1、2021-2022年中考数学真题分类汇编阅读材料题1. (2022湖南省)阅读下列材料：在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB证明：如图1，过点C作CDAB于点D，则：在RtBCD中，CD=asinB在RtACD中，CD=bsinAasinB=bsinAasinA=bsinB根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知A=67，B=53，AC=80米，求这片区域的面积(结果保留根
2、号参考数据：sin530.8，sin670.9)2. (2022贵州省黔东南苗族侗族自治州)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，ABC和BDE都是等边三角形，点A在DE上求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，ADC=120，从而得出ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程【拓展迁移】(2)如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由若A
3、E2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积3. (2022湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1,1)，求c的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x10|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tanABE=34求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦
4、韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca”.此关系通常被称为“韦达定理”4. (2022内蒙古自治区赤峰市)阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当ab时，min|a，b|=b；当ab时，min|a，b|=a例如：min|-1，3|=-1；min|-1，-2|=-2完成下列任务(1)min|(-3)0，2|=_；min|-14，-4|=_(2)如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2=-2x+b的图象交于A、B两点当-2x0，函数图象与x轴有两个不同
5、的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以=b2-4ac0；因为A，B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c0；上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需-b2a0=b2-4ac0c0-b2a0和a0时，抛物线开口向上当=b2-4ac0时，有4ac-b20，顶点纵坐标4ac-b24a0，顶点纵坐标4ac-b24a=0顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等
6、的实数根当=b2-4ac0时，(2)a0时的分析过程，写出中当a0，0且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log39可以转化为指数式32=9我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga(MN)=logaM+logaN(a0,a1,M0,N0)，理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，MN=aman=am+n，由对数的定义得m+n=loga(MN)又m+n=logaM+logaN，loga(MN)=logaM+logaN.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：l
7、og232= _ ，log327= _ ，log71= _ ；(2)求证：logaMN=logaM-logaN(a0,a1,M0,N0)；(3)拓展运用：计算log5125+log56-log53011. (2021宁夏)阅读理解：如图1，AD是ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF/BC，可以得到以下结论：AHAD=EFBC拓展应用：(1)如图2，在ABC中，BC=3，BC边上的高为4，在ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰
8、三角形展台现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度(单位：厘米)随着排数(单位：排)的变化而变化请完成下表：排数/排0123隔板长度/厘米160_ _ _ 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；在的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？12. (2021贵州省安顺市)(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作
9、周髀算经中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FGHP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12，BC=5，求EF的值；(3)拓展探究如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d已知1=2=3=，当角(0
10、2155=2；0.2+3.220.23.2=1.6；12+1821218=12猜想：如果a0，b0，那么存在a+b2ab(当且仅当a=b时等号成立)猜想证明(a-b)20，当且仅当a-b=0，即a=b时，a-2ab+b=0，a+b=2ab；当a-b0，即ab时，a-2ab+b0，a+b2ab综合上述可得：若a0，b0，则a+b2ab成立(当且仅当a=b时等号成立)猜想运用对于函数y=x+1x(x0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？变式探究对于函数y=1x-3+x(x3)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入
11、口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面积为S(米2).问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？14. (2021内蒙古自治区赤峰市)阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，且x1x2，y1y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”.如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”(1)已知点A的坐标为(2,0)若点B的坐标为(4,4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为_ ；若点C在直线x
