1、2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合A1，2，3，4，5，Bx|x2A，则AB（）A1B1，2C1，4D2（5分）已知z=2+i1+i，则z+z=（）A12B1C32D33（5分）已知向量a=（x+2，1+x），b=（x2，1x）若ab，则（）Ax22B|x|2Cx23D|x|34（5分）不等式1x2-2x-30的解集是（）A（1，0）（0，13）B（3，0）（0，1）C（，1）（13，+）D（，3）（1，+）5（5分）以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线的方程是（）Ay
2、2x-12By2x+12Cy22x1Dy22x+16（5分）底面积为2，侧面积为6的圆锥的体积是（）A8B83C2D437（5分）设x1和x2是函数f（x）x3+2ax2+x+1的两个极值点若x2x12，则a2（）A0B1C2D38（5分）已知函数f（x）sin（2x+）若f（3）f（-3）=12，则（）A2k+2（kZ）B2k+3（kZ）C2k-3（kZ）D2k-2（kZ）9（5分）函数y=21x（x0）的反函数是（）Ay=1log2x（x1）Bylog21x（x1）Cy=1log2x（0x1）Dylog21x（0x1）10（5分）设等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为Sn令bnSn
3、+2，若bn也是等比数列，则q（）A12B32C52D7211（5分）若双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线与直线y2x+1垂直，则C的离心率为（）A5B5C54D5212（5分）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除的概率是（）A928B13C514D25二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13（5分）曲线yxlnx在点（1，0）处的切线方程为 14（5分）已知O为坐标原点，点P在圆（x+1）2+y29上，则|OP|的最小值为 15（5分）若tan3，则tan2 16（5分）设函数f（x）ax（a0，且a1）是增函数
4、，若f(1)-f(-1)f(2)-f(-2)=310，则a 17（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA1=22，则异面直线AB1与BC1所成角的大小为 18（5分）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数若f（x）+g（x）2x，则g（2） 三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19（15分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA3sinB，C=3，c=7（1）求a；（2）求sinA20（15分）设an是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a6成等比数列（1）求an的通项公式；
5、（2）令bn（1）nan，求数列bn的前n项和Sn21（15分）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为23，乙赢的概率为13（1）求甲获胜的概率；（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望22（15分）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），直线y=233x交C于A，B两点，|AB|27，四边形AF1BF2的面积为43（1）求c；（2）求C的方程2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四
6、个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合A1，2，3，4，5，Bx|x2A，则AB（）A1B1，2C1，4D【解答】解：集合A1，2，3，4，5，Bx|x2A1，-2，-3，2，-5，1，2，3，2，5，则AB1，2，故选：B2（5分）已知z=2+i1+i，则z+z=（）A12B1C32D3【解答】解：z=2+i1+i=(2+i)(1-i)(1+i)(1-i)=32-12i，z+z=32-12i+32+12i=3故选：D3（5分）已知向量a=（x+2，1+x），b=（x2，1x）若ab，则（）Ax22B|x|2Cx23D|x|3【解答】解：ab，a=（x+2，1+x），b=（x2，
7、1x）（x+2）（1x）（1+x）（x2）0，2x2+40，x22故选：A4（5分）不等式1x2-2x-30的解集是（）A（1，0）（0，13）B（3，0）（0，1）C（，1）（13，+）D（，3）（1，+）【解答】解：不等式1x2-2x-30，即12x3x20，x0，即3x2+2x10，x0，解得x（，1）（13，+）故选：C5（5分）以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线的方程是（）Ay2x-12By2x+12Cy22x1Dy22x+1【解答】解：以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线中p1，所以顶点坐标为焦点与准线与x轴的交点的中点的横坐标为12，即该抛物线的方程为：y22（x-12）2
8、x1，故选：C6（5分）底面积为2，侧面积为6的圆锥的体积是（）A8B83C2D43【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意可得r2=2rl=6，解得r=2，l=32，圆锥的高h=l2-r2=(32)2-(2)2=4圆锥的体积是V=1324=83故选：B7（5分）设x1和x2是函数f（x）x3+2ax2+x+1的两个极值点若x2x12，则a2（）A0B1C2D3【解答】解：函数f（x）x3+2ax2+x+1，f（x）3x2+4ax+1，又x1和x2是函数f（x）x3+2ax2+x+1的两个极值点，则x1和x2是方程3x2+4ax+10的两根，故x1+x2=-4a3，x1x2=13，
9、又x2x12，则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x24，即16a29-43=4，则a23，故选：D8（5分）已知函数f（x）sin（2x+）若f（3）f（-3）=12，则（）A2k+2（kZ）B2k+3（kZ）C2k-3（kZ）D2k-2（kZ）【解答】解：函数f（x）sin（2x+），f（3）f（-3）=12，函数f（x）的一条对称轴为x0，即sin1或sinx1，故2k+2（kZ）或2k-2（kZ）sin（23+）sin（-23+）=12不妨k0时，=2时，不成立；当=-2时，成立，故2k-2（kZ），故选：D9（5分）函数y=21x（x0）的反函数是（）Ay=1log2x（x1
10、）Bylog21x（x1）Cy=1log2x（0x1）Dylog21x（0x1）【解答】解：由y=21x（x0）可得：1x=log2y，因为x0，所以1x0，则y1，所以原函数的反函数为y=1log2x（x1）故选：A10（5分）设等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为Sn令bnSn+2，若bn也是等比数列，则q（）A12B32C52D72【解答】解：由题意可知，a11，a2q，a3=q2，bnSn+2，若bn也是等比数列，b22=b1b3，即（3+q）（1+2）（3+q+q2），即2q23q0，解得q=32或q0（舍去）故选：B11（5分）若双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0
