1、内蒙古赤峰市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-04解答题提升题一分式的化简求值（共1小题）1（2021赤峰）先化简，再求值：，其中m二一次函数综合题（共1小题）2（2022赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD4m，宽AB1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图，以下简称水池2）【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1x+4（x0）；设水池2的
2、边EF的长为x（m）（0x6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2x2+6x（0x6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 （可省略单位），水池2面积的最大值是 m2；（2）在图字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的x（m）值是 ；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 ；（4）在1x4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2
3、）关于x（m）（x0）的函数解析式为：y3x+b（x0）若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值三反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）3（2020赤峰）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2，x1x2问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c0（b，c均不为0）的解
4、求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值四反比例函数综合题（共1小题）4（2021赤峰）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”（1）已知点A的坐标为（2，0）若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为 ；若点C在直线x4上，且点A、C
5、的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为（3，4），点Q的坐标为（6，2）若使函数y的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值五二次函数综合题（共2小题）5（2021赤峰）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线mAC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EHm，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH（1）抛物线的解析式为 ；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F
6、、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由6（2020赤峰）如图，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线yx+2经过B，C两点（1）直接写出二次函数的解析式 ；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QEy轴，交x轴于点E若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标
7、；如果不存在，请说明理由六四边形综合题（共2小题）7（2022赤峰）同学们还记得吗？图，图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：【问题一】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ；【问题二】受图启发，兴趣小组画出了图：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且mn，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；【问题三】受图启发，兴
8、趣小组画出了图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC6，CE2在直线BE上是否存在点P，使APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由8（2020赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PEPD，交直线AB于点E，过点P作MNAB，交直线CD于点M，交直线AB于点NAB4，AD4（1）如图1，当点P在线段AC上时，PDM和EPN的数量关系为：PDM EPN；的值是 ；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，
9、PE为邻边作矩形PEFD设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值七直线与圆的位置关系（共1小题）9（2021赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，O经过点B，C，交对角线BD于点E，且，连接OE交BC于点F（1）试判断AB与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD，tanCBD，求O的半径八切线的判定与性质（共1小题）10（2022赤峰）如图，已知AB为O的直径，点C为O外一点，ACBC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且DCAOCA（1）求证：AD是O的切线；（2）若CD6，OF4，求co
10、sDAC的值九作图应用与设计作图（共1小题）11（2020赤峰）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）一十几何变换综合题（共1小题）12（2021赤峰）数学课上，有这样一道探究题如图，已知ABC中，ABACm，BCn，BAC（0180），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，
11、将线段CP绕点P顺时针旋转，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为，探究的值和的度数与m、n、的关系请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了60时，如图1，求出了的值和的度数分别为 ， ；小红研究了90时，如图2，求出了的值和的度数分别为 ， ；【类比探究】他们又共同研究了120时，如图3，也求出了的值和的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律： （用含m、n的式子表示）； （用含的式子表示）（2）求出120时的值和的度数一十一列表法与树状图法（共1小题）13（2021赤峰）某学校九年级有1
12、2个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t6、6t8、t8分为三类进行分析（1）下列抽取方法具有代表性的是 A随机抽取一个班的学生B从12个班中，随机抽取50名学生C随机抽取50名男生D随机抽取50名女生（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：睡眠时间t（小时）55.566.577.588.5人数（人）11210159102这组数据的众数和中位数分别是 ， ；估计九年级学生平均每天睡眠时间t
13、8的人数大约为多少；（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率参考答案与试题解析一分式的化简求值（共1小题）1（2021赤峰）先化简，再求值：，其中m【解答】解：原式（），当m3+1+2723时，原式二一次函数综合题（共1小题）2（2022赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD4m，宽AB1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图，以下简称水池2）【建立模型】如果设水池ABC
