1、第四节基本不等式及其应用,总纲目录,教材研读,1.基本不等式,考点突破,2.几个重要的不等式,3.利用基本不等式求最值,考点二基本不等式的实际应用,考点一利用基本不等式求最值,考点三含参问题,1.基本不等式(1)基本不等式?成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.(3)其中?称为正数a,b的算术平均数,?称为正数a,b的几何平均数.,教材研读,2.几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)ab?(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)?(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(4)?+?2(a,b同号),当且仅当a=b时
2、取等号.,3.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2?.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是?.(简记:和定积最大),基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a,b,x,yR+,若ax+by=1,则有?+?=(ax+by)?=a+b+?+?a+b+2?=(?+?)2.(2)已知a,b,x,yR+,若?+?=1,则有x+y=(x+y)?=a+b+?+?a+b+2?=(?+?)2.,1.下列不等式中正确的是?()A.若aR,则a2+96aB.若a,bR,则?2C.若a,b0,则2l
3、g?lg a+lg bD.若xR,则x2+?1,答案Ca0,b0,?.2lg?2lg?=lg ab=lg a+lg b.,C,2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为?()A.80B.77C.81D.82,答案Cx0,y0,x+y=18,18=x+y2?,即?9,xy81.故xy的最大值为81.,C,3.已知x,y0且x+4y=1,则?+?的最小值为?()A.8B.9C.10D.11,答案Bx+4y=1(x,y0),?+?=?+?=5+?5+2?=5+4=9?当且仅当x=2y=?时,取等号?.,B,4.(2015北京东城二模)函数y=2x+?(x0)的最大值为.,答案-4,解析x0,
4、(-2x)+?2?=4?当且仅当-2x=-?,即x=-1时等号成立?,即2x+?-4.,-4,考点突破,答案(1)B(2)4(3)3,解析(1)0xb,b0,a+b=1,?+?=?+?=2+?+?2+2?=4,即?+?的最小值为4,当且仅当a=b=?时等号成立.(3)x1,y=x-1+?+12?+1=3,当且仅当x=2时取等号,故y的最小值是3.,方法技巧(1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求解.对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,
5、但可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.,1-1已知函数y=x-4+?(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于?()A.-3B.2C.3D.8,答案Cy=x-4+?=x+1+?-5,因为x-1,所以x+10,?0,所以由基本不等式,得y=x+1+?-52?-5=1,当且仅当x+1=?,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.,C,1-2实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是.,答案6,解析利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y2?=2?.x+2y=2,3x+9y2?=6,
6、当且仅当3x=32y,即x=1,y=?时取等号.,6,典例2(2015北京通州二模)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:生产1单位试剂需要原料费50元;支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成;后续保养的费用是每单位?元(试剂的总产量为x单位,50x200).设P(x)(元)是生产每单位试剂的成本,则P(x)的最小值是.,考点二基本不等式的实际应用,220,答案220,解析由题意得生产每单位试剂的成本P(x)与x的函数关系式为P(x)=50+?+x+?-30=x+?+40,因为x+?+402?+40=220,当
7、且仅当x=?,即x=90时,等号成立,所以生产每单位试剂的成本P(x)的最小值为220.,易错警示对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.,2-1某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)=?(k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值及
8、f(n)的表达式;(2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元?,解析(1)当n=0时,由题意得k=8.从而f(n)=(100+10n)?-100n=1 000-80?,nN.(2)由(1)知f(n)=1 000-80?1 000-802?=520,当且仅当?=?,即n=8时取等号.所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.,答案(1)B(2)C,解析(1)(x+y)?=1+a+?+?1+a+2?=(?+1)2(x,y,a0),当且仅当y=?x时取等号,所以(x+y)?的最小值为(?+1)2,于是(?+1)29恒成立.所以a4,故选B.(2)因为xyz,所以x-y0,y-z0,x-z0,不等式?+?恒成立等价于n(x-z)?恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)2?,?+?2?,所以(x-z)?2?2?=4(当且仅当x-y=y-z时等号成立),则要使n(x-z)?恒成立,只需使n4(nN),故n的最大值为4.,3-1已知a0,b0,若不等式?+?恒成立,则m的最大值为( )A.9B.12C.18D.24,答案B?+?,且a0,b0,m?(a+3b)=6+?+?,又?+?2?=6?当且仅当?=?时等号成立?,m12,故m的最大值为12.,B,3-2已知lg a+lg b=0,则满足不等式?+?的实数的最小值是.,1,
