1、第一部分第一部分 数学基础数学基础 0-1 常用函数常用函数 变型变型xf(x)xf(x-x0)x0 xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移平移(原点移至原点移至x0)折叠折叠与与f(x)关于关于y轴轴镜像对称镜像对称取反取反与与f(x)关于关于x轴轴镜像对称镜像对称倍乘倍乘y方向幅度变方向幅度变化化比例缩放比例缩放a1,在在x方向展宽方向展宽a倍倍a1,在在x方向压缩方向压缩a倍倍0-1 常用函数常用函数变型变型（例）（例）x,0 x01/2,x=00,x00,x=0-1,x0定义:Sgn(x)=原型代表代表“p p”相移器、反相器相移器、反相器与 Step函数的关系:Sgn
2、(x)=2 Step(x)-1xrect(x)01/2-1/210-1 常用函数常用函数(续续)三三.矩形函数矩形函数 Rectangle Function定义-其它标准型其它 ,021 ,1)(rect:,021x ,1)(rect00axxaxxx原型特点:rect(0)=1,矩形宽度=1，矩形面积=1,偶函数快门快门;单缝单缝,矩孔矩孔,区域限定区域限定)(rect0axx-x0ax0yaxx0,y0yab0)(rect)(rect00byyaxx-0-1 常用函数常用函数(续续)四、三角形函数四、三角形函数 Triangle Function底宽:2|a|,面积:S=|a|-其它标准型
3、其它原型 ,01 ,1)(tri:,01 ,1)(tri:000axxaxxaxxxxx底宽:2最大值：tri(0)=1曲线下面积:S=1a+x0 xtri(x)01-111x-a+x0 x0又写成：L(x)要关注它和矩形函数的关系1xa+x0-a+x0 x00-1 常用函数常用函数(续续)五、五、sinc函数函数)(sinc:,)sin()(sinc:0axxxxx-pp标准型原型xsinc(x)01-11特点:最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0 x曲线下面积:S=1，偶函数0点位置:x=n(n=1,2,3)等间隔两个一级0点之间的主瓣宽度=20-1 常用函数常用函数 五
4、五.sinc函数函数(续续)Sinc函数的重要性:数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数xsinc2(x)01-11sinc(x)sinc2(0)=1,S=1与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同,为什么?二维sinc函数:sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2附:sinc2函数sinc2(x)=sinc(x)2xsinc2(x)01-11sinc(x)0-1 常用函数常用函数(续续)六、高斯函数六、高斯函数 Gaussian FunctionGaus(x)=e
5、xp(-p px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函数是非常平滑的函数,即各即各阶导数均连续阶导数均连续.Gaus(x)0 x二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp-p(x2+y2)可代表单模激光束的光强分布可代表单模激光束的光强分布0-1 常用函数(续)七、圆域函数七、圆域函数 Circular Function定义:circ(r)=其它 ,01 ,1)(circ2222yxyxcirc函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率的圆孔的透过率1xy0ayxcirc22a00-1 常用函数常用函数(续续)八、复指数函数八、复指数函数 Complex exponential functionAexp(jq)=Acosq+jAsinqq：振子的位相角对于简谐振动，q =2pn t推广到二维：Aexpj 2p(fxx+fyy)A0qw=2pn注意注意以上定义的函数,其宗量均无量纲.在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子.例:以 rect(x)代表单缝.若x单位为cm,则 rect(x)代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10)代表宽度为1cm 的单缝.
