1、2022年高考数学真题分类汇编专题11：立体几何一、单选题1（2022浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： cm3 ）是（） A22B8C223D1632（2022浙江）如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1，AC=AA1 ，E，F分别是棱 BC，A1C1 上的点记 EF 与 AA1 所成的角为 ， EF 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角 FBCA 的平面角为 ，则（） ABCD3（2022新高考卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为 33 和 43 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（） A100B128C144D1924（2022全国甲卷）如图，
2、网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A8B12C16D205（2022全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2 ，侧面积分别为 S甲 和 S乙 ，体积分别为 V甲 和 V乙 若 S甲S乙=2 ，则 V甲V乙= （） A5B22C10D51046（2022全国甲卷）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均为 30 ，则（） AAB=2ADBAB与平面 AB1C1D 所成的角为 30CAC=CB1DB1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 457（2022全国乙
3、卷）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F分别为 AB，BC 的中点，则（） A平面 B1EF 平面 BDD1B平面 B1EF 平面 A1BDC平面 B1EF 平面 A1ACD平面 B1EF 平面 A1C1D8（2022全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（） A13B12C33D229（2022北京）已知正三棱锥 PABC 的六条棱长均为6， S 是 ABC 及其内部的点构成的集合，设集合 T=QS|PQ5 ，则 T 表示的区域的面积为（）A34BC2D310（2022新高考卷）已知正四棱锥的侧棱长为 l ，
4、其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 3l33， 则该正四棱锥体积的取值范围是（） A18，814B274，814C274，643D18，2711（2022新高考卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 140.0km2； 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 180.0km2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（） (72.65)A1.0109m3B1.2109m3C1.4109m3D1.6109m312（2022浙
5、江学考）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（） A棱柱B圆柱C圆台D球13（2022浙江学考）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，N是棱 DD1 的中点，则直线CN与平面 DBB1D1 所成角的正弦值等于（） A12B105C155D215514（2022上海）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A0B2C4D12二、多选题15（2022新高考卷）如图，四边形 ABCD 为正方形， ED 平面 ABCD ， FBED，AB=ED=2FB ，记三棱锥 EACD ，
6、FABC ， FACE 的体积分别为 V1，V2，V3 ，则（） AV3=2V2BV3=2V1CV3=V1+V2D2V3=3V116（2022新高考卷）已知正方体 ABCDA1B1C1D1， 则（） A直线 BC1 与 DA1 所成的角为 90B直线 BC1 与 CA1 所成的角为 90C直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角为 45D直线 BC1 与平面ABCD所成的角为 45三、填空题17（2022浙江学考）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 EF=2xAV+yBC(x0，y0) 则 x2+y2 的最小值为 . 四、解答题18（2022浙江）如图，已知
