1、2.14 相对论量子力学相对论量子力学 相对论量子力学相对论量子力学 一、狄拉克方程一、狄拉克方程几条原则：几条原则：(1)保证概率密度正定，即保证概率密度正定，即 。0),(tr(2)保证概率守恒，即保证概率守恒，即0),(3 全全xdtrdtd(3)作为相对论波动方程，要求方程具有洛仑兹不作为相对论波动方程，要求方程具有洛仑兹不变性变性(即在各惯性参考系中，方程的形式不变即在各惯性参考系中，方程的形式不变)。电子的波函数应写成多分量的形式，即电子的波函数应写成多分量的形式，即 ),(),(),(21trtrtrN 自由电子的相对论波动方程取为自由电子的相对论波动方程取为01 imctc其中
2、系数其中系数 和和 无量纲。无量纲。),(zyx 由于由于 是是N分量波函数，分量波函数，和和 均为均为 矩阵。矩阵。NN 01 imctc上式可简记为上式可简记为 Hti 22mcpcmcciH 此即自由电子的狄拉克方程此即自由电子的狄拉克方程 或写成与薛定谔方程相似的形式或写成与薛定谔方程相似的形式矩阵矩阵 与与 的性质如下：的性质如下：(1)为保证概率守恒，要求为保证概率守恒，要求H为厄米算符，即要求为厄米算符，即要求 和和 为厄米矩阵为厄米矩阵 ,(2),之中任之中任何两个算符都是反对易的。何两个算符都是反对易的。12222 zyx 、zyx二、电子自旋二、电子自旋考虑电子轨道角动量随
3、时间的变化考虑电子轨道角动量随时间的变化)(pcldtd 或或)(,pciHl 即：电子的轨道角动量并不守恒。即：电子的轨道角动量并不守恒。令令 slj 电子的总角动量电子的总角动量 应为守恒量。应为守恒量。j应如何表达应如何表达 ，才能使总角动量，才能使总角动量 守恒？即满足守恒？即满足 js0,Hj试引进算符试引进算符 ，满足代数关系，满足代数关系,0,0,ii xyxi,kijkjii 2,则可以证明则可以证明)(,21picH 因此，如令因此，如令 2 s则则)(,pciHs 可得可得0,Hj为符合实验观测结果：为符合实验观测结果：，它在任何方向的分量都只可能是，它在任何方向的分量都只
4、可能是 2/s21 要求要求 1222 zyx 由于由于 具有角动量的性质，按角动量代数的一具有角动量的性质，按角动量代数的一般理论，要求般理论，要求 2 skijljisiss ,由此可得出由此可得出 kijljii 2,的代数性质与泡利算符的代数性质与泡利算符 相同。相同。),(zyx ),(zyx 概括起来讲，狄拉克方程描述的粒子具有固有角动概括起来讲，狄拉克方程描述的粒子具有固有角动量，其值为量，其值为 。对于自由电子，虽然轨道角动量。对于自由电子，虽然轨道角动量与自旋分别不是守恒量，但总角动量却是守恒量。与自旋分别不是守恒量，但总角动量却是守恒量。2/三、中微子的二分量理论三、中微子
5、的二分量理论中微子自旋为中微子自旋为 ，其静质量为其静质量为0。其满足的相对论。其满足的相对论二分量波动方程二分量波动方程为为2/Hti pcciH 关于守恒量的讨论：关于守恒量的讨论：1.1.显然，显然，所以动量为守恒量，所以动量为守恒量0,Hp2.与电子相似，可以证明与电子相似，可以证明0,pciHl 即轨道角动量不是守恒量。即轨道角动量不是守恒量。可以证明可以证明 pciH ,2因此，如令因此，如令slj 2 s则则 0,Hj为中微子的自旋，为其总角动量，是守恒量。为中微子的自旋，为其总角动量，是守恒量。sj0,Hp 3.所以所以 守恒，守恒，是自旋沿动量方向的投影，是自旋沿动量方向的投
6、影，也是守恒量。考虑到也是守恒量。考虑到p pp/2 1)()(pppp 所以所以 1 pp 1 pp 即中微子的自旋沿运动方向的投影总是即中微子的自旋沿运动方向的投影总是 ，其中，其中2/称为右旋粒子态称为右旋粒子态 1 pp 称为左旋粒子态称为左旋粒子态4.可以证明，宇称可以证明，宇称P不守恒。因为不守恒。因为HpcPpcPPHP 11即即 0,HP四、电磁场中电子的狄拉克方程四、电磁场中电子的狄拉克方程电磁场电磁场()中电子的狄拉克方程可表示为中电子的狄拉克方程可表示为 ,A Hti 2)(mceAcepcH 若若()与时间与时间t无关，则无关，则 存在定态解，形式为存在定态解，形式为,
