1、四川省自贡市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类一实数的运算（共2小题）1（2021自贡）计算：|7|+（2）02（2020自贡）计算：|2|（+）0+（）1二分式的化简求值（共1小题）3（2020自贡）先化简，再求值：（+1），其中x是不等式组的整数解三分式方程的应用（共2小题）4（2022自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度5（2021自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业现有A，B两种型号的无人
2、机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？四解一元一次不等式（共1小题）6（2020自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1
3、|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最小值是 ；利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4；当a为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2五解一元一次不等式组（共1小题）7（2022自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集六一次函数与一元一次不等式（共1小题）8（2021自贡）函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验
4、，画出函数y的图象，并探究其性质列表如下：x432101234ya0b2（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y的图象，判断下列关于该函数性质的命题：当2x2时，函数图象关于直线yx对称；x2时，函数有最小值，最小值为2；1x1时，函数y的值随x的增大而减小其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式x的解集 七一次函数的应用（共1小题）9（2020自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折（
5、1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？八反比例函数综合题（共1小题）10（2022自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，2），B（m，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B作直线ly轴，过点A作ADl于点D，点C是直线l上一动点，若DC2DA，求点C的坐标九二次函数综合题（共3小题）11（2022自贡）已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，且函数图象经过（0，3），（2，5）两点，求
6、此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c0且abc，一元二次方程ax2+bx+c0两根之差等于ac，函数图象经过P（c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小12（2021自贡）如图，抛物线y（x+1）（xa）（其中a1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C（1）直接写出OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为ABC的外心，且BCD与ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y（x+1）（xa）上是否存在一点
7、P，使得CAPDBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13（2020自贡）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EFAM于点F，过点E作EHx轴于点H，交AM于点D点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：求PD+PC的最小值；如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值一十全等三角形的判定与性质（共1小题）14（2022自贡）如图，ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DBEC求证：DE一十
8、一矩形的性质（共2小题）15（2022自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EBAB我们还可以得到FC ，EF ；（2）进一步观察，我们还会发现EFAD，请证明这一结论；（3）已知BC30cm，DC80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离16（2021自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点求证：DEBF一十二正方形的性质（共1小题）17（2020自贡）如图，在正方形ABCD中，点
9、E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CEDF，连接AE和BF相交于点M求证：AEBF一十三圆的综合题（共2小题）18（2021自贡）如图，点D在以AB为直径的O上，过D作O的切线交AB延长线于点C，AECD于点E，交O于点F，连接AD，FD（1）求证：DAEDAC；（2）求证：DFACADDC；（3）若sinC，AD4，求EF的长19（2020自贡）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，点P为O外一点，且PAPCAB，连接PO交AC于点D，延长PO交O于点F（1）证明：；（2）若tanABC2，证明：PA是O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交O于点E，连接DE，若BC2，求D
10、E的长一十四作图应用与设计作图（共1小题）20（2021自贡）如图，ABC的顶点均在正方形网格格点上只用不带刻度的直尺，作出ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）一十五解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）21（2022自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆OM、量角器90刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图），此时目标P的仰角POCGON请说明这两个角相等的理由（2）实地测量如图，公园广场上有一棵树，为
