1、FBAdFFFBdAFMBA BMFdMF第一节第一节 平面任意力系向一点的简化平面任意力系向一点的简化各力的作用线在同一平面内任意分布的力系各力的作用线在同一平面内任意分布的力系平面任意力系：平面任意力系：本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力一、力的平移定理一、力的平移定理偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩。偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩。结论：同一平面内的一个力和一个力偶可以合成为一个力结论：同一平面内的一个力和一个
2、力偶可以合成为一个力FFO2FnF1FO平面任意力系向其作用面内任一点平面任意力系向其作用面内任一点 O 简化，结果一般为一个力和简化，结果一般为一个力和二、平面任意力系向一点的简化二、平面任意力系向一点的简化一个力偶。一个力偶。矢；矢；称为原力系的主矩。称为原力系的主矩。RiFF 主矢：主矢：主矩：主矩：OOiMMF2）主矩与简化中心有关。）主矩与简化中心有关。说明：说明：1）主矢与简化中心无关；）主矢与简化中心无关；ORFOM1F2FnF1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF该力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主该力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主该力偶的矩等于
3、原力系中各力对简化中心该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心 O 的矩的代数和，的矩的代数和，11FF22FFnnFF三、平面任意力系简化结果的讨论三、平面任意力系简化结果的讨论R0F 1）且且 MO=0：R0F 2）但但 MO 0：R0F 3）但但 MO=0：的合力的合力4）R0F 且且 MO 0：O 的合力的合力2FnF1FORFOM原力系平衡原力系平衡原力系合成为一个合力偶原力系合成为一个合力偶原力系合成为一个作用线通过简化中心原力系合成为一个作用线通过简化中心 O原力系合成为一个作用线不通过简化中心原力系合成为一个作用线不通过简化中心AiFlqAB2.分布载荷的合成结果分布载荷的合成结果
4、四、两个重要结论四、两个重要结论1.平面固定端的约束力平面固定端的约束力平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶qqlF/2llqAB2/3l/2qqlF均布载荷均布载荷线性分布载荷线性分布载荷AAMAFiFAAxFAyFAMiF例例1 如图，已知如图，已知 F1=10 N、F2=20 N、F3=25 N、F4=12 N，各力，各力作用点的坐标如图，单位为作用点的坐标如图，单位为 cm。试向坐标原点。试向坐标原点 O 简化此力系并求简化此力系并求其合成结果。其合成结果。R1234cos30cos60cos453.304 Nxi
5、xFFFFFF R234sin30sin60sin4520.20 NyiyFFFFF x45(2,3)(3,3)(5,2)O1F302F603Fy4F解：解：xOyRFOM力系力系向坐标原点向坐标原点 O 简化，结果为简化，结果为 1 个主矢和个主矢和 1 个主矩个主矩其中，力系主矢其中，力系主矢在在 x、y 轴上的投影分别为轴上的投影分别为RFR3.304NxF Ry20.20NF 主矢主矢 的大小的大小RFRRarctanarctan6.11380.8yxFF22RRR20.46 NxyFFF()OOMM iF力系对原点力系对原点 O 的主矩的主矩xOyRFOM44cos452sin455
6、FF 75.0 N cm22cos303sin302FF 33cos603sin603FF x45(2,3)(3,3)(5,2)O1F302F603Fy4F主矢指向第三象限，与主矢指向第三象限，与 x 轴所夹的锐角轴所夹的锐角R75.023.667 cm20.46OMdF合力作用线的位置如图所示合力作用线的位置如图所示xOyRFdxOyRFOM由于主矢由于主矢R0F 且且 MO 0，故此力系可合，故此力系可合成为一个合力成为一个合力R20.46 NF 75.0 N cmOM，其作用线离坐标原点，其作用线离坐标原点 O 的距离的距离RRFF合力矢合力矢 第二节第二节 平面任意力系的平衡方程平面任
7、意力系的平衡方程 一、平面任意力系的平衡方程一、平面任意力系的平衡方程 1.基本形式基本形式0ixF 0iyF 0OiMF1）可解）可解 3 个未知量个未知量说明：说明：两投影一矩式两投影一矩式 2）投影轴与矩心位置均可任意选择）投影轴与矩心位置均可任意选择0ixF 0BiMF2.一投影两矩式一投影两矩式 0AiMF式中，式中，A、B 两点连线不垂直于两点连线不垂直于 x 轴轴0CiMF3.三矩式三矩式0BiMF式中，式中，A、B、C 三点不共线三点不共线0AiMF二、平面平行力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程nFxyiF2F1FO1.基本形式基本形式0iyF 0OiMF2.两矩式两矩式
