1、浙江省宁波市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编-06解答题（提升题）知识点分类一分式方程的应用（共1小题）1（2018宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元
2、，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？二二次函数图象与几何变换（共1小题）2（2018宁波）已知抛物线yx2+bx+c经过点（1，0），（0，）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线yx2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式三四边形综合题（共2小题）3（2021宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为ABC的角平分线，ADC60，点E在AB上，AEAC求证：DE平分ADB【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G若FBFC，DG2，CD3，求BD的长【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分
3、BAD，BCA2DCA，点E在AC上，EDCABC若BC5，CD2，AD2AE，求AC的长4（2019宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）如图2，在54的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，DE2BE，QB3，求邻余线AB的长四圆的综合题（共5小题）5（202
4、2宁波）如图1，O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足AFBBFDACB，FGAC交BC于点G，BEFG，连结BD，DG设ACB（1）用含的代数式表示BFD（2）求证：BDEFDG（3）如图2，AD为O的直径当的长为2时，求的长当OF：OE4：11时，求cos的值6（2021宁波）如图1，四边形ABCD内接于O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G（1）若DBC，请用含的代数式表示AGB（2）如图2，连结CE，CEBG求证：EFDG（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD2若tanADB，求FGD的周长
5、求CG的最小值7（2020宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，E是ABC中A的遥望角，若A，请用含的代数式表示E（2）如图2，四边形ABCD内接于O，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E求证：BEC是ABC中BAC的遥望角（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是O的直径求AED的度数；若AB8，CD5，求DEF的面积8（2019宁波）如图1，O经过等边ABC的顶点A，C（圆心O在ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BFEC交AE于
6、点F（1）求证：BDBE（2）当AF：EF3：2，AC6时，求AE的长（3）设x，tanDAEy求y关于x的函数表达式；如图2，连接OF，OB，若AEC的面积是OFB面积的10倍，求y的值9（2018宁波）如图1，直线l：yx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0AC）以点A为圆心，AC长为半径作A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连接OE并延长交A于点F（1）求直线l的函数表达式和tanBAO的值；（2）如图2，连接CE，当CEEF时，求证：OCEOEA；求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OEEF的最大值五相似形综合题（共3小题）10（202
7、2宁波）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DEBC，BFCF，AF交DE于点G，求证：DGEG【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG若CGDE，CD6，AE3，求的值【拓展提高】（3）如图3，在ABCD中，ADC45，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EGBD交AD于点G，EFEG交BC于点F若EGF40，FG平分EFC，FG10，求BF的长11（2020宁波）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若
8、BF4，BE3，求AD的长【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDFBAD，AE2，DF5，求菱形ABCD的边长12（2018宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知ABC是比例三角形，AB2，BC3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BACADC求证：ABC是比例三角形（3）如图2，在（2）的条件下，当ADC90时，求的值六频数（率）分布直方图（共1小题）13（2018宁波）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了
