1、高 等 数 学 第三章第三章 导数的应用导数的应用第一节微分中值定理第五节函数的最大值与最小值第六节曲线的凹凸性和拐点第七节函数图像的描绘洛必达法则第二节函数的单调性第三节函数的极值第四节第八节导数在经济管理中的应用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理中值定理是微积分学的重要理论基础，因而又把它称为微分学基本定理，微分中值定理包括三个定理，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。这里我们只介绍罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。定理3-1(罗尔定理）若函数f(x)满足如下条件：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间a,b内可导；(3)在区间两端点的函数值相等,即f(a)=f(b)；第
2、一节第一节 微分中值定理微分中值定理定理的几何意义如图3-1所示,若连续曲线除端点外处处都有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等，那么曲线上至少有一条平行于x轴的切线,显然斜率为零的点C至少有一个。图3-1第一节第一节 微分中值定理微分中值定理罗尔定理的物理解释：物体从上抛回落到初始位置的过程中，总要达到最高点，在该点处瞬时速度等于零，即位移函数的导数等于零。定理的几何意义如图3-2所示。图3-2第一节第一节 微分中值定理微分中值定理拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称为微分中值定理,它是沟通函数与其导数的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具。在拉格朗日定理中,如果再
3、增加函数在两端点的值相等的条件,则定理的结论正是罗尔定理的结论。可见,罗尔定理是拉格朗日定理的特例。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第二节第二节 洛必达法则洛必达法则前面我们已经介绍过利用极限的运算法则、函数的连续性和两个重要极限求极限的方法，本节将介绍利用导数作工具，求一种特殊形式极限的计算方法，即用洛必达法则来求极限。我们常常会遇到这样形式的极限，即在自变量的同一变化过程中，如当xx0(或x)时,两个函数f(x)和g(x)都趋于零,或都趋于无穷大。第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第二节第二节 洛必达法则洛必达法
4、则第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三节第三节 函数的单调性函数的单调性用初等数学的方法可以研究一些函数的单调性和某些简单函数的极值及其最大值和最小值，但是这些方法使用范围狭小，往往还需要借助一些特殊技巧，因而不具有一般性。后面几节将陆续介绍以导数为工具来解决上述几个问题的既简便又具有一般性的方法。第三节第三节 函数的单调性函数的单调性定理3-5的几何意义是：如果曲线y=f(x)在区间a,b内的切线与x轴正向夹角是锐角,则曲线y=f(x)在区间a,b内上升；若夹角是钝角,则曲线y=f(x)在区间a,b内下降。如图3-3所示。图3-3第三节第三节 函数的单调性函数的单调性例3-18 讨论函数f
5、(x)=1sinx+x在(,+)上的单调性。解 在(,+)内，f(x)=1cosx0，由定理可知，函数f(x)=1sinx+x在(,+)上是单调递增的。图3-4第三节第三节 函数的单调性函数的单调性例3-19 讨论函数y=exx1的单调性。解 定义域D(,+),y=ex1当x=0时，y=0在(,0)内，y0,则函数单调递增。图3-5第三节第三节 函数的单调性函数的单调性当x=0时，导数不存在；当x0时，f(x)0,所以在(,0)上单调递减；当0 x0,所以在(0,+)上单调递增。图3-6第三节第三节 函数的单调性函数的单调性例3-21 求函数f(x)=x33x29x+1的单调区间。解 (1)定
6、义域是(,+)；(2)f(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f(x)=0，得x1=1,x2=3，无不可导点，它们将定义区间分为三个子区间：(,1),(1,3),(3,+)；(3)因为当x(,1)及x(3,+)时，f(x)0，当x(1,3)时，f(x)0，所以(,1)和(3,+)是f(x)的递增区间，(1,3)是f(x)的递减区间。第三节第三节 函数的单调性函数的单调性第三节第三节 函数的单调性函数的单调性第三节第三节 函数的单调性函数的单调性第四节第四节 函数的极值函数的极值定义3-1 设函数f(x)在点x0及其附近有定义。如果对于点x0附近的任意点x,都有f(x)f(x0)成立,那么
7、f(x0)称为函数f(x)的一个极小值,x0称为函数f(x)的极小值点。第四节第四节 函数的极值函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点。如图3-7所示。图3-7第四节第四节 函数的极值函数的极值函数的极值总是在某点的附近进行讨论的，它是一个局部性的概念，一个函数可能有若干个极大值和极小值，而且有时极小值可能比极大值更大，如图有 f(x6)f(x2)第四节第四节 函数的极值函数的极值定理3-6 设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么该函数在x0处的导数为零,即f(x0)=0。如图3-8所示。图3-8第四节第四节 函数的极值函数的极值定理3-
