1、2022年天津市高考数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设全集U=2,1,0,1,2，集合A=0,1,2，B=1,2，则A(UB)=()A. 0,1B. 0,1,2C. 1,1,2D. 0,1,1,22. “x为整数”是“2x+1为整数”的条件()A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要3. 函数f(x)=|x21|x的图像为()A. B. C. D. 4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14
2、,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()1 / 16A. 8B. 12C. 16D. 185. 已知a=20.7，b=(13)0.7，c=log213，则()A. acbB. bcaC. abcD. cab6. 化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为()A. 1B. 2C. 4D. 67. 已知抛物线y2=45x，F1，F2分别是双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，抛物线的准线过双
3、曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若F1F2A=4，则双曲线的标准方程为()A. x210y2=1B. x2y216=1C. x2y24=1D. x24y2=18. 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为()A. 23B. 24C. 26D. 279. 已知f(x)=12sin2x，关于该函数有下列四个说法：f(x)的最小正周期为2；f(x)在4,4上单调递增；当x6,3时，f(x)的取值范围为34,34；f(x)的图象可由g(x)=12sin(2x+4)的图象向左平移8个单位长度得到
4、以上四个说法中，正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 已知i是虚数单位，化简113i1+2i的结果为_11. (x+3x2)5的展开式中的常数项为_ 12. 若直线xy+m=0(m0)与圆(x1)2+(y1)2=3相交所得的弦长为m，则m=_13. 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为_；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为_14. 在ABC中，CA=a，CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a，b表示DE为_，若ABDE，则ACB的最大值为_15. 设aR，对任意实数x，
5、记f(x)=min|x|2,x2ax+3a5.若f(x)至少有3个零点，则实数a的取值范围为_三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=6，b=2c，cosA=14(1)求c的值；(2)求sinB的值；(3)求sin(2AB)的值17. 直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AA1AB，ACAB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点(1)求证：EF/平面ABC；(2)求直线BE与平面CC1D的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值18. 设an是等
6、差数列，bn是等比数列，且a1=b1=a2b2=a3b3=1(1)求an与bn的通项公式；(2)设an的前n项和为Sn，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1Snbn；(3)求k=12nak+1(1)kakbk19. 椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足|BF|AB|=32(1)求椭圆的离心率e；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N(N异于M).记O为坐标原点，若|OM|=|ON|，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程20. 已知a，bR，函数f(x)=exasinx，g(x)=bx(1)求函数y=f(x)在(0,f(0)处的
7、切线方程；(2)若y=f(x)和y=g(x)有公共点()当a=0时，求b的取值范围；()求证：a2+b2e答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集U=2,1,0,1,2，集合A=0,1,2，B=1,2，则A(UB)=0,1,22,0,1=0,1故选：A直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可本题考查集合的交集，补集的运算法则的应用，是基础题2.【答案】A【解析】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；2x+1为整数时，x不一定是整数，如x=12时，所以必要性不成立，是充分不必要条件故选：A分别判断充分性和必要性是否成立即可本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题3.【答案】D【解析】
