1、江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：07解答题压轴题一一元二次方程的应用（共1小题）1（2018常州）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为xa的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程x3
2、+x22x0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x2）0，解方程x0和x2+x20，可得方程x3+x22x0的解（1）问题：方程x3+x22x0的解是x10，x2 ，x3 ；（2）拓展：用“转化”思想求方程x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD8m，宽AB3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C求AP的长二反比例函数综合题（共1小题）2（2021常州）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地
3、得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用【理解】（1）如图1，ACBC，CDAB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE已知ADa，BDb（0ab）分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；比较大小：CE CD（填“”、“”或“”），并用含a、b的代数式表示该大小关系【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y（x0）的图象上，横坐标分别为m、n设pm+n，q，记lpq当m1，n2时，l ；当m3，n3时，l ；通过归纳猜想，可得l的最小值是 请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立三二次函数综合题（共2小题）3（2021常州）如图，在
4、平面直角坐标系xOy中，正比例函数ykx（k0）和二次函数yx2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点CD是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AEOD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作DEGF（1）填空：k ，b ；（2）设点D的横坐标是t（t0），连接EF若FGEDFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若SDFPSDEGF，求OD的长4（2019常州）如图，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上
5、（1）b ；（2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且SPQB2SQRB，求点P的坐标四圆的综合题（共3小题）5（2022常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC（1）沿AC、BC剪下ABC，则ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H已知剪
6、下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形小明的猜想是否正确？请说明理由6（2020常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点（Q在P、H之间）我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQPH的值称为I关于直线a的“特征数”（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）半径
7、为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点 （填“A”、“B”、“C”或“D”），O关于直线m的“特征数”为 ；若直线n的函数表达式为yx+4求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作F若F与直线l相离，点N（1，0）是F关于直线l的“远点”且F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式7（2019常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列图形的
8、宽距：半径为1的圆： ；如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d若d2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在M上运动，M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上对于M上任意点C，都有5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围五几何变换综合题（共1小题）8（2021常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A两点，若在y轴上存在点T，使得ATA90，且TATA，则称A、A两点互相关
9、联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点M（2，0）、N（1，0），点Q（m，n）在一次函数y2x+1的图象上（1）如图，在点B（2，0）、C（0，1）、D（2，2）中，点M的关联点是 （填“B”、“C”或“D”）；若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P，则点P的坐标是 ；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作E、Q若对E上的任意一点G，在Q上总存在点G，使得G、G两点互相关联，请直接写出点Q的坐标参考答案与试题解析一一元二次方程的应用（共1小题）1（2018常州）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基
10、本性质，把方程转化为xa的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程x3+x22x0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x2）0，解方程x0和x2+x20，可得方程x3+x22x0的解（1）问题：方程x3+x22x0的解是x10，x22，x31；（2）拓展
11、：用“转化”思想求方程x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD8m，宽AB3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C求AP的长【解答】解：（1）x3+x22x0，x（x2+x2）0，x（x+2）（x1）0所以x0或x+20或x10x10，x22，x31；故答案为：2，1；（2）x，方程的两边平方，得2x+3x2即x22x30（x3）（x+1）0x30或x+10x13，x21，当x1时，11，所以1不是原方程的解所以方程x的解是x3