9、解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0t2，2t3，3t4，t4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3t4的人数参考答案与试题解析一分式方程的应用（共1小题）1（2018宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每
10、件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元根据题意，得，解得 x40经检验，x40是原方程的解答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商
11、品的销售量为50设甲种商品按原销售单价销售a件，则（6040）a+（600.740）（50a）+（8848）502460，解得 a20答：甲种商品按原销售单价至少销售20件二二次函数图象与几何变换（共1小题）2（2018宁波）已知抛物线yx2+bx+c经过点（1，0），（0，）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线yx2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为yx2x+；（2）抛物线解析式为yx2x+（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析
12、式变为yx2三四边形综合题（共2小题）3（2021宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为ABC的角平分线，ADC60，点E在AB上，AEAC求证：DE平分ADB【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G若FBFC，DG2，CD3，求BD的长【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，BCA2DCA，点E在AC上，EDCABC若BC5，CD2，AD2AE，求AC的长【解答】（1）证明：如图1，AD平分BAC，EADCAD，AEAC，ADAD，EADCAD（SAS），ADEADC60，BDE180ADEADC180606060，BDEA
13、DE，DE平分ADB（2）如图2，FBFC，EBDGCD；BDECDG60，BDECDG，；EADCAD，DECD3，DG2，BD.（3）如图3，在AB上取一点F，使AFAD，连结CFAC平分BAD，FACDAC，ACAC，AFCADC（SAS），CFCD，FCADCA，AFCADC，FCA+BCFBCA2DCA，DCABCF，即DCEBCF，EDCABC，即EDCFBC，DCEBCF，DECBFC，BC5，CFCD2，CE4；AED+DEC180，AFC+BFC180，AEDAFCADC，EADDAC（公共角），EADDAC，AC2AD，AD2AE，AC4AECE44（2019宁波）定义：有
14、两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）如图2，在54的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，DE2BE，QB3，求邻余线AB的长【解答】解：（1）ABAC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB90，DAB+DBA90，FAB与EBA互余，四边形ABEF是邻余四边形；（2）如
15、图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）ABAC，AD是ABC的角平分线，BDCD，DE2BE，BDCD3BE，CECD+DE5BE，EDF90，点M是EF的中点，DMME，MDEMED，ABAC，BC，DBQECN，QB3，NC5，ANCN，AC2CN10，ABAC10四圆的综合题（共5小题）5（2022宁波）如图1，O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足AFBBFDACB，FGAC交BC于点G，BEFG，连结BD，DG设ACB（1）用含的代数式表示BFD（2）求证：BDEFDG（3）如图2，AD为O的直径当的长为2时，求的长当OF：OE4：1
16、1时，求cos的值【解答】解：（1）AFBBFDACB，又AFB+BFD180，得2BFD180，BFD90；（2）由（1）得BFD90，ADBACB，FBD180ADBBFD90，DBDF，FGAC，CADDFG，CADDBE，DFGDBE，在BDE和FDG中，BDEFDG（SAS）；（3）BDEFDG，FDGBDE，BDGBDF+EDG2，DEDG，DGE（180FDG）90，DBG180BDGDGE90，AD是O的直径，ABD90，ABCABDDBG，与所对的圆心角度数之比为3：2，与的长度之比为3：2，2，3；如图，连接BO，OBOD，OBDODB，BOFOBD+ODB2，BDG2，B
17、OFBDG，BGDBFO90，BDGBOF，设BDG与BOF的相似比为k，设OF4x，则OE11x，DEDG4kx，OBODOE+DE11x+4kx，BDDFOF+OD15x+4kx，由k，得4k2+7k150，解得k或3（舍去），OD11x+4kx16x，BD15x+4kx20x，AD2OD32x，在RtABD中，cosADB，cos方法二：连接OB，作BMAD于M，由题意知，BDE和BEF都是等腰三角形，EMMF，设OE4，OF11，设DEm，则OBm+11，OM3.5，BDm+15，DMm+7.5，OB2OM2BD2DM2，即（m+11）23.52（m+15）2（m+7.5）2，解得m5