11、测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角POQ60，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH（1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角、，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米求PH（用、m表示）22（2021自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30，综合楼高
12、24米请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan370.75，tan531.33，1.73）一十六列表法与树状图法（共3小题）23（2022自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0t3，3t4，4t5，t5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2
13、人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率24（2021自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图（1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数25（2020自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周
14、中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图（1）本次调查的学生人数是 人，m ；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是 参考答案与试题解析一实数的运算（共2小题）1（2021自贡）计算：|7|+（2）0【解答】解：原式57+112（2020自贡）计算：|2|
15、（+）0+（）1【解答】解：原式21+（6）1+（6）5二分式的化简求值（共1小题）3（2020自贡）先化简，再求值：（+1），其中x是不等式组的整数解【解答】解：（+1），由不等式组，得1x1，x是不等式组的整数解，x1，0，当x1时，原分式无意义，x0，当x0时，原式三分式方程的应用（共2小题）4（2022自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，由题意可得：2，解得x15，经检
16、验，x15是原分式方程的解，答：张老师骑车的速度是15千米/小时5（2021自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【解答】解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x20）件，根据题意得：，解得：x70，经检验，x70是原分式方程的根，且符合题意，702050，答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件四解一元一次不等式（共1小题）6（2020自贡）
17、我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x4|+|x+2|的最
18、小值是6；利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4；当a为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2【解答】解：（3）解决问题：|x4|+|x+2|x4|+|x（2）|，表示P到A与到B的距离之和，点P在线段AB上，PA+PB6，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB6，|x4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；如图所示，满足|x+3|+|x1|x（3）|+|x1|4，表示到3和1距离之和大于4的范围，当点在3和1之间时，距离之和为4，不满足题意；当点在3的左边或1的右边时，距离之和大于4，则x范围为x3或x1；当a为1或5时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2五解
19、一元一次不等式组（共1小题）7（2022自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集【解答】解：由不等式3x6，解得：x2，由不等式5x+43x+2，解得：x1，不等式组的解集为：1x2，在数轴上表示不等式组的解集为：六一次函数与一元一次不等式（共1小题）8（2021自贡）函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验，画出函数y的图象，并探究其性质列表如下：x432101234ya0b2（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y的图象，判断下列关于该函数性质
20、的命题：当2x2时，函数图象关于直线yx对称；x2时，函数有最小值，最小值为2；1x1时，函数y的值随x的增大而减小其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式x的解集 x2或0x2【解答】解：（1）把x2代入y得，y2，把x1代入y得，y，a2，b，函数y的图象如图所示：（2）观察函数y的图象，当2x2时，函数图象原点对称；错误；x2时，函数有最小值，最小值为2；正确；1x1时，函数y的值随x的增大而减小，正确故答案为；（3）由图象可知，函数y与直线yx的交点为（2，2）、（0，0）、（2，2）不等式x的解集为x2或0x2七一次函数的应用（共1小题）9（2020
21、自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？【解答】解：（1）由题意可得，y甲0.9x，当0x100时，y乙x，当x100时，y乙100+（x100）0.80.8x+20，由上可得，y乙；（2）当0x100时，此时选择甲商场购物更省钱；当0.9x0.8x+20时，得x200，即100x200，此时选择甲
