1、xO(b)xry1D22yrx图图9-22y(a)rxzrO一一 、体体积积 我们在本章第一节中已经知道，若我们在本章第一节中已经知道，若(,)zf x y在有界闭区在有界闭区域域D上连续，且上连续，且(,)0f x y，则二重积分，则二重积分(,)dDf x y 在几何上解释为以在几何上解释为以(,)zf x y为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积.例例 1 1 求求两两个个底底圆圆半半径径相相等等的的直直交交圆圆柱柱所所围围立立体体的的体体积积.2222222222100003222300dddd2()d33rxrrxrDrrVrxxrxyrxyxxrxxr xr 故故 311683VVr 解
2、解 设设圆圆柱柱底底圆圆半半径径为为 r，两两个个圆圆柱柱面面方方程程分分别别为为222xyr及及222xzr.由由立立体体对对坐坐标标面面的的对对称称性性，所所求求体体积积是是它它位位于于第第一一卦卦限限那那部部分分（图图 9-22（a）的的体体积积 1V的的 8倍倍.立立体体在在第第一一卦卦限限部部分分的的积积分分区区域域 1D为为0 xr，220yrx（图图 9-22（b）,它它的的曲曲顶顶为为22zrx，于于是是 azyxDO(a)图9-23(b)2aOaxycosracos222222100dddaDVaxyar r r333202(1 sin)d()3323aa31424()323
3、aVV故故 在第六章讨论定积分的作用时，将许多求总量的问在第六章讨论定积分的作用时，将许多求总量的问题归结为用定积分的元素法来建立所求量题归结为用定积分的元素法来建立所求量U的定积分表的定积分表达式，现在我们把元素法推广到二重积分应用中达式，现在我们把元素法推广到二重积分应用中.设所求设所求量量 U 对区域对区域 D 具有可加性，且在区域具有可加性，且在区域 D 中任取一个小中任取一个小区域区域d时，相应的部分量时，相应的部分量U可以近似地表示为可以近似地表示为(,)df x y，称，称d(,)dUf x y为所求量为所求量 U 的的积分元素积分元素，以它作为被积表达式，在有界闭区域以它作为被
4、积表达式，在有界闭区域 D 上，积分上，积分(,)dDUf x y 就是所求量的就是所求量的积分表达式积分表达式.*二、二、曲面的面积曲面的面积 例例如如，设设有有界界曲曲面面 S 由由显显示示方方程程(,)zf x y给给出出，xyD是是曲曲面面 S 在在xOy面面上上的的投投影影区区域域，函函数数(,)f x y在在xyD上上有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.曲曲面面 S 的的面面积积 A.由由元元素素法法，在在区区域域xyD内内任任取取一一个个小小区区域域 d，同同时时 d也也表表示示这这个个小小区区域域的的面面积积.在在 d内内任任取取一一点点(,)P x y，对对应应 地地在在曲曲面
5、面 S 上上有有一一点点,(,)M x y f x y，设设点点 M 处处的的切切平平面面为为（图图 9-24）.以以小小区区域域 d的的边边界界曲曲线线为为准准线线，平平行行于于 z 轴轴的的直直线线作作为为母母线线作作柱柱面面，此此柱柱面面在在曲曲面面 S 上上截截下下一一小小块块曲曲面面，由由于于 d很很小小，故故可可用用在在切切平平面面上上截截下下的的一一小小块块面面积积 dA作作为为 A的的近近似似值值，有有 ddcosA 其中其中 r 为点为点 M 处的法线处的法线 z 轴的夹角（即切平面与轴的夹角（即切平面与xOy面的夹角）面的夹角）.因为因为 221cos1(,)(,)xyrf
6、x yfx y 故故 22d1(,)(,)dxyAfx yfx y 图 9-24 dd p dA M s O y z x 这就是曲面面积元素，于是有这就是曲面面积元素，于是有 221(,)(,)dxyDAfx yfx y，（1）故故 221d dxyDzzAx yxy.若曲面的方程为若曲面的方程为(,)xy z或或(,)yz x，同理可得，同理可得 221d dyzDxxAy zyz，（2）或或221d dzxDyyAyz xzx （3）解解 由对称性，球面在第一卦限部分的面积的由对称性，球面在第一卦限部分的面积的 8 倍即倍即为所求的表面积为所求的表面积 A.在第一卦限内球面方程为在第一卦限