14、D的边AD加长长度DM为x（m）（x0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1x+4（x0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0x6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2x2+6x（0x6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 3x6（可省略单位），水池2面积的最大值是 9m2；（2）在图字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 C，E，此时的x（m）值是 1或4；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 0x1或4x6；（4）在1x4
15、范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x0）的函数解析式为：y3x+b（x0）若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值【解答】解：（1）y2x2+6x（x3）2+9，又10，抛物线的开口方向向下，当x3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，0x6，当3x6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2故答案为：3x6；9；（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：x+4x2+6x，
16、解得：x1或4，表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4故答案为：C，E；1或4；（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，即当0x1或4x6时，水池1的面积大于水池2的面积，故答案为：0x1或4x6；（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FGy轴交线段CE于点G，则线段FG表示两个水池面积差，设F（m，m2+6m），则G（m，m+4），FG（m2+6m）（m+4）m2+5m4+，10，当m时，FG有最大值为在1x4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；（5）水池3与水池2的面积相等，y3y2，即：x+b
17、x2+6x，x25x+b0若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，（5）241b0，解得：b若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米三反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）3（2020赤峰）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2，x1x2问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数如；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c0（a，b，c均不为0）的两根，x3
18、是关于x的方程bx+c0（b，c均不为0）的解求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，；理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+35，能构成“和谐三数组”，故答案为：如；（2）证明：x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c0（a，b，c均不为0）的两根，x1+x2，x1x2，+，x3是关于x的方程bx+c0（b，c均不为0）的解，x3，+，x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
19、（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y的图象上，y1，y2，y3，A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，+，+，m2，+，+，m4，+，+，m2，即满足条件的实数m的值为2或4或2四反比例函数综合题（共1小题）4（2021赤峰）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N
20、的“相关矩形”如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”（1）已知点A的坐标为（2，0）若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为 12；若点C在直线x4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为（3，4），点Q的坐标为（6，2）若使函数y的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值【解答】解：（1）A（2，0），B（4，4），点A、B的“相关矩形”的周长为（42+4）212，故答案为：12；若点C在直线x4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，C（4，2）或（4，2），设直线AC的关系式为：ykx+b将（2，0）、（4，2）代
21、入解得：k1，b2，yx2，将（2，0）、（4，2）代入解得：k1，b2，yx+2，直线AC的解析式为：yx2或yx+2；（2）点P的坐标为（3，4），点Q的坐标为（6，2），设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M（3，2），N（6，4），当函数y的图象过M时，k6，当函数y的图象过N时，k24，若使函数y的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则24k6五二次函数综合题（共2小题）5（2021赤峰）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线mAC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EHm，垂足为H，交
22、AC于点G，连接AE、EC、CH、AH（1）抛物线的解析式为 yx22x+3；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）yx2+bx+c与x轴交于（3，0）、B（1，0），解得，抛物线的解析式为yx22x+3故答案为：yx22x+3；（2）如图1中，连接OE设E（m，m22m+3）A（3，0），C（0，3），OAOC3，AC3，AC直线m，当直线m的位置确定时，ACH的面积是定值，S四边
23、形AECHSAEC+SACH，当AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，SAECSAEO+SECOSAOC3（m22m+3）+3（m）33（m+）2+，0，m时，AEC的面积最大，E（，）；（3）存在如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为，对于抛物线yx22x+3，当y时，x22x+3，解得x（舍弃）或，Q1（，）当y时，x22x+3，解得x，Q2（，），Q3（，）综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（，）或（，）6（2020赤峰）如图，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点
24、C，直线yx+2经过B，C两点（1）直接写出二次函数的解析式yx2x+2；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QEy轴，交x轴于点E若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线yx+2经过B，C两点点C（0，2），二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，0），B（4，0），点C（0，2），解得：，抛物线解析式为yx2x+2，故答
25、案为：yx2x+2；（2）直线BC解析式为：yx+2，设平移后的解析式为：yx+2+m，平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Qx2x+2x+2+m，44（m）0，m2，设平移后的解析式为：yx，联立方程组得：，点Q（2，1）；（3）设点M的坐标为（m，m2m+2），以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与BOC相似，当MENOBC时，MENOBC，过点M作MHx轴于H，EHM90BOC，EHMBOC，MH|m2m+2|，EH|m2|，OB4，OC22或，m3或m2或m或m，当m3+时，m2m+2，M（3+，），当m3时，m2m+2，M（3，），当m2+时，m2m+2，M（2+，）
