1、2018-2022高考真题 立体几何 解答题全集 （学生版 解析版）一解答题（共60小题）1（2022天津）直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，AA1AB，ACAB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值2（2022上海）如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O为AC边中点，且PO底面ABC，APAC2（1）求三棱锥体积VPABC；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小3（2022浙江）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，ABDC，DCEF，AB5，
2、DC3，EF1，BADCDE60，二面角FDCB的平面角为60设M，N分别为AE，BC的中点（）证明：FNAD；（）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值4（2022甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直（1）证明：EF平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）5（2022甲卷）在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP=3（1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值6
3、（2022北京）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，ABBC2，M，N分别为A1B1，AC的中点（）求证：MN平面BCC1B1；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分7（2022新高考）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点（1）证明：OE平面PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角CAEB的正弦值8（2022乙卷）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBB
4、DC，E为AC的中点（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积9（2022新高考）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值10（2022乙卷）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值11（2022上海）
5、如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1（1）若AA14，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积12（2021天津）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点（1）求证：D1F平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角AA1C1E的正弦值13（2021新高考）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQA=5，QC3（）求证：平面QAD平面ABCD；（）求二面角BQD
6、A的平面角的余弦值14（2021上海）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABBC2，AA13（1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥CPAD的体积；（2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小15（2021北京）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1D1的中点，B1C1交平面CDE交于点F（）求证：F为B1C1的中点；（）若点M是棱A1B1上一点，且二面角MFCE的余弦值为53，求A1MA1B1的值16（2021甲卷）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，BFA1B1（1）求三棱锥FEBC的体积；（2）已
7、知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE17（2021乙卷）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC中点，且PBAM（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值18（2021浙江）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PA=15，M，N分别为BC，PC的中点，PDDC，PMMD（）证明：ABPM；（）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值19（2021甲卷）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1（1）证明：BFDE；（2
8、）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20（2021乙卷）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若PDDC1，求四棱锥PABCD的体积21（2021新高考）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积22（2021上海）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD（1）若PAB为等
9、边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的大小23（2020海南）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值24（2020上海）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转2至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角25（2020天津）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC
10、，ACBC，ACBC2，CC13，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD1，CE2，M为棱A1B1的中点（）求证：C1MB1D；（）求二面角BB1ED的正弦值；（）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值26（2020北京）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点（）求证：BC1平面AD1E；（）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值27（2020山东）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值28（2020江苏）在三棱锥AB
11、CD中，已知CBCD=5，BD2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO2，E为AC中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角FDEC的大小为，求sin的值29（2020浙江）如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC（）证明：EFDB；（）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值30（2020江苏）在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点（1）求证：EF平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C平面ABB131（2020新课标）如图，在长方体ABCDA1B1C1D
12、1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点C1在平面AEF内32（2020新课标）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值33（2020新课标）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90（1）证明：平面PAB平面PAC；（2）设DO=2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥PABC的体积34（2020新课标）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1
13、的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F（1）证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPN=3，求四棱锥BEB1C1F的体积35（2020新课标）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值36（2020新课标）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB
