1、第十三章第十三章 概率与统计概率与统计 节古典概型节古典概型课前自主学案课前自主学案 1.基本事件一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.2.古典的概率模型的定义我们把具有：试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；每一个试验结果出现的可能性相等.两个特点的概率模型称为古典的概率模型(简称古典概型).3.古典概型的概率计算公式如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A发生的概率为 P(A)=A包含的基本事件个数/总的基本事件个数=m/n基础自测基础自测 1.
2、(2009年临沂模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5解析：总的可能有22=4种，甲、乙将贺年卡送给同一人的可能有2种，所以概率为2/4=1/2.答案：A2.(2009年温州测试)一个袋子有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()A.1/5 B.3/10 C.2/5 D.1/2解析：设3个黑球为A1、A2、A3，2个红球为B1、B2，则总的可能为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1
3、)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种，其中同色球的可能有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)共4种，所以概率为4/10=2/5.答案：C3.(2009年甘肃)福娃是北京2008的第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”这五个福娃组成.甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为()解析：解析：总的选法为(贝，晶)，(贝，欢)，(贝，迎)，(贝，妮)，(晶，贝)，(晶
4、，欢)，(晶，迎)，(晶，妮)，(欢，贝)，(欢，晶)，(欢，迎)，(欢，妮)，(迎，贝)，(迎，晶)，(迎，欢)，(迎，妮)，(妮，贝)，(妮，晶)，(妮，欢)，(妮，迎)共20种，其中“贝”和“晶”恰好只有一个被选中的可能有12种，所以概率为12/20=3/5 答案：C4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是 _解析：解析：基本事件的总数为66=36个，记事件A=点P(m，n)落在圆x2+y2=16内，则A所包含的基本事件为(1，1)，(2，2)，(1，3)，(1，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(2，1)，共8个，P=8/
5、36=2/9答案：答案：2/9课堂互动探究课堂互动探究 基本事件的概念 做抛掷两颗骰子的试验：用(x,y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示的第二颗骰子出现的点数，写出(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和大于10”.分析：抛掷两颗骰子的试验，每次只有一种结果；且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型，当试验结果较少时可用列举法将所有结果一一列出.解析：(1)这个试验的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(
6、2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).(
7、4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6).变式探究变式探究 1.把一颗骰子抛1次，设正面出现的点数为x.(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件).(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)：x的取值是2的倍数(记为事件A)；x的取值大于3(记为事件B)；x的取值不超过2(记为事件C)；x的取值是质数(记为事件D).(3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率.解析：解析：把一颗骰子抛1次.(1)x所有可能的值为：1、2、3、4、5、6；(2)事件A为2、4、6；事件B为4、5、6；事件C为1、2；事件D为2、3、5；(3)是古典概型，其中
8、P(A)=3/6=1/2；P(B)=3/6=1/2；P(C)=2/6=1/3；P(D)=3/6=1/2.简单的古典概型求法 (2009年福建卷)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸取红球时得2分，摸取黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.分析：因为有放回地随机摸取3次球的基本事件总数是有限的，而且每个基本事件发生的可能性相等，故是古典概型.因此，只要把所有的事件列举出来，就可以用古典概型的计算公式进行求解.解析解析:(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、
9、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑).(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8,所以事件A的概率为P(A)=3/8点评：解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，是否等可能发生，然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数，最后可用古典概型的计算公式进行计算.变式探究变式探究 2.（2009年苏州模拟）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数
10、，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率 解析：解析：设事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”当a0，b0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为ab.基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)=9/12=3/4复杂的古典概型的求法 （2008年温州部分重点中学模拟）现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理
11、成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.（1）求C1被选中的概率；（2）求A1和B1不全被选中的概率.分析分析:（1）本题属于古典概型，求基本事件总数和A包含的基本事件数即可.（2）考虑问题的对立事件，利用正难则反的数学思想，可使问题得以简单解决.解析:（1）总的基本事件共有332=18个，由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用A表示“C1被选中”这一事件，则A由331=9个基本事件组成，所以P(A)=9/18=1/2。（2）用B表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“A1、B
12、1全被选中”，由于 由 112=2个基本事件组成，所以P（）2/18=1/9。BBB由对立事件的概率公式可得P()=1-()=1-1/9=8/9 BB3.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率 变式探究变式探究 分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样解析：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有101010=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有888=83种，因此，P(A
