1、2016-2022高考真题 不等式选讲 解答题全集 （学生版 解析版）一解答题（共22小题）1（2022乙卷）已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：（1）abc19；（2）ab+c+ba+c+ca+b12abc2（2022甲卷）已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c23，证明：（1）a+b+2c3；（2）若b2c，则1a+1c33（2021乙卷）已知函数f（x）|xa|+|x+3|（1）当a1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a，求a的取值范围4（2020江苏）设xR，解不等式2|x+1|+|x|45（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1
2、（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，证明：maxa，b，c346（2020新课标）已知函数f（x）|3x+1|2|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）求不等式f（x）f（x+1）的解集7（2020新课标）已知函数f（x）|xa2|+|x2a+1|（1）当a2时，求不等式f（x）4的解集；（2）若f（x）4，求a的取值范围8（2020新课标）设数列an满足a13，an+13an4n（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn9（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1（1）证明：ab+bc+c
3、a0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c中的最大值，证明：maxa，b，c3410（2019江苏）设xR，解不等式|x|+|2x1|211（2019新课标）设x，y，zR，且x+y+z1（1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x2）2+（y1）2+（za）213成立，证明：a3或a112（2019新课标）已知f（x）|xa|x+|x2|（xa）（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）当x（，1）时，f（x）0，求a的取值范围13（2019新课标）已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）1a+1b+1ca2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）
4、3+（c+a）32414（2018北京）设n为正整数，集合A|（t1，t2，tn），tk0，1，k1，2，n，对于集合A中的任意元素（x1，x2，xn）和（y1，y2，yn），记M（，）=12（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+yn|xnyn|）（）当n3时，若（1，1，0），（0，1，1），求M（，）和M（，）的值；（）当n4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当，相同时，M（，）是奇数；当，不同时，M（，）是偶数求集合B中元素个数的最大值；（）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（，）0，写出一个集合B，使其元素
5、个数最多，并说明理由15（2018新课标）已知f（x）|x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围16（2018新课标）设函数f（x）5|x+a|x2|（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围17（2017新课标）已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围18（2017新课标）已知a0，b0，a3+b32证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b21
6、9（2017新课标）已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围20（2016新课标）已知函数f（x）|2xa|+a（1）当a2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求a的取值范围21（2016江苏）设a0，|x1|a3，|y2|a3，求证：|2x+y4|a22（2016新课标）已知函数f（x）|x-12|+|x+12|，M为不等式f（x）2的解集（）求M；（）证明：当a，bM时，|a+b|1+ab|2016-2022高考真题 不等式选讲 解答题全集 （学生版
7、解析版）参考答案与试题解析一解答题（共22小题）1（2022乙卷）已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：（1）abc19；（2）ab+c+ba+c+ca+b12abc【解答】解：（1）证明：a，b，c都是正数，a32+b32+c323abc=3(a+b)12，当且仅当abc=3-23时，等号成立因为a32+b32+c32=1，所以13（abc）12，所以13（abc）12，所以abc19，得证（2）根据基本不等式b+c2bc，a+c2ac，a+b2ab，ab+c+ba+c+ca+ba2bc+b2ac+c2ab=a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32
