1、 高三数学诊断性检测试卷一、单选题1设集合A=xZx2x20，B=0，1，2，3，则AB=（）A0，1B0，1，2C1，0，1，2，3D2，1，0，1，2，32(x23x)5的展开式中的常数项为（）A-160B-80C80D1603设复数z1，z2，z3满足z30，且|z1|=|z2|，则（）Az1=z2Bz12=z22Cz1z3=z2z3D|z1z3|=|z2z3|4若a0，b0，则“a+b2”的一个必要不充分条件是（）A1a+1b1Bab1Ca2+b22Da0)的焦点为F，过F且倾斜角为3的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为3，则|AB|=（）A83B4C8D247关于函数f(x
2、)=Asin(2x+)，有下列四个命题：甲：f(x)在(5，275)单调递增；乙：6是f(x)的一个极小值点：丙：3是f(x)的一个极大值点；丁：函数y=f(x)的图象向左平移3个单位后所得图象关于y轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（）A甲B乙C丙D丁8已知f(x)是定义在R上的函数，且函数y=f(x+1)1是奇函数，当x0.16缀术是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.缀术中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个
3、西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为46cm，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是 cm；卧足杯的容积是 cm3（杯的厚度忽略不计）.四、解答题17已知等比数列an的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+2，Sn，Sn+1成等差数列.（1）求an的通项公式；（2）设bn=n+12，求数列anbn的前10项和T10.（x表示不超过x的最大整数）18冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20km男子个人赛的规则如下：共滑行5圈（每圈4km），前4圈每滑行1圈射击一次，
4、每次5发子弹；射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为45和34.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.19如图，在三棱锥VABC中，VAB和ABC均是边长为4的等边三角形.P是棱V
5、A上的点， VP=23VA，过P的平面与直线VC垂直，且平面平面VAB=l.（1）在图中画出l，写出画法并说明理由；（2）若直线VC与平面ABC所成角的大小为3，求过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。20ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=6，b+12cosB=2c.（1）求A的大小；（2）M为ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，_，求ABC的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC存在，并解决问题.M为ABC的外心，AM=4；M为ABC的垂心，MD=3；M为ABC的内心，AD=33.21已知椭圆C的中心为O，离心率为22.圆O在C
6、的内部，半径为63.P，Q分别为C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为163.（1）建立适当的坐标系，求C的方程；（2）A，B是C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上.求证：以AB为直径的圆过定点.22已知函数f(x)=lnxa+1x，g(x)=a(x2)e1x1，其中aR.（1）讨论f(x)的单调性；（2）当0a0，所以bc=36，所以SABC=12bcsin3=123632=93.21【答案】（1）解：以O为坐标原点，椭圆C的长轴、短轴所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图.设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，依题意得ca=22b63=163
7、a2=b2+c2，解得a=2b=1c=1，所以C的方程为x22+y2=1.（2）解：解法一：因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A(63，63)，B(63，63)，此时OAOB=0，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O.（ii）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2).因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63，即3m22k22=0.由y=kx+m，x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kmx+2m22=0，所以x1+x2=4km2k2+1，x
8、1x2=2m222k2+1，OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，=(1+k2)(2m222k2+1)+km(4km2k2+1)+m2，=(1+k2)(2m22)+km(4km)+m2(2k2+1)2k2+1，=3m22k222k2+1=0，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.解法二：因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.设直线AB与圆O相切于点M(x0，y0). （i）当y0=0时，直线AB垂直于x轴，不妨设A(63，63)，B(63，63)，