22、商场购物更省钱；当0.9x0.8x+20时，得x200，即此时两家商场购物一样；当0.9x0.8x+20时，得x200，即此时选择乙商场购物更省钱八反比例函数综合题（共1小题）10（2022自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，2），B（m，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B作直线ly轴，过点A作ADl于点D，点C是直线l上一动点，若DC2DA，求点C的坐标【解答】解：（1）A（1，2）在反比例函数y的图象上，n2（1）2，其函数解析式为y；B（m，1）在反比例函数的图象上，m2，m2，B（2，1）A（1，2），B（2
23、，1）两点在一次函数ykx+b的图象上，解得，一次函数的解析式为：yx+1；（2）直线ly轴，ADl，AD3，D（2，2），DC2DA，DC6，点C是直线l上一动点，C（2，8）或（2，4）九二次函数综合题（共3小题）11（2022自贡）已知二次函数yax2+bx+c（a0）（1）若a1，且函数图象经过（0，3），（2，5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c0且abc，一元二次方程ax2+bx+c0两根之差等于ac，函数图象经过P（c，y1），Q（1+3c，y2
24、）两点，试比较y1、y2的大小【解答】解：（1）由题意可得：，解得：，抛物线的解析式为：yx22x+3（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4），当y0时，则0x22x+3，x11，x23，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（2）如图，当y3时，3x22x+3，x10，x22，由图象可得：当2x0时，y3；（3）a+b+c0且abc，a0，c0，bac，一元二次方程ax2+bx+c0必有一根为x1，一元二次方程ax2+bx+c0两根之差等于ac，方程的另一个根为1+ca，抛物线yax2+bx+c的对称轴为：直线x1+，1+，a+ca2+ac+2a，（a1）（ac）0，ac，a1，P（
25、c，y1），Q（1+3c，y2），b1c，抛物线解析式为：yx2（1+c）x+c，当xc时，则y1（c）2（1+c）（c）+c2c2+c，当x1+3c时，则y2（1+3c）2（1+c）（1+3c）+c6c2+3c，y2y1（6c2+3c）（2c2+c）4（c+）2，bc，1cc，c，4（c+）20，y2y112（2021自贡）如图，抛物线y（x+1）（xa）（其中a1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C（1）直接写出OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为ABC的外心，且BCD与ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y（x+1）（xa）上
26、是否存在一点P，使得CAPDBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线y（x+1）（xa），令y0，可得x1或a，B（1，0），A（a，0），令x0，得到ya，C（0，a），OAOCa，OB1，AB1+aAOC90，OCA45（2）AOC是等腰直角三角形，OAC45，点D是ABC的外心，BDC2CAB90，DBDC，BDC也是等腰直角三角形，DBCOAC，解得a2，经检验，a2是方程的解，抛物线的解析式为y（x+1）（x2）x2x2（3）作点C关于抛物线的对称轴x的对称点C，连接ACC（0，2），C（1，2），CCAB，BC，AC关于直线x对称，CBAC，四边形
27、ABCC是等腰梯形，CBACAB，DBCOAC45，ABDCAC，当点P与点C重合时满足条件，P（1，2）作点P关于直线AC的对称点E（0，1），则EACPACABD，作直线AE交抛物线于P，点P满足条件，A（2，0），E（0，1），直线AE的解析式为yx1，由，解得（即点A）或，P（，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，2）或（，）13（2020自贡）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EFAM于点F，过
28、点E作EHx轴于点H，交AM于点D点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：求PD+PC的最小值；如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值【解答】解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3）ax2+2ax3a，即3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3；（2）由抛物线的表达式得，点M（1，4），点N（0，3），则tanMAC2，则设直线AM的表达式为：y2x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b6，故直线AM的表达式为：y2x+6，EFDDHA90，EDFADH，MACDEF，则tanDEF2，则cosDEF，设点E（x，x22x+3），则点D（
29、x，2x+6），则FEEDcosDEF（x22x+32x6）（x24x3），0，故EF有最大值，此时x2，故点D（2，2）；点C（1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PCPD+PBDB为最小，则BD；过点O作直线OK，使sinNOK，过点D作DKOK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，DQ+OQDQ+QKDK为最小值，则直线OK的表达式为：yx，DKOK，故设直线DK的表达式为：yx+b，将点D的坐标代入上式并解得：b2，而直线DK的表达式为：yx+2，故点Q（0，2），由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角（设为）的正切值为，则cos
30、，则DQ，而OQ（2），则DQ+OQ为最小值+（2）一十全等三角形的判定与性质（共1小题）14（2022自贡）如图，ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DBEC求证：DE【解答】证明：ABC是等边三角形，ABAC，ABCACB60，ABDACE120，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），DE一十一矩形的性质（共2小题）15（2022自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EBAB我们还可以得到FCCD，EFAD；（2）进
