个个特特征征值值可逆变换；当可逆变换；当P P是正交矩阵时，称之为正交变换是正交矩阵时，称之为正交变换 用正交变换用正交变换 将二次型将二次型 化为标准型；化为标准型；()f XX AXXQY2221122 nnXQYyyy正交变换12,n 则
35、二次型-3-例2求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型 321,xxxf3231212322213214844,xxxxxxxxxxxxf124242421A 4512424250512424242112 AE4,5:321的特征值为所以 A101,0121:,05,522121得基础解系为解对XAE解解 二次型的矩阵为1211;52451,012133111122211TXAE1,21,1:,04,433得基础解系为解对3 3）对每个基础解系进行）对每个基础解系进行SchmidtSchmidt正交化、再单位正交化、再单位化：化：,21231,524451,02151,1321则令iii4,
36、5,5,32455031452523245451,41321diagAQQAQQQQT并且是正交矩阵。则令TTTmPPPPPPA 0,mAmnA使使且存在正整数且存在正整数阶实对称矩阵阶实对称矩阵为为例设例设0 A证证明明 APPPAT,则存在正交矩阵则存在正交矩阵为实对称矩阵为实对称矩阵TPPA 0 TmmPPA0 m0的的所所有有特特征征值值为为A0 AnnAn ,1，个两两正交的特征向量个两两正交的特征向量有有阶实方阵阶实方阵例设例设为为对对称称矩矩阵阵。证证明明A解解nnA ,1，个个两两两两正正交交的的特特征征向向量量有有单位化单位化nn ,1，个个两两两两正正交交的的单单位位向向量量为正交矩阵为正交矩阵则则，取取BBn),(1 ABBTTBBA TTTBBA ABBT 为为对对称称矩矩阵阵。A