7、 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形， ABDC ， DCEF ， AB=5 ， DC=3 ， EF=1 ， BAD=CDE=60 ，二面角 FDCB 的平面角为 60 设M，N分别为 AE，BC 的中点 （）证明： FNAD ；（）求直线 BM 与平面 ADE 所成角的正弦值19（2022新高考卷）如图， PO 是三棱锥 PABC 的高， PA=PB ， ABAC ，E是 PB 的中点 （1）求证： OE 平面 PAC ； （2）若 ABO=CBO=30 ， PO=3 ， PA=5 ，求二面角 CAEB 的正弦值 20（2022全国乙卷）如图，四面体 ABCD 中， ADCD，AD=CD，
8、ADB=BDC ，E为AC的中点 （1）证明：平面 BED 平面ACD； （2）设 AB=BD=2，ACB=60 ，点F在BD上，当 AFC 的面积最小时，求三棱锥 FABC 的体积 21（2022全国甲卷）在四棱锥 PABCD 中， PD 底面 ABCD，CDAB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=3 （1）证明： BDPA ；（2）求PD与平面 PAB 所成的角的正弦值22（2022全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 ABCD 是边长为8（单位：cm）的正方形， EAB，FBC，GCD，HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABC
9、D 垂直 （1）证明： EF 平面 ABCD ； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）23（2022全国乙卷）如图，四面体 ABCD 中， ADCD，AD=CD，ADB=BDC ，E为 AC 的中点 （1）证明：平面 BED 平面 ACD ； （2）设 AB=BD=2，ACB=60 ，点F在 BD 上，当 AFC 的面积最小时，求 CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值 24（2022北京）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为正方形，平面 BCC1B1 平面 ABB1A1 ， AB=BC=2 ， M，N 分别为 A1B1 ， AC 的中点 （I）求证： MN
10、/ 平面 BCC1B1 ；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值。条件： ABMN ；条件： BM=MN 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。25（2022新高考卷）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为4， A1BC 的面积为 22.（1）求A到平面 A1BC 的距离；（2）设D为 A1C 的中点， AA1=AB， 平面 A1BC 平面 ABB1A1， 求二面角 ABDC 的正弦值.26（2022上海）如图，在圆柱 OO1 中，底面半径为1， AA1 为圆柱母线. （1）若 AA1=4 ，M为 AA1 中点，求直线
11、 MO1 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.答案解析部分1【答案】C2【答案】A3【答案】A4【答案】B5【答案】C6【答案】D7【答案】A8【答案】C9【答案】B10【答案】C11【答案】C12【答案】C13【答案】B14【答案】B15【答案】C,D16【答案】A,B,D17【答案】1518【答案】解：（）过点E、D分别做直线 DC 、 AB 的垂线 EG 、 DH 并分别交于点交于点 G 、H四边形 ABCD 和 EFCD 都是直角梯形， AB/DC，CD/EF，AB=5，DC=3，EF=1 ， BAD=CDE=60 ，由平面几何知识易知， DG=AH
12、=2，EFC=DCF=DCB=ABC=90 ，则四边形 EFCG 和四边形 DCBH 是矩形，在Rt EGD 和Rt DHA ， EG=DH=23 ，DCCF，DCCB ，且 CFCB=C ，DC 平面 BCF，BCF 是二面角 FDCB 的平面角，则 BCF=60 ，BCF 是正三角形，由 DC 平面 ABCD ，得平面 ABCD 平面 BCF ，N 是 BC 的中点， FNBC ，又 DC 平面 BCF ， FN 平面 BCF ，可得 FNCD ，而 BCCD=C ，FN 平面 ABCD ，而 AD 平面 ABCDFNAD （） 由于 FN 平面ABCD，如图建系.于是 B(0，3，0)，
13、A(5，3，0)，F(0，0，3)，E(1，0，3)，D(3，3，0) ，则 M(3，32，32) .BM=(3，32，32)，DA=(2，23，0)，DE=(2，3，3).平面ADE的法向量 n=(3，1，3) .设BM与平面ADE所成角为，则 sin=|BMn|BM|n=5714 19【答案】（1）证明：连接 BO 并延长交 AC 于点 D ，连接 OA 、 PD ， 因为 PO 是三棱锥 PABC 的高，所以 PO 平面 ABC ， AO，BO 平面 ABC ，所以 POAO 、 POBO ，又 PA=PB ，所以 POAPOB ，即 OA=OB ，所以 OAB=OBA ，又 ABAC
