高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章-章末检测B（Word版含解析）.zip

试卷第 1 页，共 7 页高中数学人教 A 版（2019）选择性必修第一册第一章章末检测 B高中数学人教 A 版（2019）选择性必修第一册第一章章末检测 B未命名一、单选题一、单选题1平面的一个法向量是1(2n,1,1)3，平面的一个法向量是(3m ,6,2)，则平面与平面的关系是（）A平行B重合C平行或重合D垂直2与向量1,3,2a 平行的一个向量的坐标是()A1,1,13B(-1,-3,2)C1 3-,-12 2D(2,-3,-22)3已知,a b c 是空间的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是（）AaBbC2ab D2ac 4a=（2，1，3），b=（1，4，2），c=（3，2，），若,a b c 三向量共面，则实数等于（）A2B3C4D55如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCDABC D，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（）试卷第 2 页，共 7 页A16AC B1ACBDC向量1BC与1AA的夹角是60D1BD与AC所成角的余弦值为636如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，以下结论错误的是（）A面对角线中与直线 A1D 所成的角为 60的有 8 条B直线 A1D 与 BC1垂直C直线 A1D 与 BD1平行D三棱锥 AA1CD 的体积为16a37如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为（）试卷第 3 页，共 7 页A255B55C510D35108如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径 BC4，ABAC，BAC90，D 为半圆弧的中点，若异面直线 BD 和 AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（）A16+8B32+16C32+8D16+16二、多选题二、多选题9已知向量1,1,0a r，则与a共线的单位向量e（）A22,022B0,1,0C22,022D1,1,0 10已知平面上一点5,0M，若直线上存在点P使4PM，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A1yxB2y C43yxD21yx11在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是（）A四边形11ABC D的面积为1|AB BC B1AD 与1ABuuu r的夹角为 60C221111111()3AAADABAB D11111()0ACABAD 试卷第 4 页，共 7 页12已知 ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A221111111()3()A AADABABB11110ACABA A C向量1AD 与向量1ABuuu r的夹角是 60D正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为1AB AA AD 三、填空题三、填空题13已知()011110)1)1(0(abc，分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对14如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，14,2,4,ABADAA1160,BAADAAABAD，E为1CC的中点，则AE _.15在棱长为 1 的正四面体ABCD中，点M满足1AMxAByACxy AD，点N满足1DNDADB ，当AMDN、最短时，AM MN _16如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点E是侧面11BBC C内的一个动点（不包含端点），若点E满足1D ECE；则BE的最小值为_试卷第 5 页，共 7 页四、解答题四、解答题17如图所示，在三棱柱111ABCABC中，M是1BB的中点，化简下列各式：（1）1ABBA；（2）111ABBCC C ；（3）AMBMCB ；（4）112AAABAM 18如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1PDDC，2BC，M 为BC的中点试卷第 6 页，共 7 页（1）求证：PBAM；（2）求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值19如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设1AAa，ABb，ADcuuu rr，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用,a b c 表示以下各向量：（1）AP ；（2）1MPNC 20如图，在三棱锥PABC中，2AC，4BC，PAC为正三角形，D为AB的中点，ACPD，90PCB.（1）求证：BC 平面PAC；（2）求PD与平面PBC所成角的正弦值.21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB，M是PD中点.试卷第 7 页，共 7 页（1）求直线AD与平面ACM的夹角余弦值；（2）求点P到平面ACM的距离.22如图所示，在三棱柱111ABCABC中，ABAC，ABAC，四边形11BCC B为菱形，2BC，13BCC，D 为11BC的中点（1）证明：11BC 平面1ADB；（2）若12AC，求二面角111CABC的余弦值答案第 1 页，共 20 页参考答案：参考答案：1C【分析】由题设知6mn，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.