8、+c322abc=12abc，当且仅当abc时等号成立，故得证2（2022甲卷）已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c23，证明：（1）a+b+2c3；（2）若b2c，则1a+1c3【解答】证明：（1）a，b，c均为正数，且a2+b2+4c23，由柯西不等式知，（a2+b2+4c2）（12+12+12）（a+b+2c）2，即33（a+b+2c）2，a+b+2c3；当且仅当ab2c，即ab1，c=12时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c3且b2c，故0a+4c3，则1a+4c13，由权方和不等式可知，1a+1c=12a+224c9a+4c3，当且仅当1a=24c，即a1，c=12时取等号
9、，故1a+1c33（2021乙卷）已知函数f（x）|xa|+|x+3|（1）当a1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x1|+|x+3|=-2x-2，x-34，-3x12x+2，x1，f（x）6，x-3-2x-26或-3x146或x12x+26，x4或x2，不等式的解集为（，42，+）（2）f（x）|xa|+|x+3|xax3|a+3|，若f（x）a，则|a+3|a，当a0时，不等式恒成立；当a0时，a0，不等式|a+3|a两边平方可得a2+6a+9a2，解得-32a0，综上可得，a的取值范围是（-32，+）4（2020江苏）设
10、xR，解不等式2|x+1|+|x|4【解答】解：2|x+1|+|x|=3x+2，x0x+2，-1x0-3x-2，x-12|x+1|+|x|4，3x+24x0或x+24-1x0或-3x-24x-1，0x23或1x0或2x1，2x23，不等式的解集为x|2x235（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，证明：maxa，b，c34【解答】证明：（1）a+b+c0，（a+b+c）20，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc0，2ab+2ac+2bc（a2+b2+c2），abc1，a，b，c均不为0，2ab
11、+2ac+2bc（a2+b2+c2）0，ab+ac+bc0；（2）不妨设ab0c34，则ab=1c134，a+b+c0，abc34，而ab2ab264=412416=413=34，与假设矛盾，故maxa，b，c346（2020新课标）已知函数f（x）|3x+1|2|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）求不等式f（x）f（x+1）的解集【解答】解：函数f（x）|3x+1|2|x1|=x+3，(x1)5x-1，(-13x1)-x-3，(x-13)，图象如图所示（2）由于f（x+1）的图象是函数f（x）的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线y5x1向左平移一个单位后表示为y5（x+1）1
12、5x+4，联立y=-x-3y=5x+4，解得横坐标为x=-76，不等式f（x）f（x+1）的解集为x|x-767（2020新课标）已知函数f（x）|xa2|+|x2a+1|（1）当a2时，求不等式f（x）4的解集；（2）若f（x）4，求a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）|x4|+|x3|=-2x+7，x31，3x42x-7，x4，当x3时，不等式f（x）4化为2x+74，即x32，x32；当3x4时，不等式f（x）4化为14，此时x；当x4时，不等式f（x）4化为2x74，即x112，x112综上，当a2时，不等式f（x）4的解集为x|x32或x112；（2）f（x）|xa2|+
13、|x2a+1|xa2（x2a+1）|（a1）2|（a1）2又f（x）4，（a1）24，得a12或a12，解得：a1或a3综上，若f（x）4，则a的取值范围是（，13，+）8（2020新课标）设数列an满足a13，an+13an4n（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【解答】解：（1）法一：数列an满足a13，an+13an4n，则a23a145，a33a2427，猜想an的通项公式为an2n+1证明如下：（i）当n1，2，3时，显然成立，（ii）假设nk时，ak2k+1（kN+）成立，当nk+1时，ak+13ak4k3（2k+1）4k2k+32
14、（k+1）+1，故nk+1时成立，由（i）（ii）知，an2n+1，猜想成立，所以an的通项公式an2n+1法二：数列an满足a13，an+13an4n，则a23a145，a33a2427，猜想an的通项公式为an2n+1证明：设an+1+（n+1）+3（an+n+），可得an+13an+2n+2，2=-42-=0，解得=-2=-1，an+12（n+1）13（an2n1），（不能说明an2n1是等比数列）a13，a12110，并且a22210，所以an2n+1恒成立所以an2n+1（2）令bn2nan（2n+1）2n，则数列2nan的前n项和Sn321+522+（2n+1）2n，两边同乘2得，
15、2Sn322+523+（2n+1）2n+1，得，Sn32+222+22n（2n+1）2n+16+8(1-2n-1)1-2-（2n+1）2n+1，所以Sn（2n1）2n+1+29（2020新课标）设a，b，cR，a+b+c0，abc1（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用maxa，b，c表示a，b，c中的最大值，证明：maxa，b，c34【解答】证明：（1）a+b+c0，（a+b+c）20，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc0，2ab+2ac+2bc（a2+b2+c2），abc1，a，b，c均不为0，2ab+2ac+2bc（a2+b2+c2）0，ab+ac+bc0；（2）不妨设ab0c3
