1、第第4章章 机械能守恒定律机械能守恒定律 1 力的功力的功 动能定理动能定理 2 一对内力作功之和一对内力作功之和 3 保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能 4 机械能守恒定律机械能守恒定律 5 克尼希定理克尼希定理 资用能资用能第1页，共40页。1 力的功力的功 动能定理动能定理 一、力的功一、力的功 二、二、质点运动的动能定理质点运动的动能定理 三、三、质点系的动能定理质点系的动能定理第2页，共40页。一、力的功一、力的功 1.恒力作用恒力作用 直线运动直线运动cosSFASFArFAFSr作用物体的位移作用物体的位移第3页，共40页。2.一般运动一般运动 （变力作用（变力
2、作用 曲线运动）曲线运动）元功元功sfAddabfsd)()(basfAd)()(barfAd讨论讨论1）A是标量是标量 反映了能量的变化反映了能量的变化正负正负：取决于力与位移的：取决于力与位移的夹角夹角 摩擦力作功一定是负的吗？摩擦力作功一定是负的吗？第4页，共40页。2）功是过程量功是过程量 3）功的计算中应注意的问题功的计算中应注意的问题1)质点问题质点问题iiiiisfAiLdabsd1f2fsfbaiid)()()(iL)()(baiisFAAd合对对质点质点:各力各力作功之作功之和和等于等于合力合力作的功作的功中学时中学时似乎似乎熟视无睹熟视无睹思考思考：写这个写这个等号等号的的
3、条件条件？第5页，共40页。2)质点系问题质点系问题iiLiiisfAid Liisfd)(?1m2m1L2L对问号的解释：对问号的解释：一般的讨论：一般的讨论：如图，两个质点走的路径不同。如图，两个质点走的路径不同。则，各质点的元位移则，各质点的元位移nssssdddd321故不能用一个共同的元位移故不能用一个共同的元位移sd来代替。来代替。第6页，共40页。所以在所以在计算功的过程中特别要计算功的过程中特别要分清分清研究对象研究对象对质点有：对质点有：)()(baiisFAAd合即，即，各力各力作功之作功之和和等于等于合力合力作的功。作的功。但但对质点系对质点系：写不出像质点那样的简单式子
4、，：写不出像质点那样的简单式子，即，各力即，各力作功之作功之和和不一定不一定等于等于合力合力的功。的功。第7页，共40页。二、二、质点运动的动能定理质点运动的动能定理rFAdd思路：思路：与推导动量定理和角动量定理相同，仍然由与推导动量定理和角动量定理相同，仍然由牛顿第二定律出发。牛顿第二定律出发。牛顿力学中定义质点动能为牛顿力学中定义质点动能为rtmdddd m221mEK一种推导：一种推导：元功元功将牛顿第二将牛顿第二定律代入定律代入第8页，共40页。ddmAd ddcosdddddd dmbadmAAba)()(d222121abmmKEA推导推导dd 质点运动的动能定理质点运动的动能定
5、理ddcos我们应该学会我们应该学会或说或说习惯于习惯于这种一般性的推导。这种一般性的推导。第9页，共40页。三、三、质点系的动能定理质点系的动能定理iiiiiiAAA内外2022121iiiiiimmKEAA内外思考：思考：为什么为什么内力内力之和之和一定一定为零，而为零，而 内力作功内力作功之和之和不一定不一定为零呢？为零呢？第10页，共40页。1）内力也会改变系统的总动能内力也会改变系统的总动能 2）质点系质点系的三个运动定理的三个运动定理各司其职各司其职 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 动能定理动能定理KEAA内外讨论讨论PtFttd21外LtMttd21外KEAA内外灵活灵活
6、的头脑的头脑 应应 灵活灵活地使用地使用 运动定理运动定理第11页，共40页。2 一对内力作功之和一对内力作功之和系统中任意两质点系统中任意两质点 m1 m2的相互作用力的相互作用力2dddAAA11m2mo1r2r12f21f2112ff1L2L212112rfrfdd221112rfrfdd)(2112rrfdd 1212rfd 12rd质点质点1相对质点相对质点2的元位移的元位移12f质点质点1受质点受质点2的力的力21211212rfrfAddd2112ff一对内力作功之和与一对内力作功之和与参考系无关参考系无关第12页，共40页。中学已使用过这个结论。如：中学已使用过这个结论。如：2
7、1211212rfrfAddd一对正压力的功一对正压力的功21AAAdddmMmrNd0一对滑动摩擦力作功一对滑动摩擦力作功mMrrfAdmMrrfd 0 0总功一定减少体系的动能总功一定减少体系的动能MmmNrfmMrd中学熟知的例子中学熟知的例子使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？第13页，共40页。3 保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能 一、保守力的定义一、保守力的定义 二、势能二、势能第14页，共40页。一、保守力的定义一、保守力的定义如如 重力作功重力作功222121baabkxkxAahbh地面地面baabmghmg