【详解】平面的一个法向量是1(2n,1,1)3，平面的一个法向量是(3m ,6,2)，6mn，平面与平面的关系是平行或重合故选：C2C【分析】根据向量共线定理判定即可【详解】对于 A，由于11,1,11,3,333，所以与向量a不共线，故 A 不正确对于 B，由题意得向量1,3,2 与向量a不共线，故 B 不正确对于 C，由于1 31,11,3,22 22，所以与向量a共线，故 C 正确对于 D，由题意得向量(2,3,-22)与向量a不共线，故 D 不正确故选 C【点睛】判断两个向量,a b 是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足(0)ab b，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题3D【分析】由基底的定义求解即可【详解】因为a，pab，qab，为共面向量，所以不能构成基底，故 A 错误；因为b，pab，qab，为共面向量，所以不能构成基底，故 B 错误；答案第 2 页，共 20 页因为2ab，pab，qab，为共面向量，所以不能构成基底，故 C 错误；因为2ac，pab，qab，为不共面向量，所以能构成基底，故 D 正确；故选：D4C【分析】由,a b c 三向量共面，则存在唯一的实数对,x y，使得cxayb，即322432xyxyxy ，从而可得答案.【详解】解：因为,a b c 三向量共面，所以存在唯一的实数对,x y，使得cxayb，即3,2,2,1,31,4,2xy，322432xyxyxy ，解得214xy，所以4.故选：C.5B【解析】A选项，计算得16 6AC，所以选项A不正确；B选项，10ACBD ，所以1ACBD，所以选项B正确；C选项，向量1BC与1AA的夹角是120，所以选项C不正确；D选项，1BD与AC所成角的余弦值为66，所以选项D不正确.答案第 3 页，共 20 页【详解】A选项，由题意可知11ACABADAA ，则1122()ACABADAA 212121222ADAAADAB AAAD AAABAB 22236662 6 6 cos602 6 6 cos602 6 6 cos606 ，16 6AC，所以选项A不正确；B选项，BDADAB ，又11ACABADAA ，11()()ACBDABADAAADAB 11AB ADAD ADADAB ABAD AABAAABA 226 6 cos6066 6 cos6066 6 cos606 6 cos600 1ACBD，所以选项B正确；C选项，111BCBBCADBAA，111111()1cos2AAAABADAC AAAAAAD ，向量1BC与1AA的夹角是120，所以选项C不正确；D选项，111BBDADDDAAADB ，ACABAD，设1BD与AC所成角的平面角为，111coscos,BDBDBDACACAC 1221()()66()()AAADAAAABABADABABADD ，所以选项D不正确.故选：B答案第 4 页，共 20 页【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.6C【分析】建立空间直角坐标系利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果【详解】解：如图所示，建立空间直角坐标系A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）C1（0，a，a），D1（0，0，a），1AD （a，0，a），1AB（0，a，a），cos21111111cos222AD ABaAD ABaaADAB ，11120AD AB ，异面直线 A1D，AB1所成角为 60，同理，正方体的六个面中，除了平面 ADD1A1与平面 BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与 A1D 所成角为 60，面对角线中与直线 A1D 所成的角为 60的有 8 条，故 A 正确；1AD （a，0，a），1BC （a，0，a），1AD 1BC 0，直线 A1D 与 BC1垂直，故 B 正确；1AD （a，0，a），1BD （a，a，a），11AD BD 0，直线 A1D 与 BD1垂直，故 C 错误；三棱锥 AA1CD 的体积为：111132A ACDCA ADVVa2a316a故 D 正确答案第 5 页，共 20 页故选：C7A【分析】建立空间直角坐标系，将点 P 到直线 CC1的距离的最小值转化为异面直线 D1E与 CC1的距离，利用空间向量可求得结果.【详解】以 D 为原点，1,DA DC DD分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 E(1,2,0)，D1(0,0,2)，(0,2,0)C,1(0,2,2)C,1(1,2,2)ED ，1(0,0,2)CC ，(1,0,0)CE ,设u(x，y，z)，1uCC,1uED，则1u CC(x，y，z)(0,0,2)0，z0，答案第 6 页，共 20 页1u ED(x，y，z)(1，2,2)220 xyz，y-12x，令 x1，则 y-12，u(1,-12,0)，异面直线 D1E 与 CC1的距离为 d|u CEu 12 551104，P 在 D1E 上运动，P 到直线 CC1的距离的最小值为 d2 55.故选：A.【点睛】关键点点睛：将点 P 到直线 CC1的距离的最小值转化为为异面直线 D1E 与 CC1的距离求解是解题关键.8A【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【详解】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111ADBCO.依题意半圆柱体底面直径4,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点，所以1111,ADBC ADBC且1,O O分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,OOOB OOOA OAOB，以1,OB OA OO 为,x y z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为0h h，则12,0,0,0,2,0,2,0,2,0,BDhABh，所以12,2,2,2,BDhABh ，由于异面直线BD和1AB所成的角的余弦值为23，答案第 7 页，共 20 页所以212212388BD ABhBDABhh ，即2222,16,483hhhh.所以几何体的体积为211244 2 416822 .故选：A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.9AC【分析】根据共线向量的坐标表示逐一代入验证即可.