1、v 教学目标教学目标 v掌握二项式定理有其推导方法掌握二项式定理有其推导方法v以及二项展开式的有关特征，以及二项展开式的有关特征，v并能用它们计算和论证一些简单问并能用它们计算和论证一些简单问题。题。v1问题问题 某人投资某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率一种是年利率11，按单利计算，按单利计算，10年后收回本金和年后收回本金和利息。另一种年利率利息。另一种年利率9，按每年复利一次计算，按每年复利一次计算，10年年后收回本金和利息。后收回本金和利息。v试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资资5年后
2、可多得利息多少元？年后可多得利息多少元？v分析：本金分析：本金10万元，年利率万元，年利率11，按单利计算，按单利计算，10年后的本利和是年后的本利和是:_v本金本金10万元，年利率万元，年利率9，按每年复利一次计算，按每年复利一次计算，10年年后的本利和是后的本利和是_v那么如何计算那么如何计算_ 的值呢？能否在不借助计算的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如研究形如_ 的展开式。的展开式。v从本节课开始我们就来研究二项式定理（点明课题）从本节课开始我们就来研究二项式定理（点明课题）.复习与引复习与引入入v
3、10（11110）21（万元）（万元）(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (a+b)(a+b)3 3=(a+b)(a+b)4 4=(a+b)(a+b)1 1=a+b=a+b 如何研究如何研究(a+b)(a+b)n n的二项展的二项展开式的规律性？开式的规律性？.讲授新课讲授新课 a a3 3+3a+3a2 2b+3abb+3ab2 2+b+b3 3 a a4 4+4a+4a3 3b+6ab+6a2 2b b2 2+4ab+4ab3 3+b+b4 4 将将 (a+b)(a+b)4 4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)(a
4、+b)展开后，它的各项是什么呢？展开后，它的各项是什么呢？容易看到，等号右边的积的展开式容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是字母的乘积，因而各项都是4 4次式，即次式，即展开式应有下面形式的各项：展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4 .讲授新课讲授新课（a+ba+b）4 4=（a+ba+b）（）（a+ba+b）（）（a+ba+b）（）（a+ba+b）在上面在上面4个括号中：个括号中：恰有恰有1 1个取个取b b的情况有的情况有 种，所以种，所以a a3 3b b的系数是的系数是 ；14C
5、14C每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，所以种，所以a4的系数是的系数是 ；04C恰有恰有2 2个取个取b b的情况有的情况有 种，所以种，所以a a2 2b b2 2的系数是的系数是 ;24C24C恰有恰有3 3个取个取b b的情况有的情况有 种，所以种，所以abab3 3的系数是的系数是 ；34C34C4 4个都取个都取b b的情况有的情况有 种，所以种，所以b4b4的系数是的系数是 .44C44C44433422243144044bCabCbaCbaCaCba 依此类推，对于任意正整数依此类推，对于任意正整数n n，上面，上面的关系也是成立的的关系也是成立的.即：即：nnnrr
6、nrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(nN(nN+)这个公式所表示的定理叫做这个公式所表示的定理叫做二项二项式定理式定理,右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)(a+b)n n的的二二项展开式项展开式,各项系数各项系数 叫做叫做二项式系数二项式系数.rnCnr,2,1,0 .讲授新课讲授新课nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(二项式定理二项式定理:rrnrnrbaCT1rrnrnbaC叫做叫做二项展开式的通项二项展开式的通项,记作记作nnnnnnxCxCxCx2211)1(特别地特别地:.讲授新课讲授新课nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba
7、110)(rrnrnrbaCT1它的特点：它的特点：1 1项数项数：共有：共有(n+1)(n+1)项；项；2 2二项式系数二项式系数：依次为：依次为 nnrnnnnC、C、C、CC.2103 3指数指数：a an-rn-rb br r指数和为指数和为n n，a a的指数依次从的指数依次从n n递减到递减到0 0，b b的指的指数依次从数依次从0 0递增到递增到n n。.讲授新课讲授新课rnC 注：注：二项式系数二项式系数 与展开与展开中中某一项系数某一项系数是有区别的。是有区别的。.讲授新课讲授新课例例1 1、展开（、展开（1+1+）4.4.x143214641xxxx444334224114
8、0044x1Cx1Cx1Cx1Cx1Cx11解：.讲授新课讲授新课例例2 2、展开、展开 6 6 )12(xx 解：先将原式化简，再展开解：先将原式化简，再展开61(2)xx663211(21)xxxx=6152433221666666631(2)(2)(2)(2)(2)(2)xCxCxCxCxCxCx=32236012164192240160 xxxxxx=.讲授新课讲授新课 .讲授新课讲授新课v例例3 用二次式定理证明：用二次式定理证明：v 能被能被100整除；整除；v 能被能被(n-1)2整除整除(n3,nN*)。v证明：（证明：（1）能被能被100整除整除；.讲授新课讲授新课v例例3
9、用二次式定理证明：用二次式定理证明：v 能被能被100整除；整除；v 能被能被(n-1)2整除整除(n3,nN*)。v证明：（证明：（1）能被能被(n-1)2整除整除(n3,nN*)；是正整数vB.补充练习：补充练习：v 1计算：计算：。v2求证：求证：v3求求 展开式中含展开式中含x项的系数。项的系数。v4解决本节课开始提出的问题。解决本节课开始提出的问题。.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：v 1计算：计算：。.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：v2求证：求证：.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：v3求求 展开式中含展开式中含x项的系数。项的系数。v4解决本节课开始
10、提出的问题。解决本节课开始提出的问题。.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：v3求求 展开式中含展开式中含x项的系数。项的系数。v4解决本节课开始提出的问题。解决本节课开始提出的问题。.课堂练习课堂练习v 1二项式定理是初中学习的多项式乘法的二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式继续，它所研究的是一种特殊的多项式二二项式的乘方的展开式，项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的要理解和掌握展开式的规律规律。利用它就。利用它就可以对二项式展开，进行计算可以对二项式展开，进行计算或证明。或证明。v2对课本第对课本第108页这样一段话页这样一段话“容易看到，容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积号里任取一个字母的乘积”，要能透彻理解，要能透彻理解，在解题中适时应用会显得很方便。在解题中适时应用会显得很方便。v.课后作业课后作业v(一一)课本课本 P ；苏大本节内容。；苏大本节内容。.课时小结课时小结下课!
