1、微分方程 yxfy求已知,)(积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含,微分方程问题微分方程问题 推广 第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念()()()yP x yQ x yf x(1)000101(),(),()nny xy y xyyxy12(,)nyc cc第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 齐次方程齐次方程(,)d(,)d0P x yxQ x yy1122()()d()()d0M x N yxMx Nyy2112()()dd()()NyM xyxN yMx(ee)d(ee)d0 x yyx yxxy(e1)e d(e1)e d0 xyyxxye(e)
2、yxyxC e1e1ddeeyxyxyxe(e)yxyxC第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 齐次方程齐次方程d()dyygxx,yu yuxxdd,dduuuxxxd()duxg uuxd()dug uuxx第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 齐次方程齐次方程第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 齐次方程齐次方程第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 齐次方程齐次方程d()()dyP x yQ xx第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程()dd()edP xxyP x yyCx()d()eP xxyC x令为非
3、齐次方程的特解()d()d()e()()eP xxP xxyC xC x P x()d()()edP xxC xQ xxC2d11dyyxxx11dd21e(ed)xxxxyCxx()d()de()ed)P xxP xxyQ xxC211(),()P xQ xxx211(d)Cxxxxln xCx第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解
4、法解法(线性方程)第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解 令,1 yz则方程变形为则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1(ln)eaxxxd1Cx d2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程令,)1(nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,)(xf21CxC)()(xfyn型的微分方程型的微分方程 第四节
5、第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程2ecos.xyx 求解解解 21ecosdxyxxC211esin2xxC21e4xy 21e8xy 1121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设,)(xpy,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解 ),(xpy 设,py 则代入方程得px
6、px2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy,12C得133xxy因此所求特解为第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分,得原方程的通解21),(dCxCyy第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程.02 yyy代入方程得,0dd2 pyp
7、pyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为12eC xyC解解),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程解解 令02 yey,00 xy01.xy),(ypy,ddyppy 则代入方程得2dedyppy积分得22111e22ypC利用初始条件,0100 xyyp,01C得根据dedyypx积分得2e,yxC,00 xy再由12C得故所求特解为1 eyx得第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面)0(
8、)(xxy设函数二阶可导,且,0)(xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0,x 上以,2S记为)(xy,1221 SS且)(xyy 求解解,0)(,1)0(xyy因为.0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,1)0(y积记为(99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程再利用 y(0)=1 得利用,1221 SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导,得2)(yyy 定解条件为)0(,1)0(yy),
9、(ypy 令方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得,11C,yy 再解得2e,xyC,12C故所求曲线方程为exy 2ddpyppy12SPxy1S1oyx第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程可降阶微分方程的解法 降阶法)(.1)(xfyn逐次积分),(.2yxfy 令,)(xpy xpydd 则),(.3yyfy 令,)(ypy yppydd 则第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程小结小结为二阶线性微分方程.,)()()(xfyxqyxpy)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(
10、xf时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:()d()de()edP xxP xxQ xx()deP xxyC非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC(叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理
11、定理 第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn,0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无
12、关.例如，,sin,cos,122xx在(,)上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk321,kkk必需全为 0,2,1xx故在I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0,则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21,yy可微函数线性无关第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二
13、阶线性微分方程解的结构)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如例如,方程0 yy有特解,cos1xy,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证)xytan21y为任意常21,(CC第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 )()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解.证证 将)(*)(xyxYy代入方程左端,得)*(yY)*()(yYxP)*)(*)(*(yxQy
14、xPy)()(YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程xyy 有特解xy*xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解.第五节第五节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构),(0为常数qpyqypy er xy 和它的导数只差常数因子,代入得2()e0r xrprq 02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,(1)当042qp时,有两个相异实根,21r,r
15、方程有两个线性无关的特解:11e,r xy 22e,r xy 因此方程的通解为1212eer xr xyCC(r 为待定常数),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.第六节第六节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程因为r为常数时，函数 erx042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解(u(x)待定)代入方程得:1er x)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u=x,则得12e,r xyx因此原方程的通解为112()er xyCC x,2p11e.r xy 1e()r xu x0)()2(1
16、211 uqrprupru第六节第六节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程042qp时,特征方程有一对共轭复根12i,irr这时原方程有两个复数解:(i)1exye(cosi sin)xxx(i)2exye(cosi sin)xxx1121()2yyy2121()2iyyyecosxxesinxx因此原方程的通解为12e(cossin)xyCxCx 利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:第六节第六节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程若特征方程含 k 重复根i,r若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项112()ekr xkCC xC x112e()cosxk
