1、4.6正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin_
2、Asin_Bsin_C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)知识拓展1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(4
3、)cos sin .3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(4)在ABC中，.()(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2P10B组T2在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bco
4、s B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3P18T1在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_答案2解析，sin B1，B90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由已知得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在6(2018包头模拟)设ABC的
5、内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.答案解析由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.题型一利用正、余弦定理解三角形1(2016山东)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于()A. B. C. D.答案C解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，A(0，)，A，故选C.2在ABC中，角A，B，C所对的边分
6、别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于()A. BC D.答案A解析8b5c，由正弦定理，得8sin B5sin C.又C2B，8sin B5sin 2B，8sin B10sin Bcos B.sin B0，cos B，cos Ccos 2B2cos2B1.3设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.答案1解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定
7、理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断题型二和三角形面积有关的问题典例 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，
8、故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A； 当CB时，A.综上，A或A.思维升华 (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练(1)(2018承德质检)若AB2，ACBC，则SABC的最大值为()A2 B.C. D3答案A解析设BCx，则ACx.根据三角形的面
9、积公式，得SABCABBCsin Bx.根据余弦定理，得cos B.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x22，故当x2时，SABC取得最大值2，故选A.(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是_答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状典例 (1)在ABC中，cos ，则ABC一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D无法确定答案A解析由已知得cos
10、2，2cos21cos B，cos Acos B，又0A，B0，sin A1，即A，ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形命题点2求
11、解几何计算问题典例 (1)如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB_.答案解析在ACD中，由余弦定理可得cos C，则sin C.在ABC中，由正弦定理可得，则AB.(2)(2018吉林三校联考)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_答案(，)解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角
12、：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理跟踪训练(1)(2018安徽六校联考)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形(2)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案解析因为sinBAC，且
13、ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD .二审结论会转换典例 (12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值 (1) (2)规范解答解(1)在ABC中，由及sin Bsin C，可得bc，2分又由acb，有a2c，4分所以cos A.7分(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.8分于是cos 2A2cos2A1，9分sin 2A2sin Acos A.10分所以coscos 2Acos sin 2Asin .12分1(2017长沙模拟)在ABC中，角A，B，C所对
14、的边分别为a，b，c.若a，b3，A60，则边c等于()A1 B2 C4 D6答案C解析a2c2b22cbcos A，13c292c3cos 60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，a2，b，则B等于()A. B.C.或 D.答案D解析A，a2，b，由正弦定理，可得sin Bsin A.A，B.3(2017哈尔滨模拟)在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C等于()A30 B45 C60 D75答案C解析SABCABACsin A，即1sin A，sin A1，由A(0，180)，A90，C60.故选C.4ABC的三个
15、内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则等于()A2 B2 C. D.答案D解析(边化角)由asin Asin Bbcos2Aa及正弦定理，得sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin Bsin A，所以.5在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c2a，则cos B的值为()A. B.C. D.答案B解析因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2Bsin Asin C，由正弦定理得b2ac，又c2a，故cos B.6(2017郑州模拟)在ABC
16、中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos B等于()A B. C D.答案B解析由正弦定理知1，即tan B，由B(0，)，所以B，所以cos Bcos，故选B.7(2016全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.答案解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.8(2018成都模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_答案或解析由余弦定理，得cos B，结合已知等
17、式得cos Btan B，sin B，又0B，B或.9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为_答案1解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sin Asinsin cos cos sin .则SABCbcsin A221.10(2018长春质检)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF_.答案解析如图，设AB6，则AEEFFB2.因为ABC为等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A45，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，所以tanECF.11(2018珠海
18、模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A.(1)证明：sin Bcos A；(2)若sin Csin Acos B，且B为钝角，求A，B，C.(1)证明由正弦定理知2R，a2Rsin A，b2Rsin B，代入abtan A得sin Asin B，又A(0，)，sin A0，1，即sin Bcos A.(2)解由sin Csin Acos B知，sin(AB)sin Acos B，cos Asin B.由(1)知，sin Bcos A，cos2A，由于B是钝角，故A，cos A，A.sin B，B，C(AB).12(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a
19、，b，c，已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理，得sin Csin B，故sin Bsin C.(2)由题设及(1)，得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.13(2018银川模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，则c等于()A2 B4 C2
20、D3答案C解析2cos C，由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C，sin(AB)sin C2sin Ccos C，由于0C0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)232，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)，ABC周长abc4bc12，即最大值为12.15在ABC中，若AB4，AC7，BC边的中线AD，则BC_.答案9解析如图所示，延长AD到E，使DEAD，连接BE，EC.因为AD是BC边上的中线，所以AE与BC互相平分，所以四边形ACEB是平行四边形，所以B
21、EAC7.又AB4，AE2AD7，所以在ABE中，由余弦定理得，AE249AB2BE22ABBEcosABEAB2AC22ABACcosABE.在ABC中，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos(ABE)，49BC22(AB2AC2)2(1649)，BC281，BC9.16(2018贵阳质检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A.由sin Asin Bcos2，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，在ACM中，由余弦定理得AM2b222bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.