7、A/exp)(),(iEtrtr 多分量能量本征函数多分量能量本征函数 满足能量本征方程满足能量本征方程)(r)()()()(2rErmceAcepcrH E为电子的能量本征值。为电子的能量本征值。五、泡利近似理论与电子磁矩五、泡利近似理论与电子磁矩 为了考虑相对论修正，我们应当求解狄拉克方程，为了考虑相对论修正，我们应当求解狄拉克方程，这比求解薛定谔方程要复杂得多。但是，如果主要涉及这比求解薛定谔方程要复杂得多。但是，如果主要涉及原子的外部电子问题，只要考虑对薛定谔方程的一级修原子的外部电子问题，只要考虑对薛定谔方程的一级修正就足够了。这需要用到泡利近似理论：正就足够了。这需要用到泡利近似理
8、论：当电子处于相当弱的势场当电子处于相当弱的势场()中时，处于中时，处于某一定态的电子的平均速度某一定态的电子的平均速度 是非相对论的，且其是非相对论的，且其总能量总能量E非常接近于其静质量能量非常接近于其静质量能量 ，即，即2mce v20mcE ,cv ,mcp 020/EcpmpEE 令多分量本征函数令多分量本征函数)/exp(2timc 代入狄拉克方程，得代入狄拉克方程，得 eAcepcti )(22)(mceAcepcti 在非相对论极限下，即略去不含在非相对论极限下，即略去不含c的项，可得的项，可得 )(21Acepmc 由于由于 比比 小一个因子小一个因子 ，即，即 ，所以把，所
9、以把 称为小分量，称为小分量，称为大分量。称为大分量。cv/cv/2)(212eBmceAcePmti B 右边第二项为右边第二项为 smcemce 2表示电子固有磁矩，表示电子固有磁矩，表示电子固有磁矩与外磁场表示电子固有磁矩与外磁场的相互作用能。电子固有磁矩的值为的相互作用能。电子固有磁矩的值为 B mceB2 B 00116.1 称为玻尔磁子。这是狄拉克方程得出的一个重要结论。称为玻尔磁子。这是狄拉克方程得出的一个重要结论。电子磁矩的观测值为电子磁矩的观测值为六、中心力场下的相对论修正六、中心力场下的相对论修正例如：电子在原子核的库仑引力势中运动。此时，中心例如：电子在原子核的库仑引力势
10、中运动。此时，中心力场力场)()(rerV 定态狄拉克方程表示为定态狄拉克方程表示为 ErVmcpc )(2令令 2EmcE 并令并令 采用泡利采用泡利-狄拉克表象，即狄拉克表象，即 是对角化的表象，是对角化的表象，则则 )()(rVEpc )(2()(2rVEmcpc )(2)(2VEmcpc )()21(2112pmcVEmc )(21(212pmcVEmc 为小分量。在非相对论极限下为小分量。在非相对论极限下 )()(21)(212VEpmcVEpm 大分量波函数大分量波函数 满足的方程满足的方程 化简整理后，得化简整理后，得 )(4)(121822222222342ErdrdVVcml
11、sdrdVrcmcmpVmp 但狄拉克波函数的大分量但狄拉克波函数的大分量 并不是非相对论近似下的二并不是非相对论近似下的二分量波函数分量波函数 。作为波函数，应保证在非相对论极限下。作为波函数，应保证在非相对论极限下总概率守恒总概率守恒(波函数归一化保持不变波函数归一化保持不变)，即要求，即要求 ),(),(),(),(在准确到在准确到 下，可得下，可得)/(22cvO )81(222cmp )81(222cmp 或或 略去略去 项，得出项，得出 满足的方程满足的方程)/(44cvO 8)(121822222222342EVcmlsdrdVrcmcmpVmp 这就是在中心力场中运动的粒子的狄