31、一步观察，我们还会发现EFAD，请证明这一结论；（3）已知BC30cm，DC80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离【解答】（1）解：把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，矩形ABCD的各边的长度没有改变，ABBE，EFAD，CFCD，故答案为：CD，AD；（2）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，ADBC，ABBE，EFAD，CFCD，BECF，EFBC，四边形BEFC是平行四边形，EFBC，EFAD；（3）如图，过点E作EGBC于G，DCABBE80cm，点H是CD的中点，CHDH40cm，在RtBHC中，BH50（cm），E
32、GBC，CHEG，BCHBGE，EG64，EF与BC之间的距离为64cm16（2021自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点求证：DEBF【解答】证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，又E、F分别是边AB、CD的中点，DFBE，又ABCD，四边形DEBF是平行四边形，DEBF一十二正方形的性质（共1小题）17（2020自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CEDF，连接AE和BF相交于点M求证：AEBF【解答】证明：在正方形ABCD中，ABBCCDDA，ABEBCF90，CEDF，BECF，在AEB与BFC中，AEB
33、BFC（SAS），AEBF一十三圆的综合题（共2小题）18（2021自贡）如图，点D在以AB为直径的O上，过D作O的切线交AB延长线于点C，AECD于点E，交O于点F，连接AD，FD（1）求证：DAEDAC；（2）求证：DFACADDC；（3）若sinC，AD4，求EF的长【解答】（1）证明：如图，连接ODCD是O的切线，ODEC，AECE，AEOD，EADADO，OAOD，ADODAO，DAEDAC（2）证明：如图，连接BFAB是直径，AFB90，AEEC，AFBE90，BFEC，ABFC，ADFABF，ADFC，DAFDAC，DAFCAD，DFACADDC（3）解：过点D作DHAC于HCD
34、是O的切线，ODC90，sinC，可以假设ODk，OC4k，则OAODk，CDk，ODDCOCDH，DHk，OHk，AHOA+OHk，AD2AH2+DH2，（4）2（k）2+（k）2k8或8（舍弃），AC5k40，AB2k16，sinCsinABF，AE10，AF4，EFAEAF104619（2020自贡）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，点P为O外一点，且PAPCAB，连接PO交AC于点D，延长PO交O于点F（1）证明：；（2）若tanABC2，证明：PA是O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交O于点E，连接DE，若BC2，求DE的长【解答】（1）证明：连接OCPCPA，OCOA，O
35、P垂直平分线段AC，（2）证明：设BCa，AB是直径，ACB90，tanABC2，AC2a，AB3a，OCOAOB，CDADa，PAPCAB，PAPC3a，PDC90，PD4a，DCDA，AOOB，ODBCa，AD2PDOD，ADPADO90，ADPODA，PADDOA，DOA+DAO90，PAD+DAO90，PAO90，OAPA，PA是O的切线（3）解：法一：如图，过点E作EJPF于J，BKPF于KBC2，由（2）可知，PA6，AB6，PAB90，PB6，PA2PEPB，PE4，CDKBKDBCD90，四边形CDKB是矩形，CDBK2，BCDK2，PD8，PK10，EJBK，EJ，PJ，DJ
36、PDPJ8，DE法二：由（2）可得BC2，AC4，AB6，PA6，PB6，在RtPBA中，连接AE，可得AEB90，PEAPAB90，又APEAPB，PEAPAB，PE4，过E作EJPD于J，过B作BKPF于K，如图所示，BCDCDFBKD90，四边形BCDK是矩形，BKCD2，在RtBPH中，sinBPH，在RtPEN中，sinBPH，EJ，PJ，JDPDPJ，在RtJED中，DE一十四作图应用与设计作图（共1小题）20（2021自贡）如图，ABC的顶点均在正方形网格格点上只用不带刻度的直尺，作出ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：如图，线段BD即为所求作一十五解直角三
37、角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）21（2022自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆OM、量角器90刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图），此时目标P的仰角POCGON请说明这两个角相等的理由（2）实地测量如图，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角POQ60，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH（1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有
38、一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角、，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米求PH（用、m表示）【解答】解：（1）COG90，AON90，POC+CONGON+CON，POCGON；（2）由题意可得，KHOQ5米，QHOK1.5米，PQO90，POQ60，tanPOQ，tan60，解得PQ5，PHPQ+QH5+1.510.2（米），即树高PH为10.2米；（3）由题意可得，O1O2m，O1EO2FDH1.5米，由图可得，tan，tan，O2D，O1
39、D，O1O2O2DO1D，m，PD，PHPD+DH（+1.5）米22（2021自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30，综合楼高24米请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan370.75，tan531.33，1.73）【解答】解：由题意可知AB24米，BDA53，tanBDA1.33，AD18.05（米）tanCADtan30，CD18.0510.4（米）故办公楼的高度约为10.4米一十六列表法与树状图法（共3小题）23（2022自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0t3，3t4，4t5，t5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率【解答】解：（1）n100，D等级的人数10040151035（人），条形统计图补充如下：（2）学校每周参加课