14、，即 BAC=90 ，所以 OAB+OAD=90 ， OBA+ODA=90 ，所以 ODA=OAD所以 AO=DO ，即 AO=DO=OB ，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为 PB 的中点，所以 OE/PD ，又 OE 平面 PAC ， PD 平面 PAC ，所以 OE/ 平面 PAC（2）解：过点 A 作 AFOP ，以AB为 x 轴，AC为 y 轴，AF为z轴建立如图所示的空问直角坐标系. 因为 PO=3，PA=5 ，由(1) OA=OB=4 ，义 ABO=CBO=30 ，所以， AB=43 ，所以 P(23，2，3)，B(43，0，0) ， A(0，0，0) ， E(33，1，32
15、) ，设 AC=a ，则 C(0，a，0) ，平面AEB的法向量设为 n1=(x，y，z)，AB=(43，0，0)，AE=(33，1，32)ABn1=0AEn1=0 ，所以 43x=033x+y+32z=0 ，所以 x=0 ，设 z=2 ，则 y=3 ，所以 n1=(0，3，2) ：平面AEC的法向量设为 n2=(x，y，z)，AC=(0，a，0)，AE=(33，1，32)ACn2=0AEn2=0 ，所以 ay=033x+y+32z=0 ，所以 y=0 ，设 x=3 ，则 z=6 ，阦以 n2=(3，0，6) ：所以 cosn1，n2=n1n2|n1|n2|=121339=12133=4313
16、二面角 CAEB 的平面角为 ，则 sin=1cos2=1113 ，所以二面角 CAEB 的正弦值为 1113 。20【答案】（1）证明：由于 AD=CD ， E 是 AC 的中点，所以 ACDE . 由于 AD=CDBD=BDADB=CDB ，所以 ADBCDB ，所以 AB=CB ，故 ACBD ，由于 DEBD=D ， DE，BD 平面 BED ，所以 AC 平面 BED ，由于 AC 平面 ACD ，所以平面 BED 平面 ACD .（2）解：依题意 AB=BD=BC=2 ， ACB=60 ，三角形 ABC 是等边三角形， 所以 AC=2，AE=CE=1，BE=3 ，由于 AD=CD，
17、ADCD ，所以三角形 ACD 是等腰直角三角形，所以 DE=1 .DE2+BE2=BD2 ，所以 DEBE ，由于 ACBE=E ， AC，BE 平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC .由于 ADBCDB ，所以 FBA=FBC ，由于 BF=BFFBA=FBCAB=CB ，所以 FBAFBC ，所以 AF=CF ，所以 EFAC ，由于 SAFC=12ACEF ，所以当 EF 最短时，三角形 AFC 的面积最小值.过 E 作 EFBD ，垂足为 F ，在 RtBED 中， 12BEDE=12BDEF ，解得 EF=32 ，所以 DF=12(32)2=12，BF=2DF=32 ，所以 B
18、FBD=34过 F 作 FHBE ，垂足为 H ，则 FH/DE ，所以 FH 平面 ABC ，且 FHDE=BFBD=34 ，所以 FH=34 ，所以 VFABC=13SABCFH=13122334=34 .21【答案】（1）证明：在四边形 ABCD 中，作 DEAB 于 E ， CFAB 于 F ，因为 CD/AB，AD=CD=CB=1，AB=2 ，所以四边形 ABCD 为等腰梯形，所以 AE=BF=12 ，故 DE=32 ， BD=DE2+BE2=3 ，所以 AD2+BD2=AB2 ，所以 ADBD ，因为 PD 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，所以 PDBD ，又 PDAD
19、=D ，所以 BD 平面 PAD ，又因 PA 平面 PAD ，所以 BDPA（2）解： 由(1)知，PD，AD，BD两两垂直， BD=AB2AD2=3 ，建立空间直角坐标系如图所示， 则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，3)，PD=(0，0，3)，PA=(1，0，3)，AB=(1，3，0)，设平面PAB的法向量为 n=(x，y，z) ，则PAn=0ABn=0 即 x3z=0x+3y=0不妨设 y=z=1 ，则 n=(3，1，1) ，设PD与平面PAB的所成角为，则sin=|cosPD，n|=|PDn|PD|n|=|3|35=55，PD与平面PAB的所成的角的
20、正弦值为 55 .22【答案】（1）证明：分别取 AB，BC 的中点 M，N ，连接 MN ， 因为 EAB，FBC 为全等的正三角形，所以 EMAB，FNBC ， EM=FN ，又平面 EAB 平面 ABCD ，平面 EAB 平面 ABCD=AB ， EM 平面 EAB ，所以 EM 平面 ABCD ，同理可得 FN 平面 ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知 EM/FN ，而 EM=FN ，所以四边形 EMNF 为平行四边形，所以 EF/MN ，又 EF 平面 ABCD ， MN 平面 ABCD ，所以 EF/ 平面 ABCD （2）解：分别取 AD，DC 中点 K，L ， 由（1）知，