8、解：函数f(x)=|x21|x的定义域为(,0)(0,+)，f(x)=|x21|x=f(x)，该函数为奇函数，故A错误；x0时，x0，f(x)+；x=1，f(x)=0；x+，f(x)+，故BC错误，D正确故选：D根据函数奇偶性和特殊点，即可判断本题考查函数图象，属于基础题4.【答案】B【解析】解：志愿者的总人数为20(0.24+0.16)1=50，第3组的人数为500.36=18，有疗效的人数为186=12人故选：B结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，由此能求出结果本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.【答案】C【解析】解：因
9、为y=2x是定义域R上的单调增函数，所以20.720=1，即a=20.71；因为y=(13)x是定义域R上的单调减函数，所以(13)0.7(13)0=1，且b=(13)0.7，所以0b1；因为y=log2x是定义域(0,+)上的单调增函数，所以log213log21=0，即c=log213bc故选：C根据指数函数和对数函数的图象与性质，判断a1b0c本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值大小的应用问题，是基础题6.【答案】B【解析】解：(2log43+log83)(log32+log92)=(2lg3lg4+lg3lg8)(lg2lg3+lg2lg9) =(lg3lg2+lg3
10、3lg2)(lg2lg3+lg22lg3) =43lg3lg232lg2lg3 =2故选：B利用对数的换底公式计算即可本题考查了对数的换底公式应用问题，是基础题7.【答案】C【解析】解：由题意可得抛物线的准线为x=5，又抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，c=5，联立x=cy=bax，可得|yA|=bca，又F1F2A=4，|yA|=|F1F2|，bca=2c，b=2a，b2=4a2，又c2=a2+b2，5=a2+4a2，a2=1，b2=4，双曲线的标准方程为x2y24=1故选：C先由抛物线方程的其准线方程，从而得双曲线的半焦距c，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得|yA|，接着由F1
11、F2A=4，可得|yA|=|F1F2|，从而得b=2a，最后再通过c2=a2+b2建立方程即可求解本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题8.【答案】D【解析】解：该几何体由直三棱柱AFDBHC及直三棱柱DGCAEB组成，作HMCB于M，如图，因为CH=BH=3，CHB=120，所以CM=BM=332，HM=32，因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=33，在直棱柱AFDBHC中，AB平面BHC，则ABHM，由ABBC=B可得HM平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为I，则VIBCDA=13333332=272，VAFDBHC=12333233=814，则该几何体的体积为V
12、=2VAFDBHCVIBCDA=2814272=27故选：D作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积本题主要考查棱柱的结构特征和体积公式，考查了学生的直观想象能力，属于中档题9.【答案】A【解析】解：对于f(x)=12sin2x，它的最小正周期为22=，故错误；在4,4，2x2,2，函数f(x)单调递增，故正确；当x6,3时，2x3,23，f(x)的取值范围为34,12，故错误；f(x)的图象可由g(x)=12sin(2x+4)的图象向右平移8个单位长度得到，故错误，故选：A由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题10.【答案】
13、15i【解析】解：113i1+2i=(113i)(12i)(1+2i)(12i)=525i5=15i，故答案为：15i直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题11.【答案】15【解析】解：(x+3x2)5的展开式的通项是C5rx5r(3x2)r=C5r3rx55r2 要求展开式中的常数项只要使得55r=0，即r=1 常数项是C513=15，故答案为：15 先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出r的值，代入系数求出结果本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题