9、此时OAOB=0，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O.（ii）当y00时，直线AB的方程为yy0=x0y0(xx0)，因为x02+y02=23，所以直线AB的方程为y=x0y0x+23y0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y=x0y0x+23y0x22+y2=1，得(18x02+9y02)x224x0x+818y02=0，所以x1+x2=24x018x02+9y02，x1x2=818y0218x02+9y02，因为x02+y02=23，所以x1+x2=24x06+9x02，x1x2=18x0246+9x02，|OA|2+|OB|2|AB|2=(|OM|2+|AM|2)+(|OM|2
10、+|BM|2)(|AM|+|BM|)2，=2|OM|22|AM|BM|=432|AM|BM|，=4321+(x0y0)2|x2x0|1+(x0y0)2|x0x1|，=4321+(x0y0)2x1x2+(x1+x2)x0x02，=4321+(x0y0)2(18x0246+9x02+24x026+9x02x02)，=432(1+x0223x02)(18x0246+9x02+24x026+9x02x02)，=432223x0249x046+9x02，=4343=0.所以|OA|2+|OB|2=|AB|2，即OAOB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.解法三：因为直线AB与以OA
11、为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2).因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63，即3m22k22=0.由y=kx+m，x22+y2=1得(2k2+1)x2+4kmx+2m22=0，所以x1+x2=4km2k2+1，x1x2=2m222k2+1，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m2k2+1，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m22k22k2+1，x1x2+y1y2=2m222k2+1+m22k22k2+1=3
12、m22k222k2+1=0.设P(x，y)是以AB为直径的圆N上的任意一点，由PAPB=0，得(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0，化简得x2+y2(x1+x2)x(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0，故圆N的方程为x2+y2+4km2k2+1x2m2k2+1y=0，它过定点O.（ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A(63，63)，B(63，63)，此时OAOB=0，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.解法四：因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m
13、，A(x1，y1)，B(x2，y2).因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63，即3m22k22=0.由y=kx+m，x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kmx+2m22=0，所以x1+x2=4km2k2+1，x1x2=2m222k2+1，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m2k2+1，以AB为直径的圆N的圆心为N(x1+x22，y1+y22)，即(2km2k2+1，m2k2+1).半径r=|AB|2=121+k2|x2x1|=121+k2(x1+x2)24x1x2=1+k2216k2m2(2k2+1)28m282k2+1=1+k2216k28m2+82k2+1
14、=1+k24k22m2+22k2+1，以AB为直径的圆的方程为(x+2km2k2+1)2+(ym2k2+1)2=(1+k24k22m2+22k2+1)2，整理得x2+y2+4km2k2+1x2m2k2+1y=0，故以AB为直径的圆过定点O.（ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A(63，63)，B(63，63)，此时OAOB=0，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.22【答案】（1）解：依题意，f(x)的定义域为(0，+)，由f(x)=lnxa+1x(aR)，得 f(x)=1x+a+1x2=x+a+1x2，当a1时，f(x)0 恒成立，所以f(x)在(0，+)
15、单调递增；当a1时，令f(x)=0，得x=a1，当x(0，a1)时，f(x)0，所以f(x)在(a1，+)单调递增；综上，当a1时，f(x)在(0，+)单调递增；当a0 恒成立，所以(x)在3，+)单调递增，又因为0aln3ae21ae20，所以(x)0，(x)在3，+)不存在零点；当0x3时，设(x)=ex1x，则(x)=ex11，当0x1时，(x)0，所以(x)在(0，1)单调递减；当1x0，所以(x)在(1，3)单调递增；所以(x)(1)=0，即ex1x，因为x0，所以1ex11x，又因为0a53且0x3，所以a(x3)0，所以a(x3)ex1a(x3)x，所以(x)x+a+1x2+a(x3)x=ax2+(13a)x+a+1x2，当0(0)=a+10，所以(x)0，所以(x)在(0，3)单调递增；当13a53时，=(13a)24a(a+1)=5a210a+11690，所以(x)0，所以(x)在(0，3)单调递增；综上可知，当0a53时，均有(x)在(0，3)单调递增，又因为(1)=a1+a+1=0，所以(x)在(0，3)恰有一个零点1，故当0a53时，(x)在(0，+)恰有一个零点1，因此不存在x1，x2，且x1x2，使得f(xi)=g(xi)(i=1，2).