12、=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；(2)已知点P的坐标为(3,-4)，点Q的坐标为(6,-2)若使函数y=kx的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值15. (2021山西省)(1)计算：(-1)4|-8|+(-2)3(12)2(2)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务2x-133x-22-1解：2(2x-1)3(3x-2)-6第一步4x-29x-6-6第二步4x-9x-6-6+2第三步-5x-10第四步x2第五步任务一：填空：以上解题过程中，第二步是依据_ (运算律)进行变形的；第_ 步开始出现错误，这一步错误的原因是_ ；任
13、务二：请直接写出该不等式的正确解集16. (2021湖南省张家界市)阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，(1)若x1x2，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)是增函数；(2)若x1f(x2)，则称f(x)是减函数例题：证明函数f(x)=x2(x0)是增函数证明：任取x10，x20则f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2).x10，x20，x1+x20，x1-x20(x1+x2)(x1-x2)0，即f(x1)-f(x2)0，f(x1)0)是增函数根据以上材料解答下列问题：(1)函数f(x)=1x(x0)，f(1)=11=
14、1，f(2)=12，f(3)= _ ，f(4)= _ ；(2)猜想f(x)=1x(x0)是_ 函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想17. (2021山东省济宁市)研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题(1)阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角例如，正方体ABCD-ABCD(图1)，因为在平面AACC中，CC/AA，AA与AB相交于点A，所以直线AB与AA所成的BAA就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC所成的角解决问题如图1，已知正方体ABCD-ABCD，求既不相交也不平行的两直线BA与AC所成角的大小(2)如图2，M
15、，N是正方体相邻两个面上的点；下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是_ ；在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值18. (2021山西省)阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F=95C+32得出，当C=10时，F
16、=50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式1R=1R1+1R2求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更
17、能体会到它的优越性任务：(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：用公式1R=1R1+1R2计算：当R1=7.5，R2=5时，R的值为多少；如图，在AOB中，AOB=120，OC是AOB的角平分线，OA=7.5，OB=5，用你所学的几何知识求线段OC的长19. (2021安徽省)【阅读理解】我们知道，1+2+3+n=n(n+1)2，那么12+22+32+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，；第n行n个圆圈中数的和为n个nn+n+n，即n2，这样，该三角形数阵中共
18、有n(n+1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+n2【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为_ ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+n2)= _ ，因此，12+22+32+n2= _ 【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+201721+2+3+2017的结果为_ 20. (2021广西壮族自治区南宁市)【阅读理解】如图，l1/l2，ABC的面积与DBC的面积相等吗？为什么？解：相等.在
19、ABC和DBC中，分别作AEl2，DFl2，垂足分别为E，FAEF=DFC=90，AE/DFl1/l2，四边形AEFD是平行四边形，AE=DF又SABC=12BCAE，SDBC=12BCDFSABC=SDBC【类比探究】如图，在正方形ABCD的右侧作等腰CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求ADE的面积解：过点E作EFCD于点F，连接AF请将余下的求解步骤补充完整【拓展应用】如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出BDF的面积21. (2021河南省)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细
20、阅读，并完成相应的任务小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为AOB的平分线简述理由如下：由作图知，PGO=PHO=90，OG=OH，OP=OP，所以RtPGORtPHO，则POG=POH，即射线OP是AOB的平分线小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为AOB的平分线任务：(
21、1)小明得出RtPGORtPHO的依据是_ (填序号)SSSSASAASASAHL(2)小军作图得到的射线OP是AOB的平分线吗？请判断并说明理由(3)如图3，已知AOB=60，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当CPE=30时，直接写出线段OC的长1.(1)证明：如图2，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，AD=csinB，在RtACD中，AD=bsinC，csinB=bsinC，bsinB=csinC；(2)解：如图3，过点A作AEBC于点E，BAC=67，B=53，C=60，在RtACE
22、中，AE=ACsin60=8032=403(m)，又ACsinB=BCsinBAC，即800.8=BC0.9，BC=90m，SABC=1290403=1803(m2).2.(1)证明：如图1，连接DC， ABC和BDE都是等边三角形，AB=BC，BE=BC，ABC=DBE=E=BDE=60，ABC-ABD=DBE-ABD，即CBD=ABE，CBDABE(SAS)，CD=AE，BDC=E=60，ADC=BDE+BDC=120，ADC为钝角三角形，以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形(2)解：以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG， 四边形ABCD和四边形BG