14、目的通法，本题是一个基础题12.【答案】2【解析】解：圆心C(1,1)到直线xy+m=0(m0)的距离d=m2，又直线与圆相交所得的弦长为m，m=2r2d2，m2=4(3m22)，解得m=2故答案为：2先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解本题考查直线与圆相交的弦长问题，点到直线的距离公式，方程思想，属基础题13.【答案】1221117【解析】解：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则P(BC)=452351=1221，P(B)=452=113，P(C|B)=P(BC)P(B)=1221113=117，故答案为：1221；117由题意结合
15、概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于基础题14.【答案】3ba26【解析】解：ABC中，CA=a，CB=b，D是AC中点，CB=2BE，如图：DE=CECD=CB+BE12CA=b+b2a2=3ba2AB=CBCA=ba，ABDE，ABDE=(ba)3ba2=12(3b24ab+a2)=0，即4ab=a2+3b2，即4abcosC=a2+3b2，即cosC=a2+3b24ab23ab4ab=32，当且仅当a=3b时，等号成立，故cosC的最小值为32，故C的最大值
16、为6，即ACB的最大值为6，故答案为：3ba2；6由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出cosC的最小值，可得ACB的最大值本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题15.【答案】10,+)【解析】解：设g(x)=x2ax+3a5，(x)=|x|2，由|x|2=0可得x=2要使得函数f(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则=a24(3a5)0，解得a2或a10当a=2时，g(x)=x22x+1，作出函数g(x)、(x)的图象如下图所示： 此时函数f(x)只有两个零点，不合乎题意；当a2时，设
17、函数g(x)的两个零点分别为x1、x2(x1x2)，要使得函数f(x)至少有3个零点，则x22，所以，a210时，设函数g(x)的两个零点分别为x3、x4(x32g(2)=a10，解得a4，此时a10综上所述，实数a的取值范围是10,+)故答案为：10,+)设g(x)=x2ax+3a5，(x)=|x|2，分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题16.【答案】解(1)因为a=6，b=2c，cosA=14，由余
18、弦定理可得cosA=b2+c2a22bc=4c2+c264c2=14，解得：c=1；(2)cosA=14，A(0,)，所以sinA=1cos2A=154，由b=2c，可得sinB=2sinC，由正弦定理可得asinA=csinC，即6154=1sinC，可得sinC=108，所以sinB=2sinC=2108=104；(3)因为cosA=14，sinA=154，所以sin2A=2sinAcosA=2(14)154=158，cos2A=2cos2A1=21161=78，sinB=104，可得cosB=64，所以sin(2AB)=sin2AcosBcos2AsinB=15864(78)104=10
19、8，所以sin(2AB)的值为108【解析】(1)由余弦定理及题中条件可得c边的值；(2)由正弦定理可得sinC的值，再由b=2c及正弦定理可得sinB的值；(3)求出2A及B角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得2AB的正弦值本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题17.【答案】解：(1)证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，又D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点，FG/BC，EG/AB，又FG平面ABC，CB平面ABC，FG/平面ABC，同理可得，EG/平面ABC，又FGEG=G，平面EFG/平面ABC，EF/平面ABC，(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACA
20、B，则可建立如图所示的空间直角坐标系，、又AA1=AB=AC=2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点故B(2,2,0)，E(1,0,0)，C(2,0,2)，C1(0,0,2)，D(0,1,0)，则BE=(1,2,0)，CC1=(2,0,0)，CD=(2,1,2)，设n=(x,y,z)是平面CC1D的法向量，则有：nCC1=0，nCD=0，即2x=02x+y2z=0，令z=1，则x=0，y=2，所以n=(0,2,1)，设直线BE与平面CC1D的夹角为，则sin=|cos|=|2255|=45，(3)A1(0,0,0)，则A1C=(2,0,2)，A1D=(0,1,0)，设平面A1CD的