13、)=83/103=0.512（2）法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为1098=720种设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为876=336,所以P(B)=336/7200.467法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10986=120，按同样的方法，事件B包
14、含的基本事件个数为8766=56，因此P(B)=56/1200.467 点评：点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误 温馨提示温馨提示 1.随机试验满足下列条件：实验可以在相同的条件下重复做下去；试验的所有结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在实验之前却不能肯定会出现哪一个结果，所以，随机试验的每一个可能出现的结果是一个随机事件，这类随机事件叫做基本事件.基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成，基本事件有下列两个特点：任何两
15、个基本事件都是互斥的；任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）2.基本事件的概率：在基本事件总数为n的古典概型中,每一基本事件发生的概率都是1/n3.古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是：有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，也就是只有有限个不同的基本事件；等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的.所以一次试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.4.古典概型的解题步骤求出总的基本事件数n；求出事件A所包含的基本事件数m，然后利用公式P(A)=(A包含的基本事件数)/(总的基本事件个数)=m/n5.利用公式P(A)=m/n计算概率
16、时，关键在于求n、m，因此首先要正确理解基本事件和事件A的相互关系.基本事件是一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.这里特别要强调指出的是：一个基本事件是某一次试验出现的结果，千万不可以把几次试验的结果混为一个结果，例如同抛两枚硬币，一共出现四个等可能结果：正正、反反、正反、反正，而不能把一正一反看作一个基本事件（因为这一事件包括“正反”、“反正”这两种结果），否则基本事件就不等可能了.而事件A则不同，它可能仅含一个基本事件，也可能包含多个基本事件，因此在求n时必须强调n个基本事件必须等可能，否则n就求错了.同时在求m时，事件A中所包含的每个基本事件也必须是等可能的.6.可以从
17、集合的观点来考察事件A发生的概率:在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故P(A)=事件A发生的可能种数/所有事件发生的可能总种数=card(A)/card(I)（其中I为所有基本事件的集合，A为事件A所含基本事件的集合）.题型展示台题型展示台 （2009年厦门模拟）考虑一元二次方程x2+mx+n=0,其中m、n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为（）ABCD1936718491736解析:由方程有实根知:m24n.由于nN+,故2m6.骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑
18、,共有66=36种情形.其中满足条件的有:m=2,n只能取1,计1种情形;m=3,n可取1或2,计2种情形;m=4,n可取1或2、3、4,计4种情形;m=5或6,n均可取1至6的值,共计26=12种情形.故满足条件的情形共有1+2+4+12=19(种).答案：A点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误 （2009日照一模）班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男性和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，
19、5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.解析:（1）连续抽取2张卡片的总的可能有54=20种.因为每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型.用A1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1A2表示事
20、件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P（A1A2）=P（A1）+P（A2）=12/20+1/20=7/10=0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.（2）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等.试验的所有可能结果数为55=25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型.用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)=5/25=1
21、/5=0.2.题型训练题型训练 1.（2009年杭州模拟）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A1/9 B1/12 C1/15 D1/18解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有63个，其中为等差数列有三类：公差为0的有6个；公差为1或-1的有8个；公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为18/63=1/12，故选B.答案：B2.（2009年广州一模）某校高三年级要从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表参加学校的演讲比赛.（1）求男生a被选中的概率；（2）求男生a和女生d至少一名被选中的概率.解析：解析：总的选法有(a,b,c),(a,b,
22、d),(a,b,e),(a,c,d),(a,c,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e),(a,d,e)共10种.(1)男生a被选中的选法有6种，所以其概率为6/10=3/5.(2)考虑对立事件：男生a和女生d都没有被选中，其选法只有(b,c,e)1种，概率为1/10，所以男生a和女生d至少一名被选中的概率为1-1/10=9/10.祝祝您您学业有成 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用
23、鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术
24、较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.
25、恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另
26、一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年
27、龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁
28、克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激
29、奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而
30、是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