18、或m12（舍去），cos6（2021宁波）如图1，四边形ABCD内接于O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G（1）若DBC，请用含的代数式表示AGB（2）如图2，连结CE，CEBG求证：EFDG（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD2若tanADB，求FGD的周长求CG的最小值【解答】解：（1）BD为O的直径，BAD90，ABGDBC，AGB90；（2）BD为O的直径，BCD90，BECBDC90，BECAGB，CEF180BEC，BGD180AGB，CEFBGD，又CEBG，ECFGBD，CFEBDG（ASA），EFDG；（3）如图，
19、连接DE，BD为O的直径，ABED90，在RtABD中，tanADB，AD2，ABAD，+，即，ADCE，CEBG，BGAD2，在RtABG中，sinAGB，AGB60，AGBG1，EFDGADAG1，在RtDEG中，EGD60，EGDG，DEDG，在RtFED中，DF，FG+DG+DF，FGD的周长为；如图，过点C作CHBF于H，BDGCFE，BDCF，CFHBDA，BADCHF90，BADCHF（AAS），FHAD，ADBG，FHBG，BCF90，BCH+HCF90，BCH+HBC90，HCFHBC，BHCCHF90，BHCCHF，设GHx，BH2x，CH22（2x），在RtGHC中，CG
20、2GH2+CH2，CG2x2+2（2x）（x1）2+3，当x1时，CG2的最小值为3，CG的最小值为7（2020宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，E是ABC中A的遥望角，若A，请用含的代数式表示E（2）如图2，四边形ABCD内接于O，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E求证：BEC是ABC中BAC的遥望角（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是O的直径求AED的度数；若AB8，CD5，求DEF的面积【解答】解：（1）BE平分ABC，CE平分ACD，EE
21、CDEBD（ACDABC），（2）如图1，延长BC到点T，四边形FBCD内接于O，FDC+FBC180，又FDE+FDC180，FDEFBC，DF平分ADE，ADFFDE，ADFABF，ABFFBC，BE是ABC的平分线，ACDBFD，BFD+BCD180，DCT+BCD180，DCTBFD，ACDDCT，CE是ABC的外角平分线，BEC是ABC中BAC的遥望角（3）如图2，连接CF，BEC是ABC中BAC的遥望角，BAC2BEC，BFCBAC，BFC2BEC，BFCBEC+FCE，BECFCE，FCEFAD，BECFAD，又FDEFDA，FDFD，FDEFDA（AAS），DEDA，AEDDA
22、E，AC是O的直径，ADC90，AED+DAE90，AEDDAE45，如图3，过点A作AGBE于点G，过点F作FMCE于点M，AC是O的直径，ABC90，BE平分ABC，FACEBCABC45，AED45，AEDFAC，FEDFAD，AEDFEDFACFAD，AEGCAD，EGAADC90，EGAADC，在RtABG中，AB8，ABG45，AG，在RtADE中，AEAD，在RtADC中，AD2+DC2AC2，设AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2，x，EDAD，CECD+DE，BECFCE，FCFE，FMCE，EMCE，DMDEEM，FDM45，FMDM，SDEFDEFM8（20
23、19宁波）如图1，O经过等边ABC的顶点A，C（圆心O在ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BFEC交AE于点F（1）求证：BDBE（2）当AF：EF3：2，AC6时，求AE的长（3）设x，tanDAEy求y关于x的函数表达式；如图2，连接OF，OB，若AEC的面积是OFB面积的10倍，求y的值【解答】证明：（1）ABC是等边三角形，BACC60，DEBBAC60，DC60，DEBD，BDBE；（2）如图1，过点A作AGBC于点G，ABC是等边三角形，AC6，BG，在RtABG中，AGBG3，BFEC，BFAG，AF：EF3：2，BEBG2，EGBE+BG3+25，在R
24、tAEG中，AE；（3）如图1，过点E作EHAD于点H，EBDABC60，在RtBEH中，EH，BH，BGxBE，ABBC2BG2xBE，AHAB+BH2xBE+BE（2x+）BE，在RtAHE中，tanEAD，y；如图2，过点O作OMBC于点M，设BEa，CGBGxBEax，ECCG+BG+BEa+2ax，EMECa+ax，BMEMBEaxa，BFAG，EBFEGA，AG，BF，OFB的面积，AEC的面积，AEC的面积是OFB的面积的10倍，2x27x+60，解得：，9（2018宁波）如图1，直线l：yx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0AC）以点A为圆
25、心，AC长为半径作A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连接OE并延长交A于点F（1）求直线l的函数表达式和tanBAO的值；（2）如图2，连接CE，当CEEF时，求证：OCEOEA；求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OEEF的最大值【解答】解：直线l：yx+b与x轴交于点A（4，0），4+b0，b3，直线l的函数表达式yx+3，B（0，3），OA4，OB3，在RtAOB中，tanBAO；（2）如图2，连接DF，CEEF，CDEFDE，CDF2CDE，OAE2CDE，OAEODF，四边形CEFD是A的圆内接四边形，OECODF，OECOAE，COEEOA，COEEOA，过点E作E