【详解】对 A，存在实数2，使221,1,02,022，且2211,012222，正确；对 B，不存在实数，使1,1,00,1,0，错误；对 C，存在实数2，使221,1,02,022，且2211,012222，正确；对 D，1,1,01 12 ，不是单位向量，错误.答案第 8 页，共 20 页故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查模的坐标表示，是基础题.10BC【分析】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析，分别求出定点M到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于 4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析A因为5 13 242d，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”；B因为24d，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；C因为2220434d，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；D因为1111 5455d，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”故选：BC.11ACD【分析】结合正方体图形，分别对四个选项进行判断即可.【详解】如图答案第 9 页，共 20 页由AB 面11BBC C得1ABBC，所以四边形11ABC D的面积为1AB BC ，故 A 正确；1ACD是等边三角形，160ADC，又11/ABDC，异面直线1AD与1AB所成的夹角为 60，但是向量1AD 与1ABuuu r的夹角为 120，故 B 错误；由向量加法的运算法则可以得到111111AAADABAC ，122113ACAB，221111111()3AAADABAB ，故 C 正确；向量运算可得111111ABADD B，在正方体111ABCDABC D中，11D B 面11AAC C，111D BAC，1110AC D B，故 D 正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查用向量的知识和方法研究正方体中线位置关系以及夹角和面积，属于中档题.12AB【分析】根据正方体 ABCDA1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.【详解】由题意，正方体 ABCDA1B1C1D1如下图所示：由向量的加法得到：111111AADAACAB，221113ACAB，22111()3()ACAB ，所以 A 正确；答案第 10 页，共 20 页1111ABA AAB，AB1A1C，110AC AB ，故 B 正确；ACD1是等边三角形，AD1C60，又A1BD1C，异面直线 AD1与 A1B 所成的夹角为 60，但是向量1AD 与向量1ABuuu r的夹角是 120，故 C 错误；ABAA1，10AB AA ，故1AB AA AD 0，故 D 错误故选：AB130【分析】计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.【详解】因为()01()111010a b，()01()110110a c ，()11()010110b c ，.所以abc，中任意两个向量都不垂直，即，中任意两个平面都不垂直故答案为：0.146【分析】根据112AEABADAA，结合1,AB AD AA向量间的夹角已知，模长已知，两边同时平方，从而求得AE.【详解】设1,ABa ADb AAc因为0,8,4,a ba cb c 答案第 11 页，共 20 页所以2222211|24AEabcabc 236,a ba cb c 解得6.AE故答案为：61513【分析】根据题意得到M 面BCD，N AB，从而求得,AM DN最短时，得到M为BCD的中心，N为AB的中点，求得AM的长，结合12MNMBMA，由向量的运算公式，即可求得AM MN 的值.【详解】解：因为(1)AMxAByACxyAD ，1DNDADB ，可得M 平面BCD，N AB，当,AM DN最短时，AM 面BCD，且DNAB，所以M为BCD的中心，N为AB的中点，如图所示，又因为正四面体的棱长为1，231 cos3033MB ，所以2236193AMACMC，因为AM 平面BCD，所以0AM MB ，因为111222MNANAMABAMMBMAAMMBMA ，所以111222AM MNAMMBMAAM MAAM MB 2211612233AM .故答案为：13.答案第 12 页，共 20 页1651【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设,2,E xz，10,0,2D，0,2,0C，所以1,2,2D Exz，,0,CExz，因为1D ECE，所以22210(2)011D E CExz zxz ，22222(2)(22)(0)44BExzxxz，因为2211xz，所以令cos,1 sinxz，代入上式得：答案第 13 页，共 20 页22cos4cos4(1 sin)2sin4cos62 5sin()6,BE其中tan2(0,)2，所以62 562 55151BEBE，因此BE的最小值为51，故答案为：51【点睛】方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法.17（1）11ABBAAA；（2）1111ABBCC CAC ；（3）AMBMCBAC ；（4）1102AAABAM 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则即可求解.（2）由11ABAB ，利用向量加法的三角形法则即可求解.（3）利用向量减法的运算法则即可求解.（4）利用向量加法、减法的运算法则即可求解.【详解】（1）11ABBAAA（2）111111111ABBCC CABBCC CAC （3）AMBMCBAMMBBCAC （4）1102AAABAMBMABMAABBMMA 18（1）证明见解析；（2）147【分析】（1）以点 D 为原点，依次以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出 0PB AM ，利用数量积即可证明.（2）求出两平面 PAM 与平面 PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦答案第 14 页，共 20 页【详解】解：（1）依题意，棱 DA，DC，DP 两两互相垂直.