21、 EF/MN 且 EF=MN ，同理有， HE/KM，HE=KM ， HG/KL，HG=KL ， GF/LN，GF=LN ，由平面知识可知， BDMN ， MNMK ， KM=MN=NL=LK ，所以该几何体的体积等于长方体 KMNLEFGH 的体积加上四棱锥 BMNFE 体积的 4 倍因为 MN=NL=LK=KM=42 ， EM=8sin60=43 ，点 B 到平面 MNFE 的距离即为点 B 到直线 MN 的距离 d ， d=22 ，所以该几何体的体积 V=(42)243+413424322=1283+25633=64033 23【答案】（1）证明：因为 AD=CD ，E为 AC 的中点，
22、所以 ACDE ； 在 ABD 和 CBD 中，因为 AD=CD，ADB=CDB，DB=DB ，所以 ABDCBD ，所以 AB=CB ，又因为E为 AC 的中点，所以 ACBE ；又因为 DE，BE 平面 BED ， DEBE=E ，所以 AC 平面 BED ，因为 AC 平面 ACD ，所以平面 BED 平面 ACD .（2）解：连接 EF ， 由（1）知， AC 平面 BED ，因为 EF 平面 BED ，所以 ACEF ，所以 SAFC=12ACEF ，当 EFBD 时， EF 最小，即 AFC 的面积最小.因为 ABDCBD ，所以 CB=AB=2 ，又因为 ACB=60 ，所以 A
23、BC 是等边三角形，因为E为 AC 的中点，所以 AE=EC=1 ， BE=3 ，因为 ADCD ，所以 DE=12AC=1 ，在 DEB 中， DE2+BE2=BD2 ，所以 BEDE .以 E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz ，则 A(1，0，0)，B(0，3，0)，D(0，0，1) ，所以 AD=(1，0，1)，AB=(1，3，0) ，设平面 ABD 的一个法向量为 n=(x，y，z) ，则 nAD=x+z=0nAB=x+3y=0 ，取 y=3 ，则 n=(3，3，3) ，又因为 C(1，0，0)，F(0，34，34) ，所以 CF=(1，34，34) ，所以 cosn
24、，CF=nCF|n|CF|=62174=437 ，设 CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值为 (02) ，所以 sin=|cosn，CF|=437 ，所以 CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值为 437 .24【答案】（I）设点P为AB中点，由于P为AB中点，N为AC中点所以PN为 ABC 中位线 PN/BC又M为AB中点，PM是正方形 AA1B1B 的中位线所以 PM/BB1BB1/PMBC/PNBB1BC=BPMPN=P 面 BCC1B1 面 MPN又 MN 面 MPNMN/ 平面 BCC1B1（II）选择条件，面 BCC1B1 面 ABB1A1面 BB1C1C 面 ABC=BC ，面
25、 A1B1BA 面 ABC=ABBCAB又 NP/BCNPAB ，又由： MNABNPABMNABNPMN=N 面 MNPABPM 面 MNPPMAB故 AB，BC，BB1 两两垂直以B为原点， BC 为 x 轴正方向， BA 为 y 轴正方向， BB1 为 z 轴正方向建立坐标系B：(0，0，0)，M：(0，1，2)，N：(1，1，0)，A：(0，2，0)，BM=(0，1，2)，BN=(1，1，0)，AB=(0，2，0)则BMN的法向量 n=(2，2，1)AB与面BMN所成角的正弦等于 AB 与 n 所半余弦的绝对值，即 |ABn|AB|n|=|46|=23故所求正弦为 23 .25【答案】
26、（1）因为 VABCA，BC1=3VAABC=4 ， 所以 VAABC=43 ，设A到平面 A1BC 的距离为h；则 VAAiBC1=13SAiBCh=43h=2（2）设D为 A1C 的中点，且 AA1=AB ， 由于 平面A1BC平面ABB1A1平面ABC平面ABB1A1平面ABC平面A1BC=BC BC平面 ABB1A1因为 AB 平面 ABB1A1 ，所以 BCAB ，在直角 ABC 中， ABC=90 ，连接 A1B ，过A作 AHA1B ，则 AH 平面 A1BC ，而 BC 平面 ABB1A1 ，故 BCA1B .由 AA1=AB，AH=2 ，所以 AA1=AB=2，A1B=22
27、，由 A1BC=22=12A1BBCBC=2 ，以B为原点，向量 BC ， BA ， BB1 分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(2，0，0)，A(0，2，0)，A1(0，2，2)，D(1，1，1)，B(0，0，0)所以 BA=(0，2，0)，BD=(1，1，1)，BC=(2，0，0)设平面ABD的一个法向量 n=(x，y，z) ，nBA=0nBD=0y=0x+y+z=0 ，令 x=1 ，则有 n=(1，0，1) .设平面BCD的一个法向量 m=(x0，y0，z0) ，nBC=0nBD=0x0=0x0+y0+z0=0令 y=1 ，则有 n=(0，1，1)所以 cosn，m=nm|n|m|=122=12sinn，m=32所以二面角 ABDC 的正弦值为 32 .26【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO1与底面的夹角为MO1A1 则由题意得tanMO1A1=A1MO1A1=2， 则MO1A1= arctan2 ；（2）设圆柱的底面圆的半径为r，高为h， 则因为圆柱的轴截面为正方形， 所以h=2r=2 所以圆柱的侧面积为2rh=212=4圆柱的体积为 r2h=122=2