7、内球面方程为222zRxy，投影区域，投影区域D：222,0,0 xyRxy，又又222222,zxzyxyRxyRxy，于是所求的，于是所求的表面积表面积 2281dDzzAxy=222D8d dRx yRxy 2222220008dd44RRRr rRRrRRr 解解 由对称性知，所求面积由对称性知，所求面积 S 是它在第一卦限内是它在第一卦限内面积的面积的 4 倍（图倍（图 9-23），在第一卦限内球面方程为），在第一卦限内球面方程为 222zaxy 由由 222,zxxaxy 222zyyaxy，故得故得 22222D41d d=4d dDzzSx yxyax yaxy 利利用用极极坐
8、坐标标，得得 coscos2222220000d44daaar rS=dq=a-a-ra-r 2204cos2(2).a aaa 由由力力学学知知道道，n个个质质点点的的质质心心坐坐标标为为 1111,nniiiiyixinniiiim xm yMMxymmmm 其其中中im第第 i 个个质质点点的的质质量量，1111,nniiiiyixinniiiim xm yMMxymmmm分分别别是是质质点点系系对对 x 轴轴和和 y 轴轴的的静静力力矩矩，1niimm是是质质点点系系的的总总质质量量.设有一平面薄片，它位于设有一平面薄片，它位于xOy面内区域面内区域 D 上，在上，在点点(,)x y处
9、的面密度为区域处的面密度为区域D上的连续函数上的连续函数xy（，），现，现求它的质量和质心坐标求它的质量和质心坐标.在区域在区域 D 上任取一个小区域上任取一个小区域d(d同时也表示此同时也表示此小区域的面积），在小区域的面积），在 d上任取一点上任取一点(,)x y.由于由于 d很小，很小，x,y（）又在又在 D 上连续，所以相应于上连续，所以相应于 d的部分薄片的质的部分薄片的质量近似等于量近似等于xy（，）d，即，即dmxy（，）d，平面薄，平面薄片的质量为片的质量为 Dmxy（，）d （4）同同理理，相相应应于于d的的部部分分薄薄片片对对 x 轴轴和和 y 轴轴的的静静力力矩矩近近似似
10、等等于于d(,)dy myx y和和d(,)dx mxx y，即即d(,)dxMyx y，d(,)dyMxx y于于是是，平平面面薄薄片片对对 x 轴轴和和 y 轴轴的的静静力力矩矩为为(,)dxDMyx y，(,)dyDMxx y，所所以以，平平面面质质心心的的坐坐标标为为(,)d,(,)dyDDxx yMxmx y(,)d,(,)dxDDyx yMymx y （5）如果平面薄片是均匀的，即如果平面薄片是均匀的，即xy（，）=常数，则常数，则均匀平面薄片的质心坐标为均匀平面薄片的质心坐标为 1dDxxA，1dDyyA，（6）其中其中DAd为闭区域为闭区域 D 的面积的面积.这时平面薄片这时平
11、面薄片的质心坐标与密度无关，而全由闭区域的质心坐标与密度无关，而全由闭区域 D 的形状所决的形状所决定定.我们把（我们把（6）式所）式所确定的点确定的点(,)x y称为平面图形称为平面图形 D 的的形心形心.例例5 5 一一圆圆环环薄薄片片由由半半径径为为4和和8的的两两个个同同心心圆圆所所围围成成，其其上上任任一一点点的的面面密密度度与与该该点点到到圆圆心心的的距距离离成成反反比比，已已知知在在内内圆圆周周上上各各点点处处的的面面密密度度为为 1，求求圆圆环环薄薄片片的的质质量量.解解 如如图图 9-25 所所示示，积积分分区区域域 D 是是222248xy，圆圆环环薄薄片片的的质质量量 m
12、 为为 dDm=(x,y)因因 为为22(,)kx yxy，且且14k，所所 以以4k，224xy故故所所求求质质量量 28220444ddd32Dmr rrxy y x O 图图 9 92525 图图 9-26 x O y D 4 3 解解 由由图图 9-26 知知图图形形关关于于 x 轴轴对对称称，故故0y.由由公公式式（6）得得 1dDxxA A 为为两两圆圆面面积积之之差差，故故227(43)44A，利利用用极极坐坐标标计计算算，得得 4cos4cos232203cos03cos224202d d2dcos dcosrd3237 =(43)cosd=38Dx x yrr 内容小结内容小结1.求立体体积求立体体积作业作业P92 1,2,3*2.求曲面的面积求曲面的面积3.求质量与质心求质量与质心