8、hAbaabrMmGrMmGA弹性力的功弹性力的功 万有引力的功万有引力的功第15页，共40页。222121baabkxkxAkmoxaxbx)()(baabrMmGrMmGAMmabfarbr共同特征：共同特征：作功与相对路径无关，作功与相对路径无关，只与始末只与始末(相对相对)位置有关位置有关 具有这种特征的具有这种特征的力力（严格说是（严格说是一对力一对力）称为保守力称为保守力 第16页，共40页。保守力（保守力（conservative force）定义有两种表述）定义有两种表述 表述一（文字叙述）：表述一（文字叙述）：作功与路径无关作功与路径无关,只与始末位置有关的力只与始末位置有关
9、的力 称为保守力称为保守力 表述二（数学表示）表述二（数学表示）：0rfLd保保守力的环流为零。保守力的环流为零。描述矢量场基本性质的方程形式描述矢量场基本性质的方程形式第17页，共40页。rfLd保Lab12abbarfrf21dd保保rfrfbabadd21保保=0通常：通常：0Llfdld普遍意义：普遍意义：环流为零的力场是保守场，环流为零的力场是保守场，如静电场力的环流也是零，如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。所以静电场也是保守场。证明第二种表述：证明第二种表述：0rfLd保环流不为零的矢环流不为零的矢量场是非保守场，量场是非保守场，如磁场。如磁场。第18页，共40页。二、
10、势能二、势能1.定义定义 令令 PbPabaEElfAd保保若选末态为势能零点若选末态为势能零点PEA保即即rfEaPad势能参考点保)(第19页，共40页。2.常见的势能函数常见的势能函数地面为势能零点地面为势能零点末态为势能零点末态为势能零点mghEP1)重力势能重力势能2)弹性势能弹性势能221kxEP以弹簧原长为以弹簧原长为势能零点势能零点3)万有引力势能万有引力势能rMmGEP以无限远为势以无限远为势能零点能零点第20页，共40页。1）只有保守力才有相应的势能只有保守力才有相应的势能2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）势能属于有保守力作用的体系（质点系）(对应一对内力作功之和对应
11、一对内力作功之和)3）势能与参考系无关势能与参考系无关(相对位移相对位移)4）质点系的内力质点系的内力 保守内力保守内力 (作功与路径无关作功与路径无关)非保守内力非保守内力 (作功与路径有关作功与路径有关)耗散力耗散力讨论讨论第21页，共40页。例例1 如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点 m，桌面的摩擦系，桌面的摩擦系数为数为 求：两种情况下摩擦力作的功求：两种情况下摩擦力作的功 rfAbarabd圆弧mRab sfbard Rmg RmgrfAbarab2d直径1）沿圆弧；）沿圆弧；2）沿直径）沿直径解：解：rfrd)()(barsfd第22页，共40页。4 机械能守恒定律机械能
12、守恒定律一、质点系的功能关系一、质点系的功能关系二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律三、由势能函数求保守力三、由势能函数求保守力第23页，共40页。一、质点系的功能关系一、质点系的功能关系 （质点系动能定理的变形）（质点系动能定理的变形）KEAAA非保保外质点系的动能定理质点系的动能定理PKEEAA非保外EAA非保内外PEA保PKEEE机械能机械能功能关系功能关系二、二、机械能守恒定律机械能守恒定律00非保内外AA0E第24页，共40页。iiiPghmE质点系重力势能的计算质点系重力势能的计算mc势能零点势能零点chiiihmgmhmhiiiccPmghE imih例：均质细棒的重力势能例：均
13、质细棒的重力势能ol总长总长m总质量总质量势能零点势能零点lhc21c2mglEP 时势能？时势能？（地面附近）（地面附近）第25页，共40页。三、三、由势能函数求保守力由势能函数求保守力PElfddPlElfddLldflEfPlddl方向的方向导数方向的方向导数由势能定义有保守力与由势能定义有保守力与相应势能的关系是：相应势能的关系是：根据矢量计算可写成：根据矢量计算可写成：如果质点沿一路径如果质点沿一路径L运动运动结论：结论：保守力在保守力在l方向的分量就是方向的分量就是 相应势能在相应势能在l方向的方向导数方向的方向导数第26页，共40页。gradzzyyxx如果引入梯度算符：如果引入