8、7(极值判别法1)设函数f(x)在点x0的左右附近可导。(1)如果当x取x0左侧邻近的值时,f(x)恒为正；当x取x0右侧邻近的值时,f(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧邻近的值时,f(x)恒为负；当x取x0右侧邻近的值时,f(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧邻近的值时,f(x)符号不变,那么函数f(x)在x0处没有极值。第四节第四节 函数的极值函数的极值第四节第四节 函数的极值函数的极值例3-28 求函数f(x)=x3+3x224x20的极值。解 (1)定义域(,+),(2)f(x)=3x2+6x24=3(x
9、+4)(x2).令f(x)=0，求得驻点x1=4,x2=2,无一阶导数不存在的点。(3)f(x)=6x+6.f(4)=180,故有极小值f(2)=48。第五节第五节 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值在实际应用中常讨论最优化问题，例如，在一定条件下要求获得最大的经济效益，用一定的材料制造容量最大的容器等。因而求最大值、最小值问题在工程技术、国民经济以及自然科学和社会科学等领域都有着广泛应用的现实意义。函数的最大值、最小值（统称为最值）与极大、极小值概念是不同的。极值是局部性的概念，而最值是所讨论区间上的一个整体概念。第五节第五节 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值由连续函数的性质可
10、知,闭区间a,b上的连续函数一定有最大值与最小值存在。显然,如果其最大值与最小值在开区间a,b内取得,那么对可导函数来说最大值点与最小值点必在驻点之中。然而,有时函数的最大值与最小值可能在区间的端点处得到,因此,应求出f(x)在a,b内的全部驻点处的值及f(a)和f(b)(如遇到连续而不可导的点,还要算出不可导点的函数值),将它们加以比较,其中最大者即为函数f(x)在a,b上的最大值,最小者即为f(x)在a,b上的最小值。第五节第五节 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值例3-30 求函数f(x)=2x3+3x212x+14在3,4上的最值。解 f(x)=6x2+6x12=6x+2x1.令
11、f(x)=0,得x1=2,x2=1,无导数不存在的点。由于f(3)=23,f(2)=34,f(1)=7,f(4)=142.比较可得f(x)在区间3,4上的最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7。第五节第五节 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值例3-32 用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，如图3-9所示，然后把四周折起，焊成铁盒,问在四周截去多大的正方形才能使所做的铁盒容积最大?图3-9第五节第五节 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值设截去小正方形的边长为x cm，铁盒容积为V cm3；由此得目标函数为V=x(482x)2，
12、x(0,24)，如图3-10所示。问题归结为何值时，函数V在区间(0,24)内取得最大值。图3-10第五节第五节 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值例3-33 铁路线上AB段的距离为100 km.某果品加工厂C距A处20 km,AB垂直于AC，如图3-11所示。为了运输需要,要在AB线上选定一点D向加工厂修筑一条公路。已知铁路每公里的运费与公路每公里的运费之比为35.为了使加工厂的产品运到超市B的运费最省,问D点应选在何处?图3-11第六节第六节 曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点前面我们已经介绍了根据一阶导数的符号判定函数图像的上升和下降，但如何上升，如何下降呢？如图3-12所示，A
13、B弧和BC弧虽然都上升，但弯曲的方向不同。这就涉及曲线的凹凸性问题。图3-12第六节第六节 曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点定义3-3 如果在区间a,b内,曲线y=f(x)上每一点的切线都位于曲线的下方,则称曲线y=f(x)在区间a,b内是凹的（或者称曲线弧是凹弧），区间a,b称为曲线y=f(x)的凹区间,如图3-13(a)所示；如果在区间a,b内,曲线y=f(x)上每一点的切线都位于曲线的上方,则称曲线y=f(x)在区间a,b内是凸的（或者称曲线弧是凸弧）,区间a,b称为曲线y=f(x)的凸区间,如图3-13(b)所示.凸弧和凹弧的分界点称为拐点。第六节第六节 曲线的凹凸性和拐点曲线的凹
14、凸性和拐点图3-13第六节第六节 曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点在(,0)内y0,曲线在(,0)上是凹的;在(0,+)内,y0,曲线在(0,+)上是凸的。如图3-14所示。点0,0是曲线的拐点。图3-14第六节第六节 曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点第六节第六节 曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点如图3-15所示。求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点。图3-15第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘1.曲线的渐近线为了掌握曲线在无限变化中的趋势，我们先介绍曲线的渐近线。定义3-4 如果曲线上动点沿着曲线无限向远处延伸时，它与某条直线的距离无限趋于零，则称该直线为这条曲线的