12、拉克方程的非相对这就是在中心力场中运动的粒子的狄拉克方程的非相对论极限。如果略去方程左边大括号中后三项，我们就得论极限。如果略去方程左边大括号中后三项，我们就得到了薛定谔方程。这后三项就是最低级的相对论修正到了薛定谔方程。这后三项就是最低级的相对论修正 ，它们将导致能级的精细结构。，它们将导致能级的精细结构。)/(22cvO1.左边第三项为动能的相对论修正，它来源于质量随左边第三项为动能的相对论修正，它来源于质量随速度的相对论变化。速度的相对论变化。8)(121822222222342EVcmlsdrdVrcmcmpVmp 2.第四项为自旋轨道耦合项第四项为自旋轨道耦合项(Thomas项项)，
13、它表示电子，它表示电子的自旋磁矩与轨道磁矩之间的磁相互作用，这种相互的自旋磁矩与轨道磁矩之间的磁相互作用，这种相互作用在讨论复杂原子的能级结构时是极为重要的，可作用在讨论复杂原子的能级结构时是极为重要的，可记为记为 ，而，而)(lsr drdVrcmr121)(22 8)(121822222222342EVcmlsdrdVrcmcmpVmp 3.第五项为第五项为Darwin项，亦称为接触势，可以认为它来项，亦称为接触势，可以认为它来源于电子的相对论感生电矩，或者来源于电子的相对源于电子的相对论感生电矩，或者来源于电子的相对论非定域性，只对论非定域性，只对s态态(l=0)有影响。与此相反，自旋轨
14、有影响。与此相反，自旋轨道耦合作用道耦合作用 只对只对 态有影响。态有影响。)(lsr 0 l对于类氢原子，对于类氢原子，所以，所以rZerV/)(2 )(21882222222222222rcmeZrcmeZVcm 8)(121822222222342EVcmlsdrdVrcmcmpVmp 七、多电子原子的相对论修正七、多电子原子的相对论修正对于多电子原子，不仅电子与外部电磁场之间有相互对于多电子原子，不仅电子与外部电磁场之间有相互作用，电子与电子之间也有相互作用。以两电子原子作用，电子与电子之间也有相互作用。以两电子原子为例。为例。对于类氦原子，当对于类氦原子，当Z(137)较小时，两电子
15、的较小时，两电子的相对论波函数满足相对论波函数满足Breit方程。方程。121111)()(mcrAcepcreH )(2)(2121221212112212221rrrrereHHE 其中其中11 ip12r是两电子之间的距离。是两电子之间的距离。令令 22EmcE 采用原子单位，在泡利近似下，采用原子单位，在泡利近似下，Breit方程可写成以下方程可写成以下微分方程微分方程 )(0EHHHHHooeeDk 其中其中 211220121iiirrZH 214281iikpcH 212)(iiDrcH )()381(12212rsscHee )(12121221121221122rpprrpp
16、rcHoo 动能修正项动能修正项 Darwin 项项 电子与电子相互作用项电子与电子相互作用项 轨道与轨道相互作用项轨道与轨道相互作用项 八、质量极化八、质量极化相对坐标：相对坐标：0 iix)2,1(i与此相同）与此相同）（iizy,则则 iixmMmX 2)2,1(i2102xxmMMX )(21210 mmMmMX 与与此此相相同同）、（ZY考虑质量为考虑质量为M，坐标为，坐标为 的核的运动对系统的影响。的核的运动对系统的影响。对于类氦两电子系统，两个电子质量皆为对于类氦两电子系统，两个电子质量皆为m，坐标分别，坐标分别为为 ，则，则质心坐标：质心坐标：000 222111,薛定谔方程中出现下列表达式：薛定谔方程中出现下列表达式：212222212222222122021)(121)(11xxMxxmXmMmM 不考虑原子系统质心的运动，则有不考虑原子系统质心的运动，则有02221212122222 iikkikikiiVEzzyyxxMm引入有效质量引入有效质量mMmM 则则 EVMii 2121222其中其中 即为质量极化。即为质量极化。211 MHmp谢谢谢谢!