14、1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F（1）证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值37（2020上海）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD平面ABCD（1）若PC5，求四棱锥PABCD的体积；（2）若直线AD与BP的夹角为60，求PD的长38（2019天津）如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2（）求证：BF平面ADE；（）求直线CE与平面BDE所
15、成角的正弦值；（）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长39（2019上海）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM2，CD3，AD4，AA15（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离40（2019新课标）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值41（2019新课标）图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合
16、，连结DG，如图2（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积42（2019新课标）图1是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图2中的二面角BCGA的大小43（2019天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3（）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH平面P
17、AD；（）求证：PA平面PCD；（）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值44（2019新课标）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离45（2019浙江）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点（）证明：EFBC；（）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值46（2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2
18、，BC3E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且PGPB=23判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由47（2019江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E48（2019新课标）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积49（2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面
19、ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由50（2019新课标）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值51（2019上海）如图，在正三棱锥PABC中，PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=3（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求PABC的体积52（2018新课标）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，P
20、APBPCAC4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离53（2018新课标）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值54（2018新课标）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由55（2018新课标）如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM
21、90，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ=23DA，求三棱锥QABP的体积56（2018新课标）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值57（2018新课标）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面
22、角的正弦值58（2018浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值59（2018上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO4，OA、OB是底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小60（2018北京）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC=5，A
23、CAA12（）求证：AC平面BEF；（）求二面角BCDC1的余弦值；（）证明：直线FG与平面BCD相交2018-2022高考真题 立体几何 解答题全集 （学生版 解析版）参考答案与试题解析一解答题（共60小题）1（2022天津）直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，AA1AB，ACAB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值【解答】解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，再连接FK，EKA1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点，
24、FKAC，EGAB，又FK平面ABC，AC平面ABC，FK平面ABC，同理可得，EG平面ABC，又FKEGK，平面EFG平面ABC，EF平面ABC，（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，则可建立如图所示的空间直角坐标系，、又AA1ABAC2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点故B（2，2，0），E（1，0，0），C（2，0，2），C1（0，0，2），D（0，1，0），则BE=（1，2，0），CC1=（2，0，0），CD=（2，1，2），设n=（x，y，z）是平面CC1D的法向量，则有：nCC1=0，nCD=0，即-2x=0-2x+y-2z=0，令z1，则x0，y2，所以n
25、=(0，2，1)，设直线BE与平面CC1D的夹角为，则sin|cosBE，n|-2255|=45，（3）A1（0，0，0），则A1C=（2，0，2），A1D=（0，1，0），设平面A1CD的法向量为m=（x，y，z），则有mA1C=0，mA1D=0，即2x+2z=0y=0，令x1，则y0，z1，故m=(1，0，-1)，设平面A1CD与平面CC1D的夹角为，所以cos|cosn，m|-1152|=10102（2022上海）如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O为AC边中点，且PO底面ABC，APAC2（1）求三棱锥体积VPABC；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小【解答】解：（1）在
26、三棱锥PABC中，因为PO底面ABC，所以POAC，又O为AC边中点，所以PAC为等腰三角形，又APAC2所以PAC是边长为2的为等边三角形，PO=3，三棱锥体积VPABC=13SABCPO=1334223=1，（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，3），B（3，0，0），C（0，1，0），M（32，12，0），PM=（32，12，-3），平面PAC的法向量OB=（3，0，0），设直线PM与平面PAC所成角为，则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin|PMOB|PM|OB|=3232=34，所以PM与面PAC所成角大小为arcsin34
27、3（2022浙江）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，ABDC，DCEF，AB5，DC3，EF1，BADCDE60，二面角FDCB的平面角为60设M，N分别为AE，BC的中点（）证明：FNAD；（）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值【解答】证明：（I）由于CDCB，CDCF，平面ABCD平面CDEFCD，CF平面CDEF，CB平面ABCD，所以FCB为二面角FDCB的平面角，则FCB60，CD平面CBF，则CDFN又CF=3(CD-EF)=23，CB=3(AB-CD)=23，则BCF是等边三角形，则CBFN，因为DCFC，DCBC，FCBCC，FC平面FCB，BC平面FCB，所以DC平
