1、 高三下学期数学二模试卷 高三下学期数学二模试卷一、单选题一、单选题1已知集合或，则（）ABCD或2复数（其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）ABCD3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出 2 粒恰好是不同色的概率是（）ABCD4已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（）A16B27C36D545若点 P 是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交
2、河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A5BC45D7已知是边长为 3 的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球 O 的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（）ABCD8已知函数，若函数的两个零点分别在区间和内，则实数的取值范围为（）ABCD二、多选题二、多选题9某旅游景点 2021 年 1 月至 9 月每月最低气温与最高气温（单位：）的折线图如图，则（）A1 月到 9 月中，最高气温与
3、最低气温相差最大的是 4 月B1 月到 9 月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系C1 月到 9 月的最高气温与最低气温的差逐步减小D1 月到 9 月的最低气温的极差比最高气温的极差大10已知函数，则下列说法正确的是（）A函数的最小正周期为B点是图像的一个对称中心C的图像关于直线对称D在区间单调递减11已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（）A函数的定义域为B函数为非奇非偶函数C过点且与图象相切的直线方程为D若，则12已如斜率为 k 的直线 l 经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点，且 M，N 两点在 y 轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命
4、题的是（）A为定值B为定值Ck 的取值范围为D存在实数 k 使得三、填空题三、填空题13记为等比数列的前 n 项和若，则 14已知，则 15设，则 16设函数，点在图象上，点为坐标原点，设向量，若向量，且是与的夹角，则的最大值是 四、解答题四、解答题17已知数列的前 n 项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 n 项和18已知在中，A，B，C 为三个内角，a，b，c 为三边，（1）求角 B 的大小；（2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出 BC 边上的中线的长度的面积为；的周长为19如图，平面平面 CEFG，四边形 CEFG 中，点 E 在正方形ACDE 的外部，且，（1）
5、证明：；（2）求二面角的余弦值20我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为 30的概率为，收益率为-10的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为 30的概率为 0.4，收益率为-20的概率为 0.1，收益率为零的概率为0.5附：收益投入的资金获利的期望；线性回归中，（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4 年累计投资数据如下表：年份 x20182019202020211234累计投资金额 y（单位：
6、亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到 0.75 亿元21设椭圆为左右焦点，为短轴端点，长轴长为 4，焦距为，且，的面积为.()求椭圆的方程()设动直线椭圆有且仅有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标，若不存在.请说明理由.22已知函数，（1）若函数在区间内单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）若，且，求证：答案解析部分答案解析部分1【答案】B2【答案】B3【答案】D4【答案】D5【答案】A6【答案】B7【答案】C8【答案】A9
7、【答案】B,D10【答案】A,C,D11【答案】B,C12【答案】A,C,D13【答案】14【答案】15【答案】916【答案】17【答案】（1）解：当时，所以，当时，（1），（2），由（1）（2）得，即，所以是首项，公比为的等比数列，故（2）解：由（1）得，所以.18【答案】（1）解：，则由正弦定理可得，解得（2）解：若选择（1），由（1）可得，即则，解得，则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：19【答案】（1）证明：正方形 ACDE 中，平面平面 ABCDE，
8、交线为 CE，所以平面 CEFG，又平面 CEFG，所以（2）解：以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以点 B 到 AC 的距离为 1，则，所以，设平面 BFG 的法向量为，则，即，令，得为平面 CEFG 的一个法向量，所以，故二面角的余弦值为20【答案】（1）解：若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为0.3-0.1Pp所以若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为0.3-0.20P0.40.10.5所以因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以，所以因为，所以，这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目（2）解
9、：，则，故线性回归方程为设该公司在芯片领域的投资收益为 Y，则，解得，故在 2022 年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过 0.75 亿元21【答案】解：()由题意知，解得：，故椭圆 C 的方程是()由得(4k23)x28kmx4m2120因为动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M(x0，y0)，所以 m0 且 0，即 64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得 4k2m230.(*)此时 x0，y0kx0m，所以 M(由得 N(4，4km)假设平面内存在定点 P 满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x 轴上设 P(x1，0)，则对满足(*)式的 m、k 恒成立因为(，(4x1，4km)，由，得-4x1x1230，整理，得(4x14)x 4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的 m，k 恒成立，所以解得 x11.故存在定点 P(1，0)，使得以 MN 为直径的圆恒过点 M.22【答案】（1）解：因为的定义域为，所以，若函数在区间递增，则在上恒成立，即在上恒成立，则只需，令，则，当时，单调递减，即在时取得最小值 9，所以，所以 a 的取值范围为（2）证明：令，则，由，且，得，所以，所以要证成立，只需证，即，即成立即可，令，则需证，由（1）可知时，函数在单调递增，所以，所以成立，所以