12、；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以AD90，ABCD3m设APxm，则PD（8x）m因为BP+CP10，BP，CP+1010两边平方，得（8x）2+910020+9+x2整理，得54x+9两边平方并整理，得x28x+160即（x4）20所以x4经检验，x4是方程的解答：AP的长为4m二反比例函数综合题（共1小题）2（2021常州）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用【理解】（1）如图1，ACBC，CDAB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE已知ADa，BDb（0ab）分别求线段CE、CD的长
13、（用含a、b的代数式表示）；比较大小：CECD（填“”、“”或“”），并用含a、b的代数式表示该大小关系【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y（x0）的图象上，横坐标分别为m、n设pm+n，q，记lpq当m1，n2时，l；当m3，n3时，l1；通过归纳猜想，可得l的最小值是 1请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立【解答】解：（1）如图1中，ACBC，CDAB，ADCCDBACB90，ACD+A90，A+B90，ACDB，ADCCDB，CD2ADDB，ADa，DBb，CD0，CD，ACB90，AEEB，ECAB（a+b），CDAB，根据垂线段最短可知，CD
14、CE，即（a+b），a+b2，故答案为：（2）当m1，n2时，l；当m3，n3时，l1，故答案为：，1猜想：l的最小值为1故答案为：1理由：如图2中，过点M作MAx轴于A，MEy轴于E，过点N作NBx轴于B，NFy轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JGy轴于G，JCx轴于C，则J（，），当mn时，点J在反比例函数图象的上方，矩形JCOG的面积1，当mn时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积1，矩形JCOG的面积1，1，即l1，l的最小值为1三二次函数综合题（共2小题）3（2021常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数ykx（k0）和二次函数yx2+bx+3的图象都
15、经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点CD是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AEOD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作DEGF（1）填空：k，b1；（2）设点D的横坐标是t（t0），连接EF若FGEDFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若SDFPSDEGF，求OD的长【解答】解：（1）正比例函数ykx（k0）经过A（4，3），34k，k，二次函数yx2+bx+3的图象经过点A（4，3），342+4b+3，b1，故答案为：，1（2）如图1中，过点E作EPDF于P，连接EF四边形DEGF是平行四边
16、形，GEDFEGFEFD，EFDEDF，EFED，EPDF，PDPF，D（t，t），ODAEt，ACAB，OAC90，tanAOC，OA5，ACOAtanAOC，OCAC，ECACAEt，tanACO，点E的纵坐标为3t，F（t，t2+t+3），PFPD，3t，解得t或（舍弃）满足条件的t的值为（3）如图2中，因为点D在线段AB上，SDFPSDEGF，所以DP2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，设PF交AB于J，ACAB，PFAB，PJAE，DJ：AJDP：PE2，D（t，t），F（t，t2+t+3），ODt，DFt2+t+3tt2+t+3，DJDFt2+t+，AJDJt2+t+，OA5
17、，tt2+t+t2+t+5，整理得9t259t+920，解得t或4（4不合题意舍弃），ODt4（2019常州）如图，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上（1）b2；（2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且SPQB2SQRB，求点P的坐标【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，
18、0）1b+30解得：b2故答案为：2（2）存在满足条件呢的点P，使得PMMNNH二次函数解析式为yx2+2x+3当x0时y3，C（0，3）当y0时，x2+2x+30解得：x11，x23A（1，0），B（3，0）直线BC的解析式为yx+3点D为OC的中点，D（0，）直线BD的解析式为y+，设P（t，t2+2t+3）（0t3），则M（t，t+3），N（t，t+），H（t，0）PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MNt+3（t+）t+，NHt+MNNHPMMNt2+3tt+解得：t1，t23（舍去）P（，）P的坐标为（，），使得PMMNNH（3）过点P作PFx轴于F，交直线BD于EOB3，OD，
19、BOD90BDcosOBDPQBD于点Q，PFx轴于点FPQEBQRPFR90PRF+OBDPRF+EPQ90EPQOBD，即cosEPQcosOBD在RtPQE中，cosEPQPQPE在RtPFR中，cosRPFPRPFSPQB2SQRB，SPQBBQPQ，SQRBBQQRPQ2QR设直线BD与抛物线交于点G+x2+2x+3，解得：x13（即点B横坐标），x2点G横坐标为设P（t，t2+2t+3）（t3），则E（t，t+）PF|t2+2t+3|，PE|t2+2t+3（t+）|t2+t+|若t3，则点P在直线BD上方，如图2，PFt2+2t+3，PEt2+t+PQ2QRPQPRPEPF，即6P
20、E5PF6（t2+t+）5（t2+2t+3）解得：t12，t23（舍去）P（2，3）若1t，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQQR，即SPQB2SQRB不成立若t1，则点P在x轴下方，如图4，PF（t2+2t+3）t22t3，PEt+（t2+2t+3）t2tPQ2QRPQ2PRPE2PF，即2PE5PF2（t2t）5（t22t3）解得：t1，t23（舍去）P（，）综上所述，点P坐标为（2，3）或（，）四圆的综合题（共3小题）5（2022常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC（1）沿AC、B
21、C剪下ABC，则ABC是 直角三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形小明的猜想是否正确？请说明理由【解答】解：（1）AB是直径，直径所对的圆周角是直角，ABC是直角三角形，故答案为：直角；（2）如图，四边形EFHG或四边形EF
