1、第四节导数与函数的综合问题,总纲目录,教材研读,1.利用导数证明不等式的基本步骤,考点突破,2.一元三次方程根的个数问题,考点二利用导数证明不等式,考点一利用导数研究恒成立问题和存在性问题,考点三利用导数研究函数零点或方程根的问题,1.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)下结论.,教材研读,2.一元三次方程根的个数问题令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f (x)=3ax2+2bx+c.,方程f (x)=0的判别式=(2b)2-12ac,(1)当0,即b23ac时, f
2、(x)0恒成立, f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程f(x)=0有唯一一个实根.(2)当0,即b23ac时,方程f (x)=0有两个不同的实根,设为x1,x2(x1m).a.当m0时,方程f(x)=0有一个实根;b.当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;c.当m0时,方程f(x)=0有三个实根;d.当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;e.当M9时,y0,函数单调递减.故当x=9时,y取最大值.,C,2.已知函数f(x)的定义域为-1,4,部分对应值如下表, f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示.,当1a2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为?()A.2B.3
3、C.4D.5,C,答案C根据已知条件可还原出函数f(x)在定义域-1,4内的大致图象.?函数y=f(x)-a的零点个数即直线y=a与曲线y=f(x)的交点个数.因为1a3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上的实根个数为?()A.0B.1C.2D.3,答案B设f(x)=x3-ax2+1,则f (x)=3x2-2ax=x(3x-2a),由于a3,则在(0,2)上f (x)0, f(2)=9-4a0, 即x(0,1时, f(x)=ax3-3x+10可化为a?-?.设g(x)=?-?,则g(x)=?,所以g(x)在区间?上单调递增,在区间?上单调递减,因此g(x)max=g?=4,从而a4.当x
4、0,f (x)=?=?.当a0时,ax-10,解得01,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).当01.令f (x)0,解得0?,令f (x)0,解得1x1时,00,解得01;令f (x)1恒成立转化为f(x)min1恒成立.f (x)=?=?,a1.,令f (x)=0,得x=1或x=?.若ae,则由f (x)0得,11,满足题意.若10,得?x?或1xe;由f (x)0,得?x1.故函数f(x)在?,(1,e上单调递增,在?上单调递减.f(x)min=min?,依题意?即?所以22.,命题角度二存在性问题典例2已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-?(aR)
5、,g(x)=?x2+ex-xex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值;(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x2-2,0, f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.,解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f (x)=?.当a1时,x1,e, f (x)0,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(1)=1-a.当1ae时,x1,a时, f (x)0, f(x)为减函数;xa,e时, f (x)0, f(x)为增函数.所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.当ae时,x1,e, f (x)0,f(x)在1,e上为减函数,易错警示“恒成立”与“存在性”问题的求
6、解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值,可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值,这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.特别需要关注等号是否成立问题,以免细节出错.,1-1(2016北京西城二模)已知函数f(x)=?.(1)若f (a)=1,求a的值;(2)设a0,若对于定义域内的任意x1,总存在x2使得f(x2)f(x1),求a的取值范围.,解析(1)函数y=f(x)的定义域D=x|xR且x-a,对f(x)求导,得f (x)=?=-?.由题意
7、,知f (a)有意义,所以a0.所以f (a)=?=?=1,解得a=?.(2)“对于定义域内的任意x1,总存在x2使得f(x2)f(x1)”等价于“f(x)不存在最小值”.当a=0时,f(x)=?,易知f(x)无最小值,符合题意.,当aa时, f(x)=?0,当xa时, f(x)0,所以f(x)min=f(3a).所以当x1=3a时,不存在x2使得f(x2)f(x1).故a0.,解析(1)f (x)=ex-2x+a,由已知可得f (0)=0,所以1+a=0,解得a=-1.(2)g(x)=ex-2,令g(x)=0,得x=ln 2,所以x,g(x),g(x)的变化情况如下表所示:,所以g(x)的最
8、小值为g(ln 2)=eln 2-2ln 2-1=1-2ln 2.(3)证明:显然g(x)=f (x)且g(0)=0,由(2)知,g(x)在(-,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递增.,又g(ln 2)0,由零点存在性定理,知存在唯一实数x0(ln 2,+),使得g(x0)=0,即?-2x0-1=0,?=2x0+1,综上,g(x)=f (x)存在两个零点,分别为0,x0.所以x0,即f (x)0,f(x)在(-,0)上单调递增;0x0时,g(x)0,即f (x)0, f(x)在(x0,+)上单调递增,所以f(0)是极大值, f(x0)是极小值.f(x0)=?-?-x0=2x0+1
9、-?-x0=-?+x0+1=-?+?,因为g(1)=e-30,所以x0?,所以f(x0)0,因为f(0)=1,所以当x0时, f(x)0.因为f(x)在(-,0)上单调递增,所以一定存在c0,所以存在cc时, f(x)0.,方法技巧若证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),若F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时,若F(a)0,由减函数的定义可知,当x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)0);(3)判断曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.,解析函数的定义域为(0,+), f (x)=-?-?+?.(1)因为f (1)=?-1,
10、f(1)=-?,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+?=?x-?+1,即?x-y-?+1=0.(2)证明:ln x-?(x0)等价于xln x-?(x0),设函数g(x)=xln x.令g(x)=1+ln x=0,解得x=?.,因此,函数g(x)的最小值为g?=-?.故xln x-?,即ln x-?.(3)曲线y=f(x)位于x轴下方.理由如下:由(2)可知ln x-?,所以f(x)?-?=?.设k(x)=?-?,则k(x)=?.令k(x)0,得01.所以k(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数.所以当x0时,k(x)k(1)=0恒成立,当且仅当x=1时,k(1)=0.又因为f(1)=-?0,所以f(x)0时,x-1;当f (x)0时,x-1.故函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为(