14、梯度算符：zfyfxffzyxPPEEfgrad保守力的分量式为：保守力的分量式为：直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的方向导数分别是方向导数分别是:zEfyEfxEfPzPyPx则保守力可表示为：则保守力可表示为：zzEyyExxEfPPP则有：则有：保守力等于势能的负梯度保守力等于势能的负梯度第27页，共40页。介绍逃逸速度与黑洞介绍逃逸速度与黑洞逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率以脱离地球的引力为例以脱离地球的引力为例第28页，共40页。以无限远作为势能零点以无限远作为势能零点021)(2122mRMmGm
15、eRGMe2若若ce黑洞黑洞引力作用下塌陷引力作用下塌陷当当m一定时一定时202cGMR 收缩到收缩到视界半径视界半径广义相对论广义相对论第29页，共40页。设想设想1)把地球变成黑洞把地球变成黑洞1622411201031098.51067.622cGMRmm86.82)把太阳变成黑洞把太阳变成黑洞1623011201031099.11067.622cGMRm31095.23)引力理论：引力理论：转化为黑洞的只能是质转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星量满足一定条件的恒星mm7.2太阳的太阳的质量质量白矮星白矮星遗憾？遗憾？第30页，共40页。由于引力特大，以至由于引力特大，以至于其发出
16、的光子及掠过其旁的任何物质都于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。名思义称其为黑洞。黑洞黑洞(black hole)：掉入黑洞的所有信息都丢掉入黑洞的所有信息都丢失了，唯有质量、电荷（或磁荷）、角失了，唯有质量、电荷（或磁荷）、角动量没有被吃掉。动量没有被吃掉。黑洞无毛定理：黑洞无毛定理：黑洞上黑洞上黑洞下黑洞下第31页，共40页。5 克尼希定理克尼希定理 资用能资用能一、克尼希定理一、克尼希定理二、二、两质点系统两质点系统第32页，共40页。一、克尼希定理一、克尼希定理在相对速度为在相对速度为 的两个惯性
17、系中，质点系各的两个惯性系中，质点系各质点的速度按伽利略变换质点的速度按伽利略变换,有如下关系有如下关系:VViiVSS任一质点相对任一质点相对S系的速度系的速度iiV任一质点相对任一质点相对S系的速度系的速度S系相对系相对S系的速度系的速度第33页，共40页。)2(2122VVmiiii iiikVmmVE)(212若若S 系为系为质心系质心系，则，则,0iiimcV221ckkmEE（克尼希定理）（克尼希定理）221iiikmE221Vmiii VVmiii21又一次看到质心系又一次看到质心系的特殊地位的特殊地位两参考系中两参考系中动能关系动能关系第34页，共40页。KCE221cm质心的
18、动能质心的动能整体随质心运动整体随质心运动质点系相对于质点系相对于质心质心的动能的动能克尼希定理说明克尼希定理说明：在实验室参考系中，质点系的动能在实验室参考系中，质点系的动能等于质点系随等于质点系随质心一起的平动动能质心一起的平动动能加上加上质点系质点系相对于相对于质心质心的动能的动能。iiikKVmmVEE)(212随便随便两个参考系之两个参考系之间的动能关系是间的动能关系是KCcKEmE221克尼希定理写为克尼希定理写为一般不为一般不为零零第35页，共40页。两质点相对速度为：两质点相对速度为：12u02211mm二、二、两质点系统两质点系统1.约化质量约化质量(或折合质量或折合质量)2
19、121如果如果S 为为质心系质心系，而质心系是零动量系而质心系是零动量系ummm2121ummm2112第36页，共40页。2212121ummmm221ukrE2121mmmm相对相对（质心）（质心）动能动能222122221222ummmmmmmm111)()(2222112121mmEk在在质心系质心系中，质点系的动能中，质点系的动能令令称为称为约化质量约化质量（或（或折合质量折合质量）高能物理实验中称高能物理实验中称 为为资用能资用能KCE第37页，共40页。在高能物理研究微观粒子的结构和相互作在高能物理研究微观粒子的结构和相互作用及反应机制时，有用的能量。用及反应机制时，有用的能量。
20、对撞机的对撞机的优点优点：相对动能最大，资用能最多：相对动能最大，资用能最多北京正负电子对撞机北京正负电子对撞机(BEPC)；西欧联合核子中心的正负电子对撞机西欧联合核子中心的正负电子对撞机(LEP)KCkrEE相对于质心的动能相对于质心的动能2.资用能资用能第38页，共40页。3.两体问题的简化（了解）两体问题的简化（了解）只只存在两者之间的相互作用的体系称两体问题。存在两者之间的相互作用的体系称两体问题。基本思路：基本思路：如如 粒子的散射，电子绕核运动等可以粒子的散射，电子绕核运动等可以简化简化为为单单体体问题求解问题求解 运动定律和运动定理运动定律和运动定理均可用质点的形式均可用质点的形式 用用约化质量约化质量代表代表质点质点的质量，用的质量，用相互作用力相互作用力代替代替合力合力。rFtr22dd2121mmmmrFr相互作用力相互作用力相对位移相对位移第39页，共40页。第第4章结束章结束第40页，共40页。