16、4，则ab=1c134，a+b+c0，abc34，而ab2ab264=412416=413=34，与假设矛盾，故maxa，b，c3410（2019江苏）设xR，解不等式|x|+|2x1|2【解答】解：|x|+|2x1|=3x-1，x12-x+1，0x12-3x+1，x0，|x|+|2x1|2，3x-12x12或-x+120x12或-3x+12x0，x1或x或x-13，不等式的解集为x|x-13或x111（2019新课标）设x，y，zR，且x+y+z1（1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x2）2+（y1）2+（za）213成立，证明：a3或a1【解答】解：（1）x，
17、y，zR，且x+y+z1，由柯西不等式可得（12+12+12）（x1）2+（y+1）2+（z+1）2（x1+y+1+z+1）24，可得（x1）2+（y+1）2+（z+1）243，当且仅当x1y+1z+1，即x=53，yz=-13时取得等号，即有（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为43；（2）证明：由x+y+z1，柯西不等式可得（12+12+12）（x2）2+（y1）2+（za）2（x2+y1+za）2（a+2）2，可得（x2）2+（y1）2+（za）2(a+2)23，即x2y1za时取得等号，即有（x2）2+（y1）2+（za）2的最小值为(a+2)23，由题意可得(a+2)231
18、3，解得a1或a312（2019新课标）已知f（x）|xa|x+|x2|（xa）（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）当x（，1）时，f（x）0，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x1|x+|x2|（x1），f（x）0，当x1时，f（x）2（x1）20，恒成立，x1；当x1时，f（x）（x1）（x+|x2|）0恒成立，x；综上，不等式的解集为（，1）；（2）当a1时，f（x）2（ax）（x1）0在x（，1）上恒成立；当a1时，x（a，1），f（x）2（xa）0，不满足题意，a的取值范围为：1，+）13（2019新课标）已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）
19、1a+1b+1ca2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc1要证（1）1a+1b+1ca2+b2+c2；因为abc1就要证：abca+abcb+abcca2+b2+c2；即证：bc+ac+aba2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0（ab）2+（ac）2+（bc）20；a，b，c为正数，且满足abc1（ab）20；（ac）20；（bc）20恒成立；当且仅当：abc1时取等号即（ab）2+（ac）2+（bc）20得证故1a+1b+1ca2+
20、b2+c2得证（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）；当且仅当（a+b）（b+c）（c+a）时取等号；即：abc1时取等号；a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）2ab；（b+c）2bc；（c+a）2ac；当且仅当ab，bc；ca时取等号；即：abc1时取等号；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）38abbcac=24abc24；当且仅当abc1时取等号；故（a+b）3+
21、（b+c）3+（c+a）324得证故得证14（2018北京）设n为正整数，集合A|（t1，t2，tn），tk0，1，k1，2，n，对于集合A中的任意元素（x1，x2，xn）和（y1，y2，yn），记M（，）=12（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+yn|xnyn|）（）当n3时，若（1，1，0），（0，1，1），求M（，）和M（，）的值；（）当n4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当，相同时，M（，）是奇数；当，不同时，M（，）是偶数求集合B中元素个数的最大值；（）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（，）0，写出
22、一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由【解答】解：（I ） M（，）1+1+02，M（，）0+1+01（II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的xk+yk-|xk-yk|2分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），对于任意两个只有1个1的元素，都满足M（，）是偶数，所以四元集合B（1，0，0，0）、（0，1
23、，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）满足 题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素，则互补元素中含有1个1的元素与之满足M（，）1不合题意，故B中元素个数的最大值为4（） B（0，0，0，0），（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，10），（0，0，0，1），此时B中有n+1个元素，下证其为最大对于任意两个不同的元素，满足M（，）0，则，中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于（0，0，0，0）与任意元素都有M（，）0，所以除（0，0，0，0）外至少有n+1个元素含有1，根据元素
