1、第一章第一章 函数与极限习题课函数与极限习题课(二二)函数的连续性函数的连续性 一、函数连续的基本概念一、函数连续的基本概念 1函数连续的定义函数连续的定义)()(lim)(lim00000 xfxfxfxxxx （1）)(xf在在 点连续点连续:0 x)()(lim00 xfxfxx （2）)(xf在在 点左连续点左连续:0 x)()(lim000 xfxfxx )()(lim000 xfxfxx )(xf2.在在 连续的充要条件连续的充要条件:0 x右连续右连续:（3）)(xf在区间上连续：在在区间上连续：在),(ba每一点都连续，叫做在每一点都连续，叫做在),(ba连续；如果同时在连续；
2、如果同时在 右连续，在右连续，在 左连续左连续,则叫做在则叫做在 连续连续.b,baa3函数连续与极限的关系函数连续与极限的关系 极限存在极限存在连续连续 4间断点的分类间断点的分类 间断点间断点 第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点 可去间断点：可去间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：)(lim)(lim0000 xfxfxxxx )(lim)(lim0000 xfxfxxxx 无穷间断点：无穷间断点：振荡间断点：振荡间断点：（左右极限都存在）（左右极限都存在）（左右极限至少（左右极限至少有一个不存在）有一个不存在）左右极限至少有一个是左右极限至少有一个是 二、连续函数的运算法则二、
3、连续函数的运算法则 1若若 都连续都连续;则则 也连续也连续.)(),(xgxf)()(xbgxaf 2若若 都连续都连续;则则 也连续也连续.)(),(xgxf)()(xgxf 3若若 都连续都连续;则则 也连续也连续(时时).)(),(xgxf)()(xgxf0)(xg 4复合性质：复合性质：若若 在点在点 连续连续;在在)(xgu 0 xx )(ufy )(0 xgu 连续连续,则则 在在 连续连续.)(xgfy 0 xx 连续连续在在,)(baxf三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 Cfba )(),(使使0)(),(fba使使BCABbfAaf )(,)(最值定理最
4、值定理介值定理介值定理零点定理零点定理有界性定理有界性定理MxfmbaxMm )(,有有最大值最大值最小值最小值0)()(bfafKxfbaxK|)(|,0有有四、典型例题四、典型例题 分析分析 求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。解：解：)11(lim11lim)1(00 xxxxxxxxxxsinlnlim)2(001lnsinlimln0 xxx【例【例1】求下列极限：】求下列极限：(1)(2)xxx11lim0 xxxsinlnlim021111lim0 xx分析分析 只须证明只须证明 即可即可.)0()(lim0fxfx)0(22l
5、im)21ln(lim)(lim000fxxxxxfxxx 又又 ，故当故当 时时,在在 处连续处连续.af)0(2 a)(xf0 x【例【例2】设】设 ,试确定常数试确定常数 ,使得使得 0 ,0,)21ln()(xaxxxxfa)(xf在在 连续。连续。0 x解解:要使要使 在在 连续，连续，只需只需0 x)(xf【例【例3】设设 要使要使 在在 内连续，内连续，,0,0,1sin)(2 xxaxxxxf)(xf),(试确定试确定 的值。的值。a0 x分析分析 在在 和和 内均连续，因此只需讨论在分界点内均连续，因此只需讨论在分界点)(xf0 x0 x处的连续性。处的连续性。解：因为解：因
6、为01sinlim)(lim00 xxxfxxaxaxfxx )(lim)(lim200已知已知 在在 内连续，所以在内连续，所以在 处连续，则有处连续，则有)(xf),(0 x)0()(lim)(lim00fxfxfxx 所以所以0 a【例【例4】求函数】求函数 的间断点，并指出间断点的类型。的间断点，并指出间断点的类型。23122 xxxy解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为)1)(2(1231222 xxxxxxy所以所以 为间断点。为间断点。1,2 xx而而 )1)(2(1lim231lim22222xxxxxxxx所以所
7、以 为第二类无穷间断点。为第二类无穷间断点。2 x2)1)(2(1lim231lim21221 xxxxxxxx 所以所以 为第一类可去间断点。为第一类可去间断点。1 x【例【例5】设】设,01,)1ln(0,)(11 xxxexfx求求 的间断点的间断点,并并)(xf说明间断点所属类型。说明间断点所属类型。解解:由由 的表达式的表达式,间断点只能在无定义的点或分界点处间断点只能在无定义的点或分界点处)(xf所以所以 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点.1 x当当 时时,1 x所以所以 是第一类跳跃间断点是第一类跳跃间断点.0 x 1111lim)(limxxxexf当当 时，时，1 x0)
8、1ln(lim)(lim,lim)(lim0011100 xxfeexfxxxxx证明证明:令令,34)(47 xxxxf【例【例6】证明方程】证明方程 在区间在区间 内至少有一个根内至少有一个根.3447 xxx)1,0(则则 在在 上连续上连续,)(xf1,001)1(,03)0(ff又又0)(f由零点定理，至少由零点定理，至少 ,使得使得)1,0(即即.3447 分析分析 如果令如果令 ，那么证明方程，那么证明方程 有根等价于有根等价于 有零点，因此可用零点定理证明。有零点，因此可用零点定理证明。34)(47 xxxxf3447 xxx)(xf所以方程所以方程 在区间在区间 内至少有一个
9、根内至少有一个根.3447 xxx)1,0(证明证明:令令)()()(xfaxfxF ;0)0()()()0(2 fafaFF【例【例7】设】设 在在 上连续上连续,且且 证明在证明在 )(xf2,0a),2()0(aff,0a内至少存在一点内至少存在一点 ,使使 .)()(aff 显然显然 在在 上连续上连续,已知已知)(xF,0a).2()0(aff);()0()(),0()()0(affaFfafF 故故则当则当 时时,可取可取 或或 .0)0()(fafa 0 而当而当 时时,0)0()(faf由零点定理，至少由零点定理，至少 ,使得使得),0(a 0)(F分析分析 如果令如果令 ，那
10、么证明等式，那么证明等式 成立等价于成立等价于 有零点，因此可用零点定理证明。有零点，因此可用零点定理证明。)(xF)()()(xfaxfxF )()(aff 即即 .)()(aff 分析分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间.解：函数为初等函数，解：函数为初等函数，【例【例8】求函数】求函数 的连续区间，若有间断点，指出的连续区间，若有间断点，指出xxey1 间断点的类型间断点的类型.为其间断点。为其间断点。0 x xxxxxxxeee10010limlimlim因为因为所
11、以所以 为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点.0 x所以连续区间为所以连续区间为 和和),0()0,(0limlimlim10010 xxxxxxxeee分析分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。【例【例9】*求函数求函数 的所有间断点，并指出类型。的所有间断点，并指出类型。xxxxfnnn2211lim)(解解:当当 时，时，1|xxxxxxfnnn 2211lim)(当当 时，时，1|xxxxxxxxxfnnnnnn 1111lim11lim)(2222当当 时，时，1|x011lim)(22 xxxxfnnn 1,01,1,)(xxxxxxf所以所以1lim)(lim11 xxfxx1)(lim)(lim11 xxfxx故故 是是 的跳跃间断点的跳跃间断点;1 x)(xf 故故 也是也是 的跳跃间断点的跳跃间断点;1 x)(xf1)(lim)(lim11 xxfxx因为因为1lim)(lim11 xxfxx因为因为