26、MOA于M，由知，tanOAB，设EM3m，则AM4m，OM44m，AE5m，E（44m，3m），AC5m，OC45m，由知，COEEOA，OE2OAOC4（45m）1620m，E（44m，3m），（44m）2+9m225m232m+16，25m232m+161620m，m0（舍）或m，44m，3m，E（，），（3）如图，设A的半径为r，过点O作OGAB于G，A（4，0），B（0，3），OA4，OB3，AB5，ABOGOAOB，OG，AG，EGAGAEr，连接FH，EH是A直径，EH2r，EFH90EGO，OEGHEF，OEGHEF，OEEFHEEG2r（r）2（r）2+，r时，OEEF最大值
27、为五相似形综合题（共3小题）10（2022宁波）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DEBC，BFCF，AF交DE于点G，求证：DGEG【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG若CGDE，CD6，AE3，求的值【拓展提高】（3）如图3，在ABCD中，ADC45，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EGBD交AD于点G，EFEG交BC于点F若EGF40，FG平分EFC，FG10，求BF的长【解答】（1）证明：DEBC，AGDAFB，AFCAGE，BFCF，DGEG；（2）解：DGEG，CGDE，CECD6，DEBC，ADEABC，；（3
28、）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MNBC于N，四边形ABCD为平行四边形，OBOD，ABCADC45，MGBD，MEGE，EFEG，FMFG10，在RtGEF中，EGF40，EFG904050，FG平分EFC，GFCEFG50，FMFG，EFGM，MFEEFG50，MFN30，MNMF5，NF5，ABC45，BNMN5，BFBN+NF5+511（2020宁波）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长【拓展提高】（3）如图3，在菱
29、形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDFBAD，AE2，DF5，求菱形ABCD的边长【解答】解：（1）证明：ACDB，AA，ADCACB，AC2ADAB（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AC，又BFEA，BFEC，又FBECBF，BFEBCF，BF2BEBC，BC，AD（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，四边形ABCD是菱形，ABDC，BACBAD，ACEF，四边形AEGC为平行四边形，ACEG，CGAE，EACG，EDFBAD，EDFBAC，EDFG，又DEFGED，EDFEGD，DE2EFEG，又EGAC2EF，DE22EF2，DEEF，
30、又，DG，DCDGCG5212（2018宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知ABC是比例三角形，AB2，BC3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BACADC求证：ABC是比例三角形（3）如图2，在（2）的条件下，当ADC90时，求的值【解答】解：（1）ABC是比例三角形，且AB2、BC3，当AB2BCAC时，得：43AC，解得：AC；当BC2ABAC时，得：92AC，解得：AC；当AC2ABBC时，得：AC26，解得：AC（负值舍去）；所以当AC或或时，ABC是比例三角形；
31、（2）ADBC，ACBCAD，又BACADC，ABCDCA，即CA2BCAD，ADBC，ADBCBD，BD平分ABC，ABDCBD，ADBABD，ABAD，CA2BCAB，ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AHBD于点H，ABAD，BHBD，ADBC，ADC90，BCD90，BHABCD90，又ABHDBC，ABHDBC，即ABBCBHDB，ABBCBD2，又ABBCAC2，BD2AC2，六频数（率）分布直方图（共1小题）13（2018宁波）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0t2，2t
32、3，3t4，t4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3t4的人数【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：2010%20200（人）即本次调查的学生人数为200人；（2）由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：100%30%，B级所占的百分比为：110%30%45%15%，B级的人数为20015%30（人）D级的人数为：20045%90（人）B所在扇形的圆心角为：36015%54（3）因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3t4的人数为：120030%360（人）答：估计全校每周课外阅读时间满足3t4的约有360人