15、渐近线。第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘曲线的渐近线有三种，即水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。如图3-16所示。图3-16第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘1.曲线的渐近线图3-17图3-18第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘图3-19第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘因此,曲线y=x+arctanx有两条斜渐近线,它们分别是：当x+时,如图3-20所示。图3-20第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘所以y=x1为曲线的斜渐近线,如图3-21所示。图3-21第七节第七节
16、 函数图像的描绘函数图像的描绘2.函数图像的描绘利用一阶导数判定函数的单调性和求函数的极值，利用二阶导数判定函数的凹凸性和拐点,现在又学习了求曲线渐近线的方法,在此基础上就可以比较准确地作出函数图像。第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘描绘函数图像的一般步骤如下：(1)确定y=f(x)的定义域,求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f(x)；(2)求出所有的一阶、二阶导数等于零的点和一阶、二阶导数不存在的点，用这些点把整个定义域划分成几个部分区间；(3)确定在这些部分区间内f(x)和f(x)的正负性，并由此确定函数的单调性和凹凸性；(4)确定函数图像的水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线以及其
17、他变化趋势；(5)根据以上结论绘出草图，在绘图过程中补充必要的辅助点。第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘曲线无渐近线；0等点,描绘出函数图像。如图3-22所示。图3-22第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘第七节第七节 函数图像的描绘函数图像的描绘所以y=0是水平渐进线；无垂直和斜渐近线。图像关于y轴对称.综合上述讨论,可描绘出函数的图像,如图3-23所示。图3-23第八节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用1.边际函数定义3-5 设函数y=f(x)在x可导,则导数f(x)称为f(x)的边际函数,记作My或Mf(x)。边际函数值的意义是：当x=x0时,x改变一个单
18、位,y改变f(x0)个单位。经济上,成本函数的导数称为边际成本,记作MC；收益函数的导数称为边际收益,记作MR；利润函数的导数称为边际利润,记作ML。第八节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用2.边际成本及其经济意义第八节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用3.边际利润及其经济意义设利润函数为L=L(Q),由经济学知L=L(Q)=R(Q)C(Q)。又由经济学知,企业经营处于最优状态是利润最大,由存在极值的必要条件,得 L=R(Q)C(Q)=0即 ML=MRMC=0于是我们得到企业最优经营的条件是：边际利润为零(ML=0),或边际收益等于边际成本(MR=MC)第八
19、节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用因为L(Q)=R(Q)C(Q),易知边际利润是由边际收益和边际成本的差来确定的,所以有(1)当R(Q)C(Q)时,L(Q)C(Q)时,L(Q)0.它的经济意义是：因此可多安排生产此种产品(在使R(Q)C(Q)的范围内)。(3)当R(Q)=C(Q)时,L(Q)=0.它的经济意义是：企业经营处于最优状态,总利润最大。第八节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用4.最大利润问题利润是衡量企业经济效益的一个主要指标.在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利润，这是企业管理中的一个现实问题。例3-48 某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元.其总收入R（单位：万元）是产量q（单位：百件）的函数 R=5q0.5q2第八节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用5.弹性分析弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。下面先给出弹性的一般概念。给定变量u，它在某处的改变量u称作绝对改变量.绝对改变量u与变量在该处的值u之比称作相对改变量。第八节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用第八节第八节 导数在经济管理中的应用导数在经济管理中的应用Thank You!