28、面FCB，因为FN平面FCB，所以DCFN，又因为DCCBC，DC平面ABCD，CB平面ABCD，所以FN平面ABCD，因为AD平面ABCD，故FNAD；解：（）由于FN平面ABCD，如图建系：于是B(0，3，0)，A(5，3，0)，F(0，0，3)，E(1，0，3)，D(3，-3，0)，则M(3，32，32)，BM=(3，-32，32)，DA=(2，23，0)，DE=(-2，3，3)，设平面ADE的法向量n=（x，y，z），则nDA=0nDE=0，2x+23y=0-2x+3y+3z=0，令x=3，则y1，z=3，平面ADE的法向量n=(3，-1，3)，设BM与平面ADE所成角为，则sin=|
29、BMn|BM|n|=57144（2022甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直（1）证明：EF平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EEAB于点E，做FFBC于点F，由于底面为正方形，ABE，BCF均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即EEFF，由面面垂直的性质可知EE，FF均与底面垂直，则EEFF，四边形EEFF为平行四边形，则EFEF，由于EF不在平面ABC
30、D内，EF在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF平面ABCD（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高AA1=EE=43，长方体的体积V1=8843=2563cm3，一个三棱锥的体积V2=13(1244)43=3233cm3，则包装盒的容积为V=V1-4V2=2563-43233=64033cm35（2022甲卷）在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP=3（1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值【解答】解：（1）证明：PD底面ABCD，BD面ABCD，PDBD，取AB中点E，连接DE，ADD
31、CCB1，AB2，DAB60，又AE=12ABAD1，DE1，DE=12AB，ABD为直角三角形，且AB为斜边，BDAD，又PDADD，PD面PAD，AD面PAD，BD面PAD，又PA面PAD，BDPA；（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，BD=AB2-AD2=3，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，3)，PD=(0，0，-3)，PA=(1，0，-3)，AB=(-1，3，0)，设平面PAB的一个法向量为n=(x，y，z)，则nPA=x-3z=0nAB=-x+3y=0，则可取n=(3，1，1)，设PD与平面PAB所成的角
32、为，则sin=|cosPD，n|=|PDn|PD|n|=55，PD与平面PAB所成的角的正弦值为556（2022北京）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，ABBC2，M，N分别为A1B1，AC的中点（）求证：MN平面BCC1B1；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：（I）证明：取AB中点K，连接NK，MK，M为A1B1的中点B1MBK，且B1MBK，四边形BKMB1是平行四边形，故MKBB1，MK平
33、面BCC1B1；BB1平面BCC1B1，MK平面BCC1B1，K是AB中点，N是AC的点，NKBC，NK平面BCC1B1；BC平面BCC1B1，NK平面BCC1B1，又NKMKK，平面NMK平面BCC1B1，又MN平面NMK，MN平面BCC1B1；（II）侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，平面BCC1B1平面ABB1A1BB1，CB平面ABB1A1，CBAB，又NKBC，ABNK，若选：ABMN；又MNNKN，AB平面MNK，又MK平面MNK，ABMK，又MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直，若选：CB平面ABB1A1，NKBC，NK平面ABB1A1，K
34、M平面ABB1A1，MKNK，又BMMN，NK=12BC，BK=12AB，BKMNKM，BKMNKM90，ABMK，又MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），N（1，1，0），M（0，1，2），A（0，2，0），BM=（0，1，2），BN=（1，1，0），设平面BMN的一个法向量为n=（x，y，z），则nBM=y+2z=0nBN=x+y=0，令z1，则y2，x2，平面BMN的一个法向量为n=（2，2，1），又BA=（0，2，0），设直线AB与平面BMN所成角为，sin|cosn，BA|=|n
35、BA|n|BA|=44+4+12=23直线AB与平面BMN所成角的正弦值为237（2022新高考）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点（1）证明：OE平面PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角CAEB的正弦值【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP平面ABC，又OA平面ABC，OB平面ABC，则OPOA，OPOB，POAPOB90，又PAPB，OPOP，则POAPOB，OAOB，延长BO交AC于点F，又ABAC，则在RtABF中，O为BF中点，连接PF，在PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OEPF，OE平面PAC，PF平面P
36、AC，OE平面PAC；（2）过点A作AMOP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO3，PA5，由（1）知OAOB4，又ABOCBO30，则AB=43，P(23，2，3)，B(43，0，0)，A(0，0，0)，E(33，1，32)，又ACABtan6012，即C（0，12，0），设平面AEB的一个法向量为n=(x，y，z)，又AB=(43，0，0)，AE=(33，1，32)，则nAB=43x=0nAE=33x+y+32z=0，则可取n=(0，3，-2)，设平面AEC的一个法向量为m=(a，b，c)，又AC=(0，12，0)，AE=(33，1，32)，则m
37、AC=12b=0mAE=33a+b+32c=0，则可取m=(-3，0，6)，设锐二面角CAEB的平面角为，则cos=|cosm，n|=|mn|m|n|=4313，sin=1-cos2=1113，即二面角CAEB正弦值为11138（2022乙卷）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积【解答】证明：（1）ADCD，ADBBDC，BDBD，ADBCDB，ABBC，又E为AC的中点ACBE，ADCD，E为AC的中点ACDE，又BEDEE，AC平面
38、BED，又AC平面ACD，平面BED平面ACD；解：（2）由（1）可知ABBC，ABBC2，ACB60，ABC是等边三角形，边长为2，BE=3，AC2，ADCD=2，DE1，DE2+BE2BD2，DEBE，又DEAC，ACBEE，DE平面ABC，由（1）知ADBCDB，AFCF，连接EF，则EFAC，SAFC=12ACEF=EF，当EFBD时，EF最短，此时AFC的面积最小，过点F作FGBE于点G，则FGDE，FG平面ABC，EF=DEBEBD=32，BF=BE2-EF2=32，FG=EFBFBE=34，三棱锥FABC的体积V=13SABCFG=13342234=349（2022新高考）如图，
39、直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值【解答】解：（1）由直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，可得VA1-ABC=13VA1B1C1-ABC=43，设A到平面A1BC的距离为d，由VA1-ABC=VA-A1BC，13SA1BCd=43，1322d=43，解得d=2（2）连接AB1交A1B于点E，AA1AB，四边形为正方形，AB1A1B，又平面A1BC平面ABB1A1，平面A1BC平面ABB1A1A1B，AB1平面A1BC，AB1BC，由直三棱柱ABC
40、A1B1C1知BB1平面ABC，BB1BC，又AB1BB1B1，BC平面ABB1A1，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，AA1AB，BC2AB12=22，又12ABBCAA14，解得ABBCAA12，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则BA=（0，2，0），BD=（1，1，1），BC=（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），则nBA=2y=0nBD=x+y+z=0，令x1，则y0，z1，平面ABD的一个法向量为n=（1，0，1），设平面BCD的一个法向量为m
41、=（a，b，c），mBC=2a=0mBD=a+b+c=0，令b1，则a0，c1，平面BCD的一个法向量为m=（0，1，1），cosn，m=122=12，二面角ABDC的正弦值为1-(12)2=3210（2022乙卷）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值【解答】（1）证明：ADCD，E为AC的中点DEAC，又ADCD，ADBBDC，BDBD，ABDCBD，ABBC，又E为AC的中点EBAC，又BEDEE，BE平面BED，DE平面BED，AC平面BED，又AC平面ACD，平面BED平面ACD；（2）解：连接EF，由（1）知ACEF，SAFC=12ACEF，故EF最小时，AFC的面积最小，EFBD时，AFC的面积最小，又AC平面BED，BD平面BED，ACBD，又ACEFE，AC平面AFC，EF平面AFC，BD平面AFC，又BD平面ABD，