24、的互异性，至少存在一对，满足xiyil，此时M（，）1不满足题意，故B中最多有n+1个元素15（2018新课标）已知f（x）|x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x+1|x1|=2，x12x，-1x1-2，x-1，由f（x）1，2x1-1x1或21x1，解得x12，故不等式f（x）1的解集为（12，+），（2）当x（0，1）时不等式f（x）x成立，|x+1|ax1|x0，即x+1|ax1|x0，即|ax1|1，1ax11，0ax2，x（0，1），a0，0x2a，a2x2x2，0
25、a2，故a的取值范围为（0，216（2018新课标）设函数f（x）5|x+a|x2|（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）5|x+1|x2|=2x+4，x-12，-1x2-2x+6，x2当x1时，f（x）2x+40，解得2x1，当1x2时，f（x）20恒成立，即1x2，当x2时，f（x）2x+60，解得2x3，综上所述不等式f（x）0的解集为2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|，|a+2|4，解得a6或a2，故a的取值范围（，
26、62，+）17（2017新课标）已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，g（x）|x+1|+|x1|=2x，x12，-1x1-2x，x-1，当x（1，+）时，令x2+x+42x，解得x=17-12，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，17-12；当x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2当x（，1）时，g（x）单调
27、递减，f（x）单调递增，且g（1）f（1）2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，17-12；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需12-a1-20(-1)2-a(-1)-20，解得1a1，故a的取值范围是1，118（2017新课标）已知a0，b0，a3+b32证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（aa5+bb5）2（a3+b3）24，当且仅当ab5=ba5，即ab1时取等号，（2）a3+b32，（a+b）（a2ab+b2）2，（a+b）（a+b）23ab2，（a+b）3
28、3ab（a+b）2，(a+b)3-23(a+b)=ab，由均值不等式可得：(a+b)3-23(a+b)=ab（a+b2）2，（a+b）323(a+b)34，14（a+b）32，a+b2，当且仅当ab1时等号成立19（2017新课标）已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围【解答】解：（1）f（x）|x+1|x2|=-3，x-12x-1，-1x23，x2，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成
29、立，即mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）x2+x由（1）知，g（x）=-x2+x-3，x-1-x2+3x-1，-1x2-x2+x+3，x2，当x1时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x=12-1，g（x）g（1）1135；当1x2时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x=32（1，2），g（x）g（32）=-94+92-1=54；当x2时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=122，g（x）g（2）4+2+31；综上，g（x）max=54，m的取值范围为（，5420（2016新课标）已知函数f（x）|2xa|+a（1）当a2时，求不等式f（x）6
30、的解集；（2）设函数g（x）|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式f（x）6的解集为x|1x3（2）g（x）|2x1|，f（x）+g（x）|2x1|+|2xa|+a3，2|x-12|+2|x-a2|+a3，|x-12|+|x-a2|3-a2，当a3时，成立，当a3时，|x-12|+|x-a2|12|a1|3-a20，（a1）2（3a）2，解得2a3，a的取值范围是2，+）21（2016江苏）设a0，|x1|a3，|y2|a3，求证：|2x+
31、y4|a【解答】证明：由a0，|x1|a3，|y2|a3，根据绝对值不等式的性质，可得|2x+y4|2（x1）+（y2）|2|x1|+|y2|2a3+a3=a，则|2x+y4|a成立22（2016新课标）已知函数f（x）|x-12|+|x+12|，M为不等式f（x）2的解集（）求M；（）证明：当a，bM时，|a+b|1+ab|【解答】解：（I）当x-12时，不等式f（x）2可化为：12-xx-122，解得：x1，1x-12，当-12x12时，不等式f（x）2可化为：12-x+x+12=12，此时不等式恒成立，-12x12，当x12时，不等式f（x）2可化为：-12+x+x+122，解得：x1，12x1，综上可得：M（1，1）；证明：（）当a，bM时，（a21）（b21）0，即a2b2+1a2+b2，即a2b2+1+2aba2+b2+2ab，即（ab+1）2（a+b）2，即|a+b|1+ab|第17页（共17页）