11、）的一条渐近线与直线y2x+1垂直，则C的离心率为（）A5B5C54D52【解答】解：由双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的方程可得渐近线方程为ybax，由题意可得ba=12，所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+14=52，故选：D12（5分）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除的概率是（）A928B13C514D25【解答】在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，基本事件总数n=C93=84，1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，若要使选取的三个数字和能被3整除，则需要从每一组中选取
12、一个数字，或者从一组中选取三个数字，这3个数的和能被3整除的不同情况有：C31C31C31+C31C33=30，这3个数的和能被3整除的概率为P=3084=514故选：C二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13（5分）曲线yxlnx在点（1，0）处的切线方程为xy10【解答】解：由f（x）xlnx，得y=lnx+x1x=lnx+1，f（1）ln1+11，即曲线f（x）xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）xlnx在点（1，0）处的切线方程为y01（x1），整理得：xy10故答案为：xy1014（5分）已知O为坐标原点，点P在圆（x+1）2+y29上，则|OP|的最
13、小值为 2【解答】解：如图，令x+13cos，y3sin，得x3cos1，y3sin，即P（3cos1，3sin），|OP|=(3cos-1)2+(3sin)2=10-6cos，则当cos1时，|OP|有最小值为2故答案为：215（5分）若tan3，则tan2-34【解答】解：由tan3，得tan2=2tan1-tan2=231-32=-34故答案为：-3416（5分）设函数f（x）ax（a0，且a1）是增函数，若f(1)-f(-1)f(2)-f(-2)=310，则a3【解答】解：函数f（x）ax（a0，且a1），f(1)-f(-1)f(2)-f(-2)=a-a-1a2-a-2=1a+a-1=
14、310，3a210a+30，a3或a=13，函数f（x）ax（a0，且a1）是增函数，a3，故答案为：317（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA1=22，则异面直线AB1与BC1所成角的大小为 90【解答】解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1，两两垂直，建立空间直角坐标系则A（32，0，0），B（0，12，0），B1（0，12，22），C1（0，-12，22）AB1=（-32，12，22），BC1=（0，1，22），cosAB1，BC1=0，异面直线AB1与BC1所成角的大小为90故答案为：9018（5分）设f（x）是定义域为
15、R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数若f（x）+g（x）2x，则g（2）178【解答】解：由f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（2）f（2）；由g（x）是定义域为R的偶函数，可得g（2）g（2）若f（x）+g（x）2x，则f（2）+g（2）4，又f（2）+g（2）f（2）+g（2）=14+可得2g（2）=174，即有g（2）=178故答案为：178三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19（15分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA3sinB，C=3，c=7（1）求a；（2）求sinA【解答】解：（1）sinA
16、3sinB，由正弦定理可得，a3b，由余弦定理可得，c2a2+b22abcosC，即79b2+b23b2，解得b1，a3（2）a3，C=3，c=7，sinA=asinCc=3327=3211420（15分）设an是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）令bn（1）nan，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）已知an是首项为1，公差d不为0的等差数列，又a1，a2，a6成等比数列，则（1+d）21+5d，即d23d0，又d0，即d3，则an1+3（n1）3n2；（2）由（1）可得：bn=(-1)n(3n-2)，则b2k-1+b2k=(-1
17、)2k-1(6k-5)+（1）2k（6k2）3，则当n为偶数时，Sn=3n2=3n2，当n为奇数时，SnSn1+bn=3(n-1)2-(3n-2)=1-3n2，即Sn=3n2，n为偶数1-3n2，n为奇数21（15分）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为23，乙赢的概率为13（1）求甲获胜的概率；（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望【解答】解：（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为P1=(23)3=827，比赛四局且甲获胜的概率为P2=C32(23)2(1-23)23=827
18、，比赛五局且甲获胜的概率为P3=C42(23)2(1-23)223=1681，所以甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=827+827+1681=6481（2）随机变量X的取值为3，4，5，则P(X=3)=(23)3+(13)3=13，P(X=4)=C32(23)21323+C32(13)22313=827+227=1027，P(X=5)=C42(23)2(13)2=827，所以随机变量X的分布列为：X345p（X）13 1027 827 则随机变量X的数学期望为E(X)=313+41027+5827=1072722（15分）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），直线y=233x交C于A，B两点，|AB|27，四边形AF1BF2的面积为43（1）求c；（2）求C的方程【解答】解：（1）由对称性知，|OA|=12|AB|=7，不妨取点A在第一象限，设A（x，y），则y=233x|OA|=x2+y2=7，解得x=3，y2，因为四边形AF1BF2的面积为43，所以212y|F1F2|22c43，所以c=3（2）设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（ab0），由（1）知，A（3，2），代入椭圆方程有3a2+4b2=1，又c=3=a2-b2，所以a29，b26，故椭圆C的方程为x29+y26=1第12页（共12页）
