1、1 CHAPTER 8 2FF NFAMeMemmIPTMeMemmFF INPFAT一般不成立一般不成立3一、点的应力状态的概念一、点的应力状态的概念20coscos p2sin2sin0 p 构件内一点处所有构件内一点处所有截面（方向）上的应力截面（方向）上的应力情况。情况。研究应力状态的目的研究应力状态的目的：找出过该点的最大正应力找出过该点的最大正应力和切应力数值及所在截面和切应力数值及所在截面的方位，然后建立强度条的方位，然后建立强度条件。件。4二、研究应力状态的方法二、研究应力状态的方法单元体法单元体法 1.1.单元体单元体单元体单元体包围被研究点的包围被研究点的无限小无限小的几何
2、体，常用正六面的几何体，常用正六面体表示。体表示。a、各面上，应力均匀分布；、各面上，应力均匀分布；b、相互垂直的面上满足切应力互等定理、相互垂直的面上满足切应力互等定理 c、相互平行的面上，正应力等值、反向、共线。、相互平行的面上，正应力等值、反向、共线。单元体的性质单元体的性质 A52 2、基本定义、基本定义xxyyyxxyzzxxyyyxz:xyX-X-截面截面X-X-正截面正截面X-X-负截面负截面3 3、符号说明、符号说明xyz-x-x轴方向的正应力轴方向的正应力X X所在截面的位置所在截面的位置y y切应力的方向切应力的方向4 4、正负号规定、正负号规定正应力：拉为正，压为负正应力
3、：拉为正，压为负切应力：将切应力向单元体内切应力：将切应力向单元体内的点取距，的点取距，顺为正，逆为负顺为正，逆为负yxxy yzzy zxxz 6FFMeMeBAP/A MMe/WnAB用单元体画出用单元体画出A、B两点的应力状态两点的应力状态7BCAFCAB B C C C A A用单元体画用单元体画出出A、B、C三点的应力三点的应力状态状态8BxxyyAB用单元体画出用单元体画出A、B两两点的应力状态点的应力状态Axyxyzz9三、主应力三、主应力 和和 应力状态分类应力状态分类1.主平面主平面：单元体上切应力为零的面；：单元体上切应力为零的面；主单元体主单元体：各面均为主平面的单元体；
4、：各面均为主平面的单元体；主应力主应力：主平面上的正应力，用：主平面上的正应力，用 1、2、3表示，表示，有有 1 2 3。MeMeBMMe/WnBFFAP/A A102.应力状态按主应力分类：应力状态按主应力分类：单向应力状态：单向应力状态：只有一个主应力不为零；只有一个主应力不为零；两向应力状态两向应力状态(平面应力状态平面应力状态)：有两个主应力不为零；有两个主应力不为零；三向应力状态三向应力状态(空间应力状态空间应力状态)：三个主应力均不为零；三个主应力均不为零；单向应力状态又称单向应力状态又称简单应力状态简单应力状态，平面和空间应力状态，平面和空间应力状态又称又称复杂应力状态复杂应力
5、状态。11 x xy yxyzxy x xy yO等价等价二向应力状态的简化表示二向应力状态的简化表示12 背离斜截面为正，指向斜背离斜截面为正，指向斜截面为负；截面为负；a a绕研究对象顺时针为正，绕研究对象顺时针为正，逆为负；逆为负；以以x x轴为起点，轴为起点，逆时针转到逆时针转到斜面法线方向为正，否则为负。斜面法线方向为正，否则为负。任意斜截面上的应力正负号确定任意斜截面上的应力正负号确定x xy yO O x x xyxy y yn n y y xyxy x x 由由,的的正负号规定知正负号规定知正值图正值图131.1.任意任意角斜截面上的应力角斜截面上的应力0tF ：dA (cos
6、)cosxydA (sin)sinyxdA(sin)cosydA(cos)sinxdA 0 0nF ：dA (cos)sinxydA(sin)cosyxdA (sin)sinydA (cos)cosxdA 0 dAsindA cosdA 22cossin2sincosxyxy 22sincossincos(cossin)xyxy x xy y yxAB nt x yx y xy 14 整理可得整理可得 cos2sin 222sin 2cos22xyxyxyxyxy dAsindA cosdA x xy y yxAB nt x yx y xy 22cossin2sincosxyxy 22sinc
7、ossincos(cossin)xyxy 由于由于)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 15试求：试求：斜面上的应力；斜面上的应力；例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。y x xy。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知解：解：斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.5816例例2 2：求指定斜截面上的正应力和切应力。求指定斜截面上的
8、正应力和切应力。单位：单位：MPa解：解：80MPa,x40MPay 3060MPa,xy 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx102MPa22MPa17二、平面应力分析的图解法二、平面应力分析的图解法应力圆应力圆 1.理论依据：理论依据：cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy222222xyxyxy()/2,0 xyC应力圆应力圆22()/2xyxyR圆心：圆心：半径：半径：莫尔莫尔(Mohr)圆圆OCR182.2.应力的极值应力的极值 222222xyxyxyOCRmaxminxCR2max2min2xyxyR 2222xyxyxy3.3.单元体和