以点 D 为原点，依次以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，如图，建立空间直角坐标系.则(2,1,0)B，(0,0,1)P，(2,0,0)A，2,1,02M.可得(2,1,1)PB ，2,1,02AM .所以221 002PB AM ，所以PBAM（2）由（1）得到(2,0,0)A，2,1,02M，因此可得2,1,02AM ，(2,0,1)AP .设平面PAM的一个法向量为1(,)nx y z，则由答案第 15 页，共 20 页110,0,nAMnAP 得20,220,xyxz令2 2z，解得1(2,2,2 2)n.同理，可求平面 PDC 的一个法向量2(1,0,0)n .所以，平面 PAM 与平面 PDC 所成的锐二面角满足：1212214cos714 1n nn n .即平面 PAM 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为147.19（1）12acb ；（2）313222abc 【分析】（1）利用空间向量的线性运算，1111APAAA DD P ，再转化为,a b c 表示即可；（2）由112MPMAAPA AAP ，11112NCNCCCBCAA ，再转化为,a b c 表示即可【详解】（1）因为 P 是 C1D1的中点，所以11111112APAAA DD PaADD C 1122acABacb （2）因为 M 是 AA1的中点，所以MPMAAP 111111=()=22222A AAPaacbabc 又11112NCNCCCBCAA 答案第 16 页，共 20 页11122ADAAca 1111313()()+222222MPNCabcacabc 20（1）证明见解析；（2）PD与平面PBC所成角的正弦值为2114.【分析】（1）、取AC的中点O，连接,OD OP，证明OPAC结合ACPD，先证明AC 平面POD，得到ACOD，再证明ACBC，然后证明BC 平面PAC；（2）、以O为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量及PD，利用向量法求线面角.【详解】（1）证明：作AC的中点O，连接,OD OP，因为PAC是正三角形，所以OPAC，又,ACPD PDOPP PD OP平面POD，所以AC 平面POD，又OD 平面POD，所以ACOD，因为ODBC，所以ACBC，又,PCBC PCACC PC AC平面PAC，所以BC 平面PAC；（2）以O为坐标原点,OAODOP、所在直线分别为为,x y z轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，则1,0,0,0,2,0,1,4,0,0,0,3CDBP，所以答案第 17 页，共 20 页1,0,3,0,4,0,0,2,3CPCBPD ，设平面PBC的法向量为,mx y z，则3040m CPxzm CBy ，取3x，则3,0,1m，设PD与平面PBC所成角为，则321sin=14433 1m PDmPD .PD与平面PBC所成角的正弦值为2114.21（1）306；（2）2 63.【分析】由于底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，所以可得,AB AD AP两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【详解】因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD 平面ABCD，所以,PAAB PAAD,因为四边形ABCD为矩形，所以ABAD，所以,AB AD AP两两垂直，所以以A为坐标原点，分别以,AB AD AP所在的直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所以示，因为4PAAD，2AB，M是PD中点，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(0,0,4)ABCDP，(0,2,2)M,所以(2,4,0),(0,2,2)ACAM，设平面ACM的法向量为(,)mx y z，则240220m ACxym AMyz ，令1z，则(2,1,1)m，（1）(0,4,0)AD，设直线AD与平面ACM的夹角为，答案第 18 页，共 20 页则46sin64 4 1 1AD mAD m ，因为0,2所以2630cos1 sin1366，（2）因为(0,0,4)AP ，面ACM的法向量为(2,1,1)m，所以点P到平面ACM的距离为42 636m APdm 22（1）证明见解析；（2）155【分析】（1）证明111ADBC，11BDBC，则11BC 平面1ADB即得证；（2）取BC中点为 E，连结AE，1C E，证明AE平面11BBC C，以 E 为坐标原点，1C E，BE，AE分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）由ABAC，则有1111ABAC，又 D 为11BC的中点，所以111ADBC，由2BC，则有11B D，12BB，答案第 19 页，共 20 页又1113C B BBCC，所以2211112cos33BDB BB DB B B D，则可知11BDBC，又有1ADBDD，1,AD BD 平面1ADB，所以11BC 平面1ADB；（2）取BC中点为 E，连结AE，1C E，由ABAC，则有112AEBC，又易知13C EBD，则有222114AEC EAC，所以1AEC E，又可知AEBC，1AEC EE，1,AE C E 平面11BBC C，则AE平面11BBC C，如图，以 E 为坐标原点，1C E，BE，AE分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，有(0,1,0)C，1(3,2,0)B，1(3,1,1)A，(0,1,0)B，(3,1,0)D，由1/AD AE，则有1AD 平面11BBC C，所以1ADBD，答案第 20 页，共 20 页又11BDBC，111ADBCD，所以BD 平面111ABC，所以平面111ABC的法向量为(3,0,0)BD，设平面111ABC的法向量为n(x,y,z)，则有1100n CBn CA，即330320 xyxyz，可取(3,3,3)n，记二面角111CABC为，则15cos5|n BDnBD.故二面角111CABC的余弦值为155