26、，当m2时，m2m+2，M（2，），当m时，m2m+25+，M（，5+），当m时，m2m+25，M（，5），当m时，m2m+23，M（，3），当m时，m2m+23+，M（，3+），即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为（3+，）或（3，）或（2+，）或（2，）或（，5+）或（，5）或（，3）或（，3+）六四边形综合题（共2小题）7（2022赤峰）同学们还记得吗？图，图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：【问题一】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，
27、OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 AEBF；【问题二】受图启发，兴趣小组画出了图：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且mn，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；【问题三】受图启发，兴趣小组画出了图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC6，CE2在直线BE上是否存在点P，使APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由【解答】解：【问题一】正方形ABCD的对角线相交于点O，OAOB，OABOBA45，AOB90，四边形A1B1C1O
28、是正方形，EOF90，AOEBOF，AOEBOF（ASA），AEBF，故答案为：AEBF；【问题二】如图，连接OA，OB，点O是正方形ABCD的中心，SAOBS正方形ABCD8216，点O是正方形ABCD的中心，OAEOBG45，OAOB，AOB90，mn，EOG90，AOEBOG，AOEBOG（ASA），SAOESBOG，S四边形OEAGSAOE+SAOGSBOG+SAOGSAOB16；【问题三】在直线BE上存在点P，使APF为直角三角形，当AFP90时，如图，延长EF，AD相交于点Q，四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，EQAB6，BADBE90，四边形ABEQ是矩形，AQBEBC+C
29、E8，EQAB6，Q90E，EFP+EPF90，AFP90，EFP+AFQ90，EFPQAF，QFEQEF4，EP1，BPBEEP7；当APF90时，如图，同的方法得，ABPPEF，PEBEBP8BP，BP2或BP6；当PAF90时，如图，过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，同的方法得，四边形ABPM是矩形，PMAB6，AMBP，M90，同的方法得，四边形ABEN是矩形，ANBE8，ENAB6，FNENEF4，同的方法得，AMPFNA，AM3，BP3，即BP的长度为2或3或6或78（2020赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，
30、过点P作PEPD，交直线AB于点E，过点P作MNAB，交直线CD于点M，交直线AB于点NAB4，AD4（1）如图1，当点P在线段AC上时，PDM和EPN的数量关系为：PDMEPN；的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD，NMAB，NMCD，DPPE，PMDPNEDPE90，PDM+DPM90，DPM+EPN90，PDMEPN故答案为连接DE
31、四边形ABCD是矩形，DAEB90，ADBC4tanCAB，CAB30，DAE+DPE180，A，D，P，E四点共圆，EDPPAB30，tan30，（2）如图2中，结论成立理由：连接DEDPEDAE90，A，D，E，P四点共圆，PDEEAPCAB30，（3）如图3中，由题意PMx，PN4x，PDMEPN，DMPPNE90，DMPPNE，DM（4x），ENx，PD2，PEPD，yPDPE（x26x+12）x28x+16（x0），y（x3）2+4，0，当x3时，y有最小值，最小值为4七直线与圆的位置关系（共1小题）9（2021赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，O经过点B，C
32、，交对角线BD于点E，且，连接OE交BC于点F（1）试判断AB与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD，tanCBD，求O的半径【解答】解：（1）AB是O的切线，理由如下：连接OB，OEOB，OEBOBE，四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，ABDCBD，OE是O的半径，OEBC，BFE90，OEB+CBE90，ABD+OBE90，OBAB，即AB是O的切线；（2）四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，BD，BMBD，ACBD，tanCBD，CMBM，BC8，OE是O的半径，BFBC4，tanCBD，OEBC，EFBF2，设O的半径为r，则OF的长为r2，在RtOFB中，OF2+
33、BF2OB2，即（r2）2+42r2，解得：r5，O的半径为5八切线的判定与性质（共1小题）10（2022赤峰）如图，已知AB为O的直径，点C为O外一点，ACBC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且DCAOCA（1）求证：AD是O的切线；（2）若CD6，OF4，求cosDAC的值【解答】（1）证明：ACBC，点O为AB的中点，COABDF是AC的垂直平分线，DCDA，DCADACDCAOCA，DACOCADAOC，DAOAOA是O的半径，AD是O的切线；（2）解：在CDE和CFE中，CDECFE（ASA），CDCF6，COCF+OF10DF是AC的垂
34、直平分线，CEAEACCEFCOA90，ECFOCA，CEFCOA，AC2，在RtAOC中，cosOCA，cosDACcosOCA九作图应用与设计作图（共1小题）11（2020赤峰）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图，直线a，直线b即为所求（2）如图，直线c即为
35、所求一十几何变换综合题（共1小题）12（2021赤峰）数学课上，有这样一道探究题如图，已知ABC中，ABACm，BCn，BAC（0180），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为，探究的值和的度数与m、n、的关系请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了60时，如图1，求出了的值和的度数分别为，60；小红研究了90时，如图2，求出了的值和的度数分别为，45；【类比探究】他们又共同研究了120时，如图3，也求出了的值和的度数；
36、【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：（用含m、n的式子表示）；（用含的式子表示）（2）求出120时的值和的度数【解答】解：（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，当60时，ABC和PDC都是等边三角形，PCDACB60，PCCD，ACCB，F、E分别是CD、BC的中点，又ACPECF，ACPECF，CEFCAP，QACB60，当90时，ABC和PDC都是等腰直角三角形，PCDACB45，PCCD，ACCB，F、E分别是CD、BC的中点，又ACPECF，ACPECF，CEFCAP，QACB45，由此，可归纳出，ACB；（2）当120，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，A
37、BAC，E为BC的中点，AEBC，CAE60sin60，同理可得：，又ECFACP，PCAFCE，CEFCAP，QACB30一十一列表法与树状图法（共1小题）13（2021赤峰）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t6、6t8、t8分为三类进行分析（1）下列抽取方法具有代表性的是 BA随机抽取一个班的学生B从12个班中，随机抽取50名学生C随机抽取50名男生D随机抽取50名女生（2）由上述具有代表性的抽取方
38、法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：睡眠时间t（小时）55.566.577.588.5人数（人）11210159102这组数据的众数和中位数分别是 7，7；估计九年级学生平均每天睡眠时间t8的人数大约为多少；（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率【解答】解：（1）A、C、D不具有全面性，故答案为：B；（2）这组数据的众数为7小时，中位数为7（小时），故答案为：7，7；估计九年级学生平均每天睡眼时间t8的人数大约为：1250144（人）；（3）把样本中学生平均每天睡眠时间为5小时、5.5小时、6小时的4个学生分别记为A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率为
