1、5 向量空间向量空间封闭的概念封闭的概念定义：定义：所谓所谓封闭封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合的结果仍属于该集合例：例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？试讨论下列数集对四则运算是否封闭？n整数集整数集 Zn有理数集有理数集 Qn实数集实数集 R向量空间的概念向量空间的概念定义：定义：设设 V 是是 n 维向量的集合，如果维向量的集合，如果 集合集合 V 非空，非空，集合集合 V 对于向量的对于向量的加法加法和和乘数乘数两种运算封闭，两种运算封闭，具体地说，就是：具体地说，就是：若若 a V，b V，则，则a+b V（对加法封
2、闭）（对加法封闭）若若 a V，l l R，则，则 l l a V（对乘数封闭）（对乘数封闭）那么就称集合那么就称集合 V 为为向量空间向量空间例：例：下列哪些向量组构成向量空间？下列哪些向量组构成向量空间？1.n 维向量的全体维向量的全体Rn2.集合集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 3.集合集合 V2=(1,x2,xn)T|x2,xnR 4.齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集 S1=x|Ax=0 5.非齐次线性方程组的解集非齐次线性方程组的解集 S2=x|Ax=b 解：解：集合集合 Rn，V1，S1 是向量空间，是向量空间，集合集合 V2，S2 不是向量空间不是向量空间定
3、义：定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间解空间.例：例：设设 a,b 为两个已知的为两个已知的 n 维向量，集合维向量，集合L=l l a+m m b|l l,m m R 是一个向量空间吗？是一个向量空间吗？解：解：设设 x1,x2 L，kR，因为，因为lx1+x2=(l l1a+m m1b)+(l l2a+m m2b)=(l l1+l l2)a +(m m1 +m m2)b Llk x1=k(l l1a+m m1b)=(kl l1)a+(km m1)b L 所以，所以，L 是一个向量空间是一个向量空间定义：定义：把集合把集合L=l l
4、a+m m b|l l,m m R 称为称为由向量由向量 a,b 所生成的向量空间所生成的向量空间一般地，把集合一般地，把集合 L=l l1a1+l l2a2+l lmam|l l1,l l2,.,l lm R 称为称为由向量由向量a1,a2,.,am 所生成的向量空间所生成的向量空间例：例：设向量组设向量组a1,a2,.,am 和和 b1,b2,.,bs 等价，记等价，记L1=l l1a1+l l2a2+l lmam|l l1,l l2,.,l lmR，L2=m m1b1+m m2b2+m ms bs|m m1,m m2,.,m msR，试证试证 L1=L2 结论：结论：等价的向量组所生成的
5、空间相等等价的向量组所生成的空间相等al l aL=l l a|l lR L=l l a+m m b|l l,m mR abcL=l l a+m m b+g g c|l l,m m,g g R l l am m bg g cabl l am m ba1a2L1=l l1a1+l l2a2|l l1,l l2R L2=m m1b1+m m2b2|m m1,m m2R 则则 L1=L2L3=m m1b1+m m2b2+m m3b3|m m1,m m2,m m3R 问题：问题：L1=L2=L3?b1b2b3返回返回 子空间的概念子空间的概念定义：定义：如果向量空间如果向量空间 V 的非空子集合的非空
6、子集合 V1 对于对于 V 中所定义的中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是是 V 的的子空间子空间 例：例：1.n 维向量的全体维向量的全体Rn2.集合集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 3.集合集合 V2=(1,x2,xn)T|x2,xnR 解：解：V1 是是 Rn 的子空间，的子空间，V2 不是不是 Rn 的子空间的子空间向量空间的基的概念向量空间的基的概念定义：定义：设有设有向量空间向量空间 V，如果在，如果在 V 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1,a2,ar，满足，满足 a1,a2,ar 线性无关；线性无关；V 中任意一
7、个向量都能由中任意一个向量都能由 a1,a2,ar 线性表示；线性表示；那么称向量组那么称向量组 a1,a2,ar 是是向量空间向量空间 V 的一个的一个基基r 称为称为向量空间向量空间 V 的维数的维数，并称，并称 V 为为 r 维向量空间维向量空间 向量空间向量空间向量空间的基向量空间的基向量空间的维数向量空间的维数向量组向量组向量组的最大无关组向量组的最大无关组向量组的秩向量组的秩1.n 维向量的全体维向量的全体 Rn解：解：En 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一个基，故的一个基，故Rn 的维数等于的维数等于 n.2.集合集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 解：解：En
8、的后的后 n1个个列向量是列向量是V1 的一个基，故的一个基，故 V1 的维数等于的维数等于 n1 3.n 元齐次线性方程组的解集元齐次线性方程组的解集 S1=x|Ax=0 解：解：齐次线性方程组的基础解系是齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故的一个基，故 S1 的维的维数等于数等于 nR(A)1.n 维向量的全体维向量的全体 Rn解：解：En 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一个基，故的一个基，故Rn 的维数等于的维数等于 n.2.集合集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 解：解：En 的后的后 n1个个列向量是列向量是V1 的一个基，故的一个基，故 V1 的维数等于的