23、FE都是正方形，AB=CB，BE=BG，ABC=BCD=EBG=BGF=90，EGB=GEB=45，ABC-ABG=EBG-ABG，即CBG=ABE，CBGABE(SAS)，CG=AE，CGB=AEB=45，AGC=EGB+CGB=45+45=90，ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；由可知，CG=AE，AGC=90，CG2+AG2=AC2，AE2+AG2=AC2，AE2+AG2=10，AC2=10，四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90，AB2+BC2=AC2=10，AB2=5，S正方形ABCD=AB2=53.解：(1)当a=1，b=3时，y=x2+3
24、x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，c=-3；(2)由ax2+bx+c=0得，x1=-b-b2-4ac2a，x2=-b+b2-4ac2a，AB=x2-x1=b2-4aca，抛物线的顶点坐标为：(-b2a,4ac-b24a)，AE=b2-4ac4a，OM=b2a，BAE=90，tanABE=AEAB=34，b2-4ac4ab2-4aca=34，b2-4ac=9；b2-4ac=9，x2=-b+32a，OP/MN，NPBP=OMOB，b2a：-b+32a=2，b=2，22-4ac=9，c=-54a，T=1a2+165c=1a2-54a165=1a2-4a=(1a-2)2+4，当1a=2时
25、，T最小=4，即a=12时，T最小=44.1 -45.解：(1)根据题意得1+b+c=44+2b+c=1a=1，解得a=1b=2c=1，y=x2-2x+1=(x-1)2，该函数的表达式为y=x2-2x+1或y=(x-1)2，当x=1时，y的最小值为0；(2)根据题意得y=x2-2x+m+1，函数的图象与x轴有交点，=b2-4ac=(-2)2-4(m+1)0，解得：m0；(3)根据题意得到y=ax2-2x+3的图象如图所示，如图1， a0-22a0，即a0a1a-1，a的值不存在；如图2， a0-22a1a-2+30，即a0a13a-1，a的取值范围为-1a0，如图3， a1a-2+30，即a0
26、a=13a1a0(-2)2-12a0-22a1a-2+30a13a1a0(-2)2-12a=0-22a1a-2+30，即a0a=13a-1，a的值为13；如图6， 当a=0时，函数解析式为y=-2x+3，函数与x轴的交点为(1.5,0)，a=0成立；综上所述，a的取值范围为-10,a1,M0,N0)；(3)原式=log5(125630)=log525=211.40033203 8012.解：(1)a2+b2=c2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)，证明如下：如图是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b-a)的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，4ADE的
27、面积+正方形EFGH的面积=正方形ABCD是面积，即412ab+(b-a)2=c2，整理得：a2+b2=c2；(2)由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF=a，FD=b，a+b=12，正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，EF=EF，KF=FD，EK=BC=5，EF-KF=EK，a-b=5，由得：a+b=12a-b=5，解得：a=172，EF=172；(3)c+b=n，理由如下：如图所示：设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，1=2=3=，PMQ=DOE=BCA=90，PMQDOEBCA，OECA=DEBA，PMBC=PQBA，即ce
28、=en，bf=fn，e2=cn，f2=bn，在RtABC中，由勾股定理得：e2+f2=n2，cn+bn=n2，c+b=n13.解：猜想运用：x0，x+1x2x1x，y2，当x=1x时，ymin=2，此时x2=1，只取x=1，即x=1时，函数y的最小值为2变式探究：x3，x-30，y=1x-3+x=1x-3+(x-3)+321x-3(x-3)+35，当1x-3=x-3时，ymin=5，此时(x-3)2=1，x1=4，x2=2(舍去)即x=4时，函数y的最小值为5拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得：9x+12y=63，即：3x+4y=21，3x0，4y03x+4
29、y23x4y，即：21212xy，整理得：xy14716，即：S14716，当3x=4y，时Smax=14716此时x=72，y=218即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S的最大值为1471614.(1)12；若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，C(4,2)或(4,-2)，设直线AC的关系式为：y=kx+b将(2,0)、(4,2)代入解得：k=1，b=-2，y=x-2，将(2,0)、(4,-2)代入解得：k=-1，b=2，y=-x+2，直线AC的解析式为：y=x-2或y=-x+2；(2)点P的坐标为(3,-4)，点Q的坐标为(6,-2)，设点P、Q的“相关矩形”为矩形
30、MPNQ，则M(3,-2)，N(6,-4)，当函数y=kx的图象过M时，k=-6，当函数y=kx的图象过N时，k=-24，若使函数y=kx的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则-24k-615.解：(1)(-1)4|-8|+(-2)3(12)2=18-814=8-2=6；(2)任务一：乘法分配律五；化系数为1用到性质3，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向；任务二：x216.(1)13；14(2)减；证明：任取x10，x20，则f(x1)-f(x2)=1x1-1x2=x2-x1x1x2，x10，x20，x2-x10，x1x20，x2-x1x1x20，即f(x1)-f(x2)0，函数
31、f(x)=1x(x0)是减函数17.解：(1)如图1中，连接BCAB=BC=AC，ABC是等边三角形，BAC=60，AC/AC，CAB是两条直线AC与BA所成的角，两直线BA与AC所成角为60(2)丙如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJNK于J由题意在RtMKJ中，MJK=90，MJ=5+3=8，JK=8-(4-2)=6，MK=MJ2+JK2=82+62=10，PM+PN的最小值为1018.解：(1)图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；(答案不唯一)(2)当R1=7.5，R2=5时，1R=1R1+1
32、R2=17.5+15=5+7.57.55=13，R=3过点A作AM/CO，交BO的延长线于点M，如图，OC是AOB的角平分线，COB=COA=12AOB=12120=60AM/CO，MAO=AOC=60，M=COB=60MAO=M=60OA=OMOAM为等边三角形OM=OA=AM=7.5AM/CO，BCOBAMOCAM=BOBMOC7.5=57.5+5OC=3综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的19.【规律探究】2n+1；n(n+1)(2n+1)2；n(n+1)(2n+1)6；【解决问题】134520.解：【类比探究】过点E作EFCD于点F，连接AF，四边形ABCD是正方形，AD=CD=4，ADC=90，DE=CE，EFCD，DF=CF=12CD=2，ADC=EFD=90，AD/EF，SADE=SADF，SADE=12ADDF=1242=4；【拓展应用】如图，连接CF，四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，BDC=45，GCF=45，BDC=GCF，BD/CF，SBDF=S