9、应力圆的对应关系单元体和应力圆的对应关系 点面对应关系；点面对应关系；转向相同，角度二倍。转向相同，角度二倍。（应力圆上的转角是截面转角的二倍）（应力圆上的转角是截面转角的二倍）y y xyxy x x 194.4.应力圆的作法应力圆的作法 x x xy yx xy yx y yO xyC D(y,yx)D(x,xy)（1）在单元体上任取两个相互正交的平面（2）在平面上标出这两个平面所对应的应力（不妨记为D点和D点）（3）连接DD与横坐标交于C点。（4）以C为圆心，CD为半径作圆，此即应力圆。20BCAFCAB B C C C A A作单元体作单元体A、B、C的应力圆的应力圆21cos2sin
10、222xyxyxy2cos2sin22ddxyyx00sin2cos202xyxy5.5.应力极值应力极值 其所在平面位置的确定其所在平面位置的确定a.a.最大（小）正应力所在平面位置最大（小）正应力所在平面位置 0 0 的确定的确定当正应力达到极值时，当正应力达到极值时，yxxy22tan0于是，于是，22yxxy22tan0 x x xy yx xy yx y yO xyC D(y,yx)ABD(x,xy)a.a.最大（小）正应力所在平面位置最大（小）正应力所在平面位置 0 0 的确定的确定23yxxy22tan0说明：说明：O C D(y,yx)D(x,xy)(1).(1).上式有两个解
11、：上式有两个解：1 1和和 2 2，|1 1-2 2|=90|=90o o，它们分别与，它们分别与maxmax，min min 的位置相对应。的位置相对应。(2).(2).若若x x y y,则则 1 1，2 2中绝对值较小的一个确定的是中绝对值较小的一个确定的是maxmax所在平面的位置。所在平面的位置。(3).(3).若若x x -二向应力状态二向应力状态该斜截面上的应力与应力圆该斜截面上的应力与应力圆上上的点相对应。的点相对应。22112三向应力圆三向应力圆 29b.b.平行于平行于1 1的斜截面上的应力的斜截面上的应力该斜截面上的应力不受该斜截面上的应力不受1 1的影的影响，响，只和只
12、和2,2,3 3 有关。有关。三向应力状态三向应力状态 -二向应力状态二向应力状态该斜截面上的应力与应力圆该斜截面上的应力与应力圆上上的点相对应。的点相对应。2322330c.c.平行于平行于2 2的斜截面上的应力的斜截面上的应力该斜截面上的应力不受该斜截面上的应力不受2 2的影的影响，响，只和只和1,1,3 3 有关。有关。三向应力状态三向应力状态 -二向应力状态二向应力状态该斜截面上的应力与应力圆该斜截面上的应力与应力圆上上的点相对应。的点相对应。2311331d.d.与与1 1，2 2，3 3相交的斜截面上的应力相交的斜截面上的应力斜截面上的应力与阴影区域中斜截面上的应力与阴影区域中的点
13、相对应。的点相对应。32231max三向应力状态的最大切应力三向应力状态的最大切应力刚好等于平行于刚好等于平行于2的斜截面上的斜截面上的最大切应力的最大切应力33例：例：求图示应力状态的主应力和求图示应力状态的主应力和最大切应力最大切应力(应力单位为应力单位为Mpa)。5050501MPa解：解：MPa50231max503MPa 502MPa34例：例：求图示应力状态的主应力和最大切应力求图示应力状态的主应力和最大切应力(应应力单位为力单位为MPa）。）。30402050解：解：max.132472MPa1322302023020240522422.MPa2MPa 50351.1.胡克定律胡
14、克定律-基本变形基本变形xxEyx xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律GExxxE 362.2.广义胡克定律广义胡克定律-二向、三向应力状态二向、三向应力状态A A、二向应力状态、二向应力状态xy=+x=+y=ExEyExEyxyz=ExEy 只与只与有关，与有关，与无关无关 yxxy 只与只与有关，与有关，与无关无关37B B、三向应力状态、三向应力状态+x=+y=+z=ExEyEzExEyEzExEyEzx单独作用y单独作用z单独作用xyz1()1()1()xxyzyyxzzzxyEEE xyxyyzyzxzxzGGG38
15、8.7 8.7 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能332211212121u)(31321m 2 3 1图图 a图图 c 3-m 1-m 2-mbaE)(213210c312321232221221E m图图 b m m3921323222161Eux:单元体的应变能为图c称为形状改变比能或应变能。图图 c 3-m 1-m 2-m40例例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。Gu2212纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：312321232221221Eu)(002)(02122E21E12EG xyA1341低碳钢低碳钢铸铁铸铁例例2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并
16、分析低讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。解：解：42maxmin0123max,450maxmin(,)0(,)0 431.1.明确一点应力状态、主应力和主平面、单元体等基明确一点应力状态、主应力和主平面、单元体等基本概念，掌握单元体的截取方法及其各微面上应力分本概念，掌握单元体的截取方法及其各微面上应力分量的计算方法。量的计算方法。2.2.掌握解析法和图解法掌握解析法和图解法。3.3.掌握掌握广义胡克定律及其图解法计算平面广义胡克定律及其图解法计算平面应力状态下应力状态下任意斜截面的应力、任意斜截面的应力、主应力和主平面主应力和主平面的方法。的方法。