21、法向量为m=(x,y,z)，则有mA1C=0，mA1D=0，即2x+2z=0y=0，令x=1，则y=0，z=1，故m=(1,0,1)，设平面A1CD与平面CC1D的夹角为，所以cos=|cos|=|1152|=1010【解析】利用中位线可证(1)，建立空间直角坐标系设n=(x,y,z)是平面CC1D的法向量，平面A1CD的法向量为m=(x,y,z)，可解本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题18.【答案】解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a1=b1=a2b2=a3b3=1，1+dq=1，1+2dq2=1，解得d=q=2，an=1+2(n1)=2n1
22、，bn=2n1(2)证明：bn+1=2bn0，要证明(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1Snbn，即证明(Sn+1+an+1)bn=Sn1bn2bnSnbn，即证明Sn+1+an+1=2Sn+1Sn，即证明aa+1=Sn+1Sn，由数列的通项公式和前n项和的关系得：aa+1=Sn+1Sn，(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1Snbn(3)a2k(1)2k1a2k1b2k1+a2k+1(1)2k2kb2k =(4k1+4k3)22k2+4k+1(4k1)22k1=2k4k，k=12nak+1(1)kakbk=k=1na2k(1)2k1a2k1b2k1+a2k+1(1)2ka2kb
23、2k =k=12n2k4k，设Tn=k=1n2k4k则Tn=24+442+643+2n4n， 4Tn=242+443+644+2n4n+1， ，得：3Tn=2(4+42+43+44+4n)2n4n+1 =24(14n)142n4n+1 =(26n)4n+183，Tn=(6n2)4n+1+89，k=12nak+1(1)kakbk=(6n2)4n+1+89【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1=b1=a2b2=a3b3=1，可得1+dq=1，1+2dq2=1，解得d，q，即可得出an(2)由等比数列的性质及通项公式与前n项和的关系结合分析法能证明(Sn+1+an+1
24、)bn=Sn+1bn+1Snbn；(3)先求出)a2k(1)2k1a2k1b2k1+a2k+1(1)2k2kb2k=2k4k，利用并项求和，结合错位相减法能求出结果本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题19.【答案】解：(1)|BF|AB|=aa2+b2=32，a2a2+b2=34，a2=3b2，a2=3(a2c2)，2a2=3c2，e=c2a2=23=63；(2)由(1)可知椭圆为x2a2+y2a23=1，即x2+3y2=a2，设直线l：y=kx+m，联立x2+3y2=a2，消去y可得：(3k2+1)x2+6kmx+(3m2
25、a2)=0，又直线l与椭圆只有一个公共点，=36k2m24(3k2+1)(3m2a)=0，3m2=a2(3k2+1)，又xM=3km3k2+1，yM=kxM+m=3k2m3k2+1+m=m3k2+1，又|OM|=|ON|，(3km3k2+1)2+(m3k2+1)2=m2，解得k2=13，k=33，又OMN的面积为12|ON|xM|=12|m|3km3k2+1|=3，123m22=3，m2=4，又k=33，3m2=a2(3k2+1)，a2=6，b2=2，椭圆的标准方程为x26+y22=1【解析】(1)根据|BF|AB|=32建立a，b的等式，再转化为a，c的等式，从而得离心率e的值；(2)先由(
26、1)将椭圆方程转化为x2+3y2=a2，再设直线l为y=kx+m，联立椭圆方程求出点M的坐标，再由=0及|OM|=|ON|，且OMN的面积为3建立方程组，再解方程组即可得解本题考椭圆的性质，直线与椭圆相切的位置关系，方程思想，属中档题20.【答案】解：(1)f(x)=exasinx，f(x)=exacosx，f(0)=1，f(0)=1a，函数y=f(x)在(0,1)处的切线方程为y=(1a)x+1；(2)()a=0，f(x)=ex，又y=f(x)和y=g(x)有公共点，方程f(x)=g(x)有解，即ex=bx有解，显然x0，b=exx在(0,+)上有解，设(x)=exx，(x0)，(x)=ex
27、(2x1)2xx，当x(0,12)时，(x)0，(x)在(0,12)上单调递减，在(12,+)上单调递增，(x)min=(12)=2e，且当x0时，(x)+；当x+时，(x)+，(x)2e,+)，b的范围为2e,+)；()证明：令交点的横坐标为x0，则ex0=asinx0+bx0，由柯西不等式可得e2x0=(asinx0+bx0)2(a2+b2)(sin2x0+x0) a2+b2e2x0sin2x0+x0，又易证x0时，xsinx，exex，exx+1，e2x0sin2x0+x0=ex0ex0sin2x0+x0ex0(x0+1)x02+x0=e，故a2+b2e【解析】(1)利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；(2)()将y=f(x)和y=g(x)有公共点转化为b=exx在(0,+)上有解，再构造函数(x)=exx，(x0)，接着利用导数求出(x)的值域，从而得b的取值范围；()令交点的横坐标为x0，则ex0=asinx0+bx0，再利用柯西不等式及结论：x0时，xsinx，exex，exx+1放缩即可证明本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，将方程有解转化为函数值域，柯西不等式，常见不等式的结论，属中档题13 / 16