22、GH即为所求（3）小明的猜想正确理由：如图2中，当点C靠近点A时，设CMCA，ANCB，MNAB，AB12cm，MN4cm，分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，则四边形MNQP是边长为4cm的菱形如图3中，当点C靠近点B时，同法可得四边形MNQP是菱形综上所述，小明的猜想正确6（2020常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点（Q在P、H之间）我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQPH的值称为I关于直线a的“特征数”（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D过点E画垂直
23、于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点D（填“A”、“B”、“C”或“D”），O关于直线m的“特征数”为10；若直线n的函数表达式为yx+4求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作F若F与直线l相离，点N（1，0）是F关于直线l的“远点”且F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式【解答】解：（1）由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直线m的特征数DBDE2510，故答案为：D，10如图1中，过点O作OH直线n于H，交O于Q，P设直线yx+4交x轴于F（，0），交y轴于E（0，4），O
24、E4，OF，tanFEO，FEO30，OHOE2，PHOH+OP3，O关于直线n的“特征数”PQPH236（2）如图2中，设直线l的解析式为ykx+b当k0时，过点F作FH直线l于H，交F于E，N由题意，EN2，ENNH4，NH，N（1，0），M（1，4），MN2，HM，MNH是等腰直角三角形，MN的中点K（0，2），KNHKKM，H（2，3），把H（2，3），M（1，4）代入ykx+b，则有，解得，直线l的解析式为yx+，当k0时，同法可知直线l经过H（2，1），可得直线l的解析式为y3x+7综上所述，满足条件的直线l的解析式为yx+或y3x+77（2019常州）已知平面图形S，点P、Q是S
25、上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列图形的宽距：半径为1的圆：2；如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：1+；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d若d2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在M上运动，M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上对于M上任意点C，都有5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围【解答】解：（1）半径为1的圆的
26、宽距离为2，故答案为2如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是O上一点，连接OP，PC，OC在RtODC中，OCOP+OCPC，PC1+，这个“窗户形“的宽距为1+故答案为1+（2）如图21中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）点C所在的区域的面积为S1+S22如图22中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MTx轴于T设M点坐标为（x，2）（x0），由题意可知：ACd，MC1，由图象可知：AMMCACAM+MC，又对于M上任意点C，5d8恒成立，AMMC5，
27、AM+MC8，6AM7，在RtAMT中，根据勾股定理得：AM2MT2+AT222+（x+1）2，6222+（x+1）272，32（x+1）245，x0，4x+13，41x31，满足条件的点M的横坐标的范围为41x31当点M在y轴的左侧时，同理可得，满足条件的点M的横坐标的范围为3+1x4+1综上所述，满足条件的点M的横坐标的范围为3+1x4+1或41x31五几何变换综合题（共1小题）8（2021常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A两点，若在y轴上存在点T，使得ATA90，且TATA，则称A、A两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点M（2，0）、N（1，0），点Q（m，n）在
28、一次函数y2x+1的图象上（1）如图，在点B（2，0）、C（0，1）、D（2，2）中，点M的关联点是 B（填“B”、“C”或“D”）；若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P，则点P的坐标是 （2，0）；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作E、Q若对E上的任意一点G，在Q上总存在点G，使得G、G两点互相关联，请直接写出点Q的坐标【解答】解：（1）如图1中，如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，M（2，0），B（2，0），OTOMOB2，TBM是等腰直角三角形，在点B（2，0）、C（0，1）、D（2，2）中，点M的关
29、联点是点B，故答案为：B取点T（0，1），连接MT，PT，则MTB是等腰直角三角形，线段MN上存在点P（1，1）的关联点P，则点P的坐标是 （2，0），故答案为：（2，0）（2）如图21中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，2m+1），MTQ是等腰直角三角形，过点Q作QHy轴于H，QHTMOTMTQ90，MTO+QTH90，QTH+TQH90，MTOTQH，TMTQ，MOTTHQ（AAS），QHTOm，THOM2，2m+12m，m1如图22中，当N，Q是互相关联点，NOQ是等腰直角三角形，此时m0，观察图象可知，当1m0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q，如图23中，当N，Q是互相关联点，NTQ
30、是等腰直角三角形，设Q（m，2m+1），过点Q作QHy轴于H，同法可证NOTTHQ（AAS），QHTOm，THON1，12m+1m，m如图24中，当M，Q是互相关联点，MTQ是等腰直角三角形，同法可得m1，观察图象可知，当m1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q，解法二：在MN上任取一点Q，然后作出Q的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q的坐标是分别是（m1，0）、（13m，0），再根据2x1可以求出m的取值范围综上所述，满足条件的m的值为1m0或m1（3）如图31中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QHy轴于H，过点E作EKOH于K设Q（t，2t+1）QHTEKTQTE90，QTH+ETK90，ETK+KET90，HTQKET，TQTE，THQEKT（AAS），QHTKt，THEK4，OH2t+1，OK2，2t+142+t，t，Q（，）如图32中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QHy轴于H，过点E作EKOH于K设Q（t，2t+1）QHTEKGTQTE90，QTH+ETK90，ETK+EKT90，HTQKET，TQTE，THQEKT（AAS），QHTKt，THEK4，OH2t1，OK2，2t14t2，t3，Q（3，5）综上所述，满足条件的点Q的坐标为（，）或（3，5）
