1、利用元素法解决利用元素法解决:定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用定积分的应用定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用元素元素a a aa a表示为niiixfU10)(lim1)所求量 U 是与区间a,b上的某分布 f(x)有关的2)U 对区间 a,b 具有可加性,即可通过“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量;第一步第一步 利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(
2、这种分析方法称为元素法元素法(或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳 等近似值精确值1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy)(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积.xxy 2oy2xy xxxd解解 由xy 22xy 得交点)1,1(,)0,0()1,1(1xxxAdd22332x13013x3110A1()xy2()yxabxy
3、O1()yxxX-型：axb21()()hxx2()xycdxyOyY-型：cyd21()()hyyxxy22oy4 xyxy22与直线的面积.解解 由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy434126y此平面图形为Y型则有yyyd42A)cos1(,)sin(tayttax)0(a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.dd(1 cos)Ay xat解解 ttad)cos1(2220(1 cos)datt22404sind2tat)2(tu 令2408sindau u224016sindau u216a4321223
4、a2 0A xyo2a注注：在直角坐标系下计算面积的步骤1）画图，求交点2）axbcyd或观察X-型或Y-型3）固定一点,过此点作平行于y轴的平行线,如果平行线与边界线的交点超过三个以上，则要划分区域，使划分后的区域为X型2,2xyxy练习：求由 所围成的面积 ,0)(,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积.)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系cossinxryr2()rr1()rr扇形面积：21122Ar rrxo22211()()d2Arr对
5、应 从 0 变解解)0(aarx2ao dd)(212a20A 22a313203243a到 2 所围图形面积.点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停22408cosdat t所围图形的面积.解解)0()cos1(aarxa2o dd)cos1(2122a02A 20ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212232aoxya2222yxaxayx即)cos1(ar点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停 尖点:)0,0(面积:232a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a与圆所围图形的面积.
6、解解 利用对称性,)0()cos1(aar2212Aa22212aad)2cos21cos223(所求面积2213(2)24aa22524aaar 2a2sin2a所围图形面积.解解 利用对称性,2cos22ard2cos212a404A 420a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积.2A6220sinda4621cos2 d2ayox4答案答案:4 213Vr h221()3VRrRrhRrrhhxyoabxyoab)(xfy 2()f x轴旋转一周围成的立体体积,体积为：轴绕xbxaxfy)()(xdbaVxdx()f x2
7、d()Vfx dx体积元素为：连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积,有2()yyddcVxoy)(yxcdy2221()d()dbbxaaVxxxx2()yx1()yxab2221()()dbaxxxxY-型绕型绕y轴旋转所围成的立体的体积：轴旋转所围成的立体的体积：2221ddycVggyayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则222202()dabaxxa(利用对称性)2232123ba xxa0a243aboaV022dyxxtbytaxsincos则202daVyx232
8、sin dabt t22ab32243ab1 20特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积34.3axyo2a)cos1()sin(tayttax)0(a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.解解 绕 x 轴旋转而成的体积为220daxVyx利用对称性利用对称性2220(1 cos)atttad)cos1(3302(1 cos)datt36016sind2tat236032sindau u332a6543212235 aay)2(tu 令xyo2aa)cos1()sin(tayttax)0(aa22220()dayVxyy22(sin)a ttttadsin2
9、2210()daxyy)(2yxx 22(sin)a ttttadsin0注意上下限!2320(sin)sin dattt t 336 a注注)(1yxx 分部积分2220(sin)sin dttt t22230(sin2 sinsin)dtttttt()ut 令22(2)sinuuu22()sinuuuu dsin3(利用“偶倍奇零”)04sin duu u 204sindu u24 2208sindu u21 482 2 26 关于对称例例 过坐标原点作曲线 的切线，该切线与 围成图形D 1)求D的面积 2）求D绕直线x=e旋转一