9、维数等于 n1 结论：若结论：若V1 是是V 的子空间，则的子空间，则V1 的维数不超过的维数不超过V 的维数的维数3.n 元齐次线性方程组的解集元齐次线性方程组的解集 S1=x|Ax=0 解：解：齐次线性方程组的基础解系是齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故的一个基，故 S1 的维的维数等于数等于 nR(A)4.由由a1,a2,.,am 所生成的向量空间所生成的向量空间L=l l1a1+l l2a2+l lmam|l l1,l l2,.,l lmR 若若 a1,a2,.,am 线性无关，则线性无关，则 a1,a2,.,am 是向量空间是向量空间 L 的一个基的一个基若若 a1,a2
10、,.,am 线性相关，则线性相关，则 向量组向量组 A：a1,a2,.,am 等价于等价于向量组向量组 A 的最大无关组的最大无关组 A0：a1,a2,.,ar 从而从而 L=L1=l l1a1+l l2a2+l lr ar|l l1,l l2,.,l lrR 故向量组故向量组 A0 就是就是 L 的一个基，的一个基，A0中向量的个数就是中向量的个数就是 L 的维数的维数.4.由由a1,a2,.,am 所生成的向量空间所生成的向量空间L=l l1a1+l l2a2+l lmam|l l1,l l2,.,l lmR 解：解：L=l l1a1+l l2a2+l lmam|l l1,l l2,.,l
11、 lmR 向量组向量组 A：a1,a2,.,am 等价于等价于向量组向量组 A 的最大无关组的最大无关组 A0：a1,a2,.,ar 故向量组故向量组 A0 就是就是 L 的一个基，的一个基，A0中向量的个数就是中向量的个数就是 L 的维数的维数.一般来说，一般来说，若若 a1,a2,.,am V，则，则 L 是是 V 的子空间的子空间若若向量组向量组 a1,a2,.,am 是向量空间是向量空间V 的一个基，那么的一个基，那么V=l l1a1+l l2a2+l lmam|l l1,l l2,.,l lmR L=l l1a1+l l2a2+l l3a3|l l1,l l2,l l3R 向量组向量
12、组 a1,a2,a3 等价于等价于相应的最大无关组相应的最大无关组 a1,a2所以所以 L=m m1a1+m m2a2|m m1,m m2 R 从而从而 a1,a2 就是就是 L 的一个基，的一个基，L 的维数等于的维数等于2a3a1a2结论：结论：等价的向量组所生成的空间相等等价的向量组所生成的空间相等定义：定义：如果在向量空间如果在向量空间 V 中取定一个基中取定一个基 a1,a2,.,ar，那么，那么V中任意一个向量可唯一表示为中任意一个向量可唯一表示为x=l l1a1+l l2a2+l lrar数组数组 l l1,l l2,.,l lr 称为向量称为向量 x 在基在基 a1,a2,.,
13、ar 中的中的坐标坐标例：例：的列向量组是的列向量组是 R3 的一个基，的一个基，)123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee237b 那么那么b 在基在基 e1,e2,e3 中的坐标中的坐标 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量组称为的列向量组称为 Rn 的的自然基自然基1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 1000010000100001nE 上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组也是的列向量组也是 R3 的一个基，那么的
14、一个基，那么 )123111,011001Aa a a12321115(3)0(2)17 13277001aaa 结论结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的同一个向量在不同基中的坐标是不同的例：例：设设验证验证a1,a2,a3 是是R3 的一个基，并求的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标.1231222114(,)212,(,)0312242Aa a aBb b 分析：分析：la1,a2,a3 是是 R3 的一个基的一个基 R(a1,a2,a3)=3lb1,b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标 用用 a1,a2,a3 表示表示 b1,b2l当当 时，时，A 的的列向
15、量组列向量组与与B 的的列向量组列向量组有相同的线性有相同的线性关系（关系（P.93 例例11）为此，考虑把为此，考虑把(A,B)=(a1,a2,a3,b1,b2)化为化为行最简形矩阵行最简形矩阵rAB1231222114(,)212,(,)0312242Aa a aBb b 解：解：2410033221142(,)21203 0101312242200113rA B 于是于是112321232242,3333baaabaaa例：例：设设验证验证a1,a2,a3 是是R3 的一个基，并求的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标.例：例：在在 R3中取定一个基中取定一个基 a1,a2,a3，再取一个新基，再取一个新基 b1,b2,b3，设设 A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)求用求用a1,a2,a3 表示表示 b1,b2,b3 的表示式的表示式（基变换公式）（基变换公式）；求向量在两个基中的坐标之间的关系式求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）（坐标变换公式）.分析：分析：l求解矩阵方程求解矩阵方程 AX=Bl设设 xR3，且，且 ，求解，求解矩阵方程矩阵方程 111232123233(,)(,)yzxa a ayb b bzyz112233yzXyzyz