8、0BiMF0AiMF式中，式中，A、B 两点连线不平行于两点连线不平行于 y 轴轴1）可解）可解 2 个未知量个未知量说明：说明：2）y 轴平行于力系轴平行于力系一投影一矩式一投影一矩式 3）矩心位置可任意选择）矩心位置可任意选择BAqMFAyFAxFAM例例2 如图，悬臂梁如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为上作用有矩为 M 的力偶和集度为的力偶和集度为 q 的均的均布载荷，在梁的自由端还受一集中力布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为的作用，梁长为 l，试求，试求固定端固定端 A 处的约束力。处的约束力。解：解：2）受力分析）受力分析BqlAMFa1）选取梁）选取梁 AB 为研究
9、对象为研究对象3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程0,ixF0,i yF()0,AiMF4）求解未知量）求解未知量0AxFAyFqlF22AqlMFlMBqlAMFaBAqMFAyFAxFAMqlxyO0AxF0AyFqlF02AlMqlMFl解得固定端解得固定端 A 处的约束力处的约束力BCA例例3 外伸梁外伸梁 AB 如图所示，沿全长有均布载荷如图所示，沿全长有均布载荷 q=8 kN/m 作用，两作用，两支座中间有一集中力支座中间有一集中力 F=8 kN 作用。已知作用。已知 a=1 m，若不计梁自重，若不计梁自重，试求铰支座试求铰支座 C、B 处的约束力。处的约束力。解：解
10、：1）选取）选取外伸梁外伸梁 AB 为研究对象为研究对象2）受力分析）受力分析CFqFBF3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程y()0,CiMF0,iyF2302BaFaF aqa30CBFFqaF4）求解未知量）求解未知量解得解得铰支座铰支座 C、B 处的约束力处的约束力分别为分别为10 kNBF 22 kNCF 3qaaqFaaCBAADB例例4 一重一重 P=1.8 kN 的物块悬挂在图示构架上。已知的物块悬挂在图示构架上。已知 =45，若，若不计构架自重，试求支座不计构架自重，试求支座 A 处的约束力以及杆处的约束力以及杆 BC 所受的力。所受的力。解：解：2）受力分析）
11、受力分析PAxFAyFBFTFrBADCP1m2m3m1）选取滑轮、杆）选取滑轮、杆 AB 与物块组成的系统为研究对象与物块组成的系统为研究对象ADBPAxFAyFBFTF1m2m3m()0,AiMFTsin456310BFPF ()0,BiMFT6310AyFPF 0,ixFTcos450AxBFFF4）求解未知量）求解未知量2.4 kNAxF1.2 kNAyF0.85 kNBF 杆杆 BC 所受的力与所受的力与 FB 是作用力与反作用力的关系，即杆是作用力与反作用力的关系，即杆 BC 所受所受的力为的力为 0.85 kN，是拉力，是拉力3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程xy
12、解得解得AB302m3m2m3m45BMA123F30例例5 横梁横梁 AB 用三根杆支撑，受图示载荷。已知用三根杆支撑，受图示载荷。已知 F=10 kN，M=50 kNm，若不计构件自重，试求三杆，若不计构件自重，试求三杆 所受的力。所受的力。FM451F2F3F解：解：2）受力分析）受力分析1）选取横梁）选取横梁 AB 为研究对象为研究对象xy3）选取坐标轴，列平衡方程）选取坐标轴，列平衡方程()0,CiMF37sin302cos3050FFFM 0,ixF2cos45sin300FF0,iyF123sin45cos300FFFF4）求解未知量）求解未知量解得三杆所受的力分别为解得三杆所受
13、的力分别为1()5.33kNF 压2()7.07 kNF 拉3()8.33kNF 压说明：说明：F30M45ABCD1F2F3F还可利用平衡方程还可利用平衡方程MD(Fi)=0 校核上述计算结果校核上述计算结果例例6 图示塔式起重机，已知机架自重为图示塔式起重机，已知机架自重为 G，作用线距右轨，作用线距右轨 B为为 e；满载时荷重为满载时荷重为 P，距右轨，距右轨 B 为为 l；平衡块重为；平衡块重为 W，距左轨，距左轨 A 为为 a；轨；轨道道 A、B 的间距为的间距为 b。要保证起重机在空载和满载时都不翻倒，试问。要保证起重机在空载和满载时都不翻倒，试问平衡块重平衡块重 W 应为多少？应
14、为多少？解：解：1）确定空载时平衡块的重量）确定空载时平衡块的重量当空载时，当空载时，P=0。为使起重机不。为使起重机不绕点绕点 A 翻倒，必须满足翻倒，必须满足 FB 0。()0,AiMF0BFbG ebW a 解得解得1BFG ebW ab列平衡方程列平衡方程 BFeGCalPWABb选取起重机整体为研究对象选取起重机整体为研究对象受力分析受力分析AF WG eba0,iBMF0AFb W abG eP l 解得解得1AFW abG eP lb 将其代入条件将其代入条件 FB 0，即，即得空载时平衡块的重量应满足得空载时平衡块的重量应满足2）确定满载时平衡块的重量）确定满载时平衡块的重量当满载时，为使起重机不绕点当满载时，为使起重机不绕点 B 翻翻倒，必须满足倒，必须满足 FA 0。列平衡方程列平衡方程 BFeGCalPWABbAF将其代入条件将其代入条件 FA 0，即，即得满载时平衡块的重量应满足得满载时平衡块的重量应满足1WG eP lab G ebWaBFeGCalPWABbAF所以，所以，要保证起重机在空载和要保证起重机在空载和满载时都不翻倒，平衡块重应满载时都不翻倒，平衡块重应满足不等式满足不等式1WG eP lab 1G ebG eP lWaba
