1、 将行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为的转置行列式，记为DT (Transpose)或或D .即如果即如果a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D=，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT=则.显然，显然，(DT)T=D.1234T13224=行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.1234=12234=3412=0性质性质3 行列式某一行的公因子可以提取出来行列式某一行的公因子可以提取出来.性质性质3 行列式某一行或列的公因子可以提取出来行列式某一行或列
2、的公因子可以提取出来.a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann=k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 推论推论1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元素为零，则的元素为零，则D0.推论推论2 如果如果D中有两行中有两行(列列)成比例，则成比例，则D=0.性质性质4 若行列式中的某一行若行列式中的某一行(列列)的元素都是两数之和，的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和则此行列式可以写成两个行列式之和.即即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2
3、a1nainann =+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .B性质性质5 将行列式的某一行将行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数k后后加到另一行加到另一行(列列)对应位置的元素上，行列式的值不变对应位置的元素上，行列式的值不变.即即a11ai1aj1an1 a12ai2aj2an2 a1nainajnann a11ai1+kaj1aj1an1a12ai2+kaj2aj2an2a1nain+kajnajnann=.为表述方便，引入下列记号为表述方便，引入下列记号(行用行用r，列用，列用c)：2)以数以数k乘以行列式的第乘以行列式的第i行，用行，用k
4、ri表示；表示；3)以数以数k乘以行列式的第乘以行列式的第i行加到第行加到第j行，用行，用rj+kri表示表示.1)交换行列式交换行列式的第的第 i 行与第行与第 j 行，用行，用 rirj表示表示 ；5101242170131312=D131224217013510141=rrD3400193008310510124232=rrrr850002210083105101344=+rr1111033208310510114131223=+rrrrrr3400221008310510143=rr解：解：=-85.baaaabaaDaabaaaab=12343333rrrrbabababaabaaD
5、aabaaaab+=baaaabaaaabaab1111)3(+=2131411111000(3)000000rarrarrarbabababa=+=3)(3(ababxaaaaxaaDaaxaaaax=111(1)axaaDxna aaxaaaax=+1 211.100(1)00nccccaxaxnaaxaaxa=+0 0 0 0 01(1)()nxna xa=+111(1)axaaDxnaaaxaaaax=+1 nnnacacacbbbaD0000002211210=100010001)(221121021nnnnacacacbbbaaaaD=12(0)na aa 其中Oh!I love
6、it!012112122100010()001nnnnabbbcacDa aaaca=01111222000100()010001niiiinnnb caacaa aacaca=)(1021=niiiinacbaaaa一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定义定义1 在在n阶行列式阶行列式D=|aij|中去掉元素中去掉元素a ij 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后,余余下的下的n-1阶行列式，称为阶行列式，称为D中元素中元素aij 的的，记作，记作Mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 例如，求例如，求4阶
7、行列式中阶行列式中a32的代数余子式的代数余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 M32=A32=(-1)3+2M32=-M32令令Aij=(1)i+jMij，Aij称为元素称为元素aij的的.2.2 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定义定义1 在在n阶行列式阶行列式D=|aij|中去掉元素中去掉元素a ij 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后,余余下的下的n-1阶行列式，称为阶行列式，称为D中元素中元素aij 的的，记作，记作Mij.令令Aij=(1)i+jMij，Aij称为元素称为元素aij的的.a11a2
8、1a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求再如，求4阶行列式中阶行列式中a13的代数余子式的代数余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13=A13=(-1)1+3M13=M13 n阶行列式阶行列式D=|aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对应的的各元素与其对应的代数余子式乘积的和代数余子式乘积的和.即即 n阶行列式阶行列式D=|aij|的某一行的某一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的对应元素的代数余子式乘积的和等于零的代数余子式乘积的和等于零.即即D=ai1
9、Ai1+ai2Ai2+ainAin(i=1,2,n)，D=a1jA1j+a2jA2j+anj Anj(j=1,2,n).ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (i j)，a1iA1j+a2iA2j+ani Anj=0 (i j).例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：解：按第一行展开按第一行展开13311-2311-213=a11A11+a12A12+a13A13D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展开定理计算行列式三、利用展开定理计算行列式按第二列展开按第
10、二列展开1-2311-2-2111-23 =0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18.例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：解：按第一行展开按第一行展开=a11A11+a12A12+a1nA1n D=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0=a12A12+a22A22+a32A32 D解：解：将某行将某行(列列)化为仅有一个非零元素后展开化为仅有一个非零元素后展开例例2计算行列式计算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D=(-1)(-1)3
11、+2 7 1 4 7 -2 -5 1 1 2 6 0 2 9 0 -1 1 1 2=1(-1)2+2 692-1=-6-18=-24.7 0 1 4 7 0 -2 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D=312rr+342rr+21rr 232rr+0000abaaabbaaabaD=12342202020c c c cbaababaabDbaaababa+=+1300010(2)1010r rbabbaaaba=+1 31 0(2)(1)110bba baab+=+例例3.计算行列式计算行列式2 13 11 0(2)0
12、0r rr rbba ba a bbb=+)2()2()2(2ababbbbbaabab+=+=110(2)1010abaabbaaaba=+解：解：2111121111211112=nD 21101210112011112111121111211111+=nD3000230022301111=1222333nnD=+，2)3333(221+=nn213221331+=+=nn(D2=5)解：解：例例4.计算行列式计算行列式113+=nnD1+nD=nijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDjinnnnnnnnnnnnnnnnnn1)(111112313233312223211213
13、12232221321例例5.证明范得蒙（证明范得蒙（Vandermonde）行列式）行列式例如例如,n=4 时时=41)(111134333231242322214321ijjaiaaaaaaaaaaaaaD4=)()(141312aaaaaa=)(.(2423aaaa).(34aa=nijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDjinnnnnnnnnnnnnnnnnn1)(11111231323331222321121312232221321证明：证明：从最后一行起每一行加上前一行的从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得倍，得2113122311333123221123212
14、212312321221131200001111=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD例例5.证明范得蒙（证明范得蒙（Vandermonde）行列式）行列式2113122311333123221123212212312321221131200001111=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21311222212313123232321231311212122123131=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa
15、aaa aaa aaa aaa aaa a 22322223223211312111)()(=nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa21311212313133321231312222123131().1().1().1()()()=()()()()()()nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa a 213111()()()nnaaaaaa D=21311222212313123232321231311212122123131=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aDaa aaa aaa aaa aaa aaa a )11(112=nnnnaaaaD=nijjaiaDn1)(即111312)()(=nnnDaaaaaaD2224231)()(=nnnDaaaaaaD)()(22423.aaaaaan)(221.nnnnaaaa由此推得由此推得=nD)()(11312aaaaaan 1nD2nD2D)(1.nnaa即即 22213)(DaaaaDnnnn=
