1、第一节数列的概念及简单表示法,总纲目录,教材研读,1.数列的定义,考点突破,2.数列的分类,3.数列的表示法,考点二由an与Sn的关系求通项公式an,考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式,4.数列的通项公式,考点三由递推关系求数列的通项公式,考点四数列的性质,1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.,教材研读,2.数列的分类,3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法.,4.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,5.已知数列an的前n项和Sn,则an
2、=,1.(2016北京海淀二模)数列an的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为?()A.5B.6C.7D.8,答案B由题知an+1=?an,又a1=2,故a2=2a1=4,a3=?a2=6.,B,2.已知数列an的通项公式为an=n2-8n+15,则3?()A.不是数列an中的项B.只是数列an中的第2项C.只是数列an中的第6项D.是数列an中的第2项或第6项,答案D令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列an中的第2项或第6项.,D,3.(2016北京东城一模)已知数列an的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则
3、S11 =?()A.-21B.-19C.19D.21,答案DS11=(-4)5+(-1)11-1(411-3)=-20+41=21.,D,4.已知数列an的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列an的通项公式为( )A.an=2n-3 B.an=2n+3C.an=?D.an=,答案C当n=1时,a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1时,a1=1不适合上式,故an=?选C.,C,5.(2015北京东城模拟)已知函数f(x)的对应关系如下表所示,数列an满足a1=3,an+1=f(an),则a4=,a2 015=.,答案1;3,解析a1=3,a2=f(a1)=f(3)
4、=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,可知数列an是以2为周期的数列,a2 015=a1=3.,典例1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,;(2)0.8,0.88,0.888,;(3)?,?,-?,?,-?,?,;(4)?,1,?,?,.,考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式,考点突破,解析(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1来调整,原数列各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6,故原数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).,(2)将数列变形为?(1-0.1),?(1-0
5、.01),?(1-0.001),故原数列的一个通项公式为an=?.(3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4,项的分子分别比分母少3,因此把第1项变为-?,则原数列可化为-?,?,-?,?,原数列的一个通项公式为an=(-1)n?.(4)将数列变为?,?,?,?,对于分子3,5,7,9,是相应项数的2倍加1,可得分子的一个通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,联想到数列1,4,9,16,即数列n2,可得分母的一个通项公式为cn=n2+1,原数列的一个通项公式为an=?.,方法指导(1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的
6、特征:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.,1-1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)1,3,5,7,;(2)2,5,10,17,;(3)?,?,?,?,?,;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(5)1,2,2,4,3,8,4,16,5,.,解析(1)由Sn=2an-1可得,当n=1时,a1=1.当n2时,an=Sn-Sn-1,an=
7、2an-2an-1,即an=2an-1.则数列an是首项为1,公比为2的等比数列,则an=2n-1,nN*.(2)Tn=a1a2a3an=20+1+2+3+(n-1)=?.,方法指导已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式;(3)看a1是否符合n2时an的表达式,若符合,则可以把数列的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n2两段来写.,2-1(2016北京海淀期中)数列an的前n项和为Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n2),且S2=3,则a1的值为?()A.0B.1C.3
8、D.5,A,2-2已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则an=.,答案,解析(1)由题意得,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=2+(2+3+n)=2+?=?+1.又a1=2=?+1,符合上式,因此an=?+1.(2)an=?an-1(n2),an-1=?an-2,a2=?a1.以上(n-1)个式子相乘得an=a1?=?=?.,方法指导由数列的递推关系求通项公式的常用方法已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m(n2)时,构造等差数列;当出现an=xan-1+y(n2)时,构造等比
9、数列;当出现an=an-1+f(n)(n2)时,用累加法求解;当出现?=f(n)(n2)时,用累乘法求解.,3-1已知数列an中,a1=1,an+1=?,求数列an的通项公式.,解析因为an+1=?,a1=1,所以an0,所以?=?+?,即?-?=?.又a1=1,则?=1,所以?是以1为首项,?为公差的等差数列.所以?=?+(n-1)?=?+?.所以an=?(nN*).,3-2若数列an满足:a1=1,an+1=2an+2n,求数列an的通项公式.,解析由an+1=2an+2n,得?=?+?,即?-?=?,又a1=1,故?=?,?是以?为首项,?为公差的等差数列.?=?+(n-1)?=?,an
10、=n2n-1.,解析(1)当n=1时,?=2S1=2a1,a1(a1-2)=0.若a1=0,则Sn=0,当n2时,an=Sn-Sn-1=0-0=0,所以an=0.若a10,则a1=?.当n2时,2an=?+Sn,2an-1=?+Sn-1,两式相减得2an-2an-1=an,所以an=2an-1(n2),从而数列an是等比数列,所以an=a12n-1=?2n-1=?.综上,当a1=0时,an=0;当a10时,an=?.(2)当a10且=100时,令bn=lg?,由(1)有,bn=lg?=2-nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为-lg 2).b1b2b6=lg?=lg?lg 1=0
11、,当n7时,bnb7=lg?=lg?0?数列an是单调递增数列;an+1-an0时,?1?数列an是单调递增数列;?1?数列an是单调递减数列;?1?数列an是单调递增数列;?=1?数列an是常数列.,求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组?(n2)找到数列的最大项.(2)利用不等式组?(n2)找到数列的最小项.,4-1若数列an满足:a1=19,an+1=an-3(nN*),则数列an的前n项和最大时,n的值为?()A.6B.7C.8D.9,答案Ba1=19,an+1-an=-3,数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列,B,an=19+(n-1)(-3)=22-3n.令?则?解得?n?,nN*,n=7,故当数列an的前n项和最大时,n的值为7.,