17、kCC xC xxsin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC第六节第六节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程032 yyy求方程的通解.解解 特征方程,0322rr特征根:,3,121rr通解为312eexxyCC例例 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解 特征方程0122rr有重根,121 rr因此通解为12()etsCC t，利用初始条件得,41C于是特解为(42)etst22C第六节第六节 常系数齐次线性微分方程常系数
18、齐次线性微分方程052)4(yyy求方程解解 特征方程,052234rrr特征根:123,40,1 2irrr xCCy2134e(cos2sin2)xCxCx例例.0)4()5(yy解方程解解 特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xC5exC(不难看出,原方程有特解231,e)xx xx第六节第六节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程的通解),(0为常数qpyqypy 特征根:21,rr(1)当时,通解为1212eer xr xyCC21rr(2)当时,通解为112()er xyCC x21rr(3)当时,通解为12e(cos
19、sin)xyCxCx1,2ir可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.第六节第六节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程小结小结)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程)(xQex)()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx()e()xmf xP x型型 为实数,)(xPm设特解为*e(),xyQ x其中 为待定多项式,
20、)(xQ*e()()xyQ xQ x2*e()2()()xyQ xQ xQx代入原方程,得)(xQ(1)若 不是特征方程的根,02qp即),(xQm从而得到特解形式为*e().xmyQx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程(2)若 是特征方程的单根,02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为*()exmyxQx(3)若 是特征方程的重根,02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为2*()exmyx Qx小结小结 对方程,*()e(0,1,2)k
21、xmyx Qxk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程1332 xyyy求方程的一个特解.解解 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程256exyyyx求方程的通解.解解 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程
22、的通解为2312eexxYCC设非齐次方程特解为201*()exyx b xb比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为122*(1)e.xyxx3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为2312eexxyCC1222()e.xxx,2第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 0)0()0()0(123yyyyyy解解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得,12b故,*21xy0321CCC21322CC2,1,0321rrr故对应齐次方程通解为1CY 2exC23exC原方程通解为x211Cy 2ex
23、C23exC由初始条件得0432CC,0第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程于是所求解为2311ee442xxyx 解得21(324ee)4xxx 41 143321CCC第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程()e()cos()sinxlnf xP xxP xx型型(i)()()exmf xP x(i)()exmP x第二步第二步 求出如下两个方程的特解(i)()exmypyqyP x yqypy分析思路:第一步第一步 将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点(i)()exmP x第七节第
24、七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程利用欧拉公式将 f(x)变形()exf x()()22ilnP xP x(i)ex()()22ilnP xP x(i)ex(i)()()exmf xP x(i)()exmP x(i)()exmP x(i)()exmP x则令,maxlnm)(xPliiee2xx)(xPniiee2ixx第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程i是特征方程的 k 重根(k =0,1),(i)1()ekxmyx Qx)(次多项式为mxQm故(i)111()()()exmyp yq yP x等式两边取共轭:(i)111()exmyp yq
25、yP x1y这说明为方程 的特解.(i)()exmypyqyP x(i)()exmypyqyP x设则 有特解:第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程 yqypye()cos()sinxlnP xxP xxxRmcosxRmsin11*yyye kxxiieexxmmQQekxx(cosi sin)mQxx(cosi sin)mQxxe kxxmmRR,其中均为 m 次多项式.第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程的特点y11ecossinkxmmyyyxRxRx因11yy*yy所以mmRR,因
26、此均为 m 次实多项式.11yyy本质上为实函数,11yy第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程e()cos()sinxlnP xxP xx对非齐次方程yqypy),(为常数qp*ecossinkxmmyxRxRx则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程xxyy2cos 求方程的一个特解.解解 本题 特征方程,2,0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i 代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2si
27、n)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(xPn比较系数,得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程xxyy3sin303cos189 求方程的通解.解解 特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数,得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32,1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根,3i)3
28、sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程1.()exmyp yq yP x 为特征方程的 k(0,1,2)重根,*()ekxmyx Qx则设特解为2.e()cos()sinxlnypyqyP xxP xx为特征方程的 k(0,1)重根,i*ekxyx则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.第七节第七节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第八节第八节 欧拉方程欧拉方程D()1(1)11()nnnnnnx yp xypxyp yf
29、 x12,nppp形如的方程称为欧拉方程欧拉方程，其中为常数.ddt如果来用记号表示对自变量求导的运算有()D(D1)(D1)kkx yky 由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一变量的函数的情形.这些联立的微分方程称为微分方程组微分方程组.如果微分方程组中的每一个方程都是常系数线性微分方程，则称这种微分方程组为常系数线常系数线性微分方程组性微分方程组.第九节第九节 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组第九节第九节 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组第九节第九节 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组衰变问题衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量,这种
30、现象称为放射性物质的衰变.根据实验得知,衰变速度与现存物质的质量成正比,求放射性元素在时刻的质量.第十节第十节 微分方程组的应用举例微分方程组的应用举例tt用x表示该放射性物质在时刻t的质量,则ddxt表示x在时刻的衰变速度,于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为d.dxkxt 这是一个以为未知函数的一阶方程,它就是放射性元素衰变的数学模型,其中0k 是比例常数,称为衰变常数衰变常数.x第九节第九节 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组第十节第十节 微分方程组的应用举例微分方程组的应用举例新产品的推广模型新产品的推广模型第十节第十节 微分方程组的应用举例微分方程组的应用举例第十节第十节 微分方程组的应用举例微分方程组的应用举例价格调整模型价格调整模型第十节第十节 微分方程组的应用举例微分方程组的应用举例第十节第十节 微分方程组的应用举例微分方程组的应用举例(雅各布第一 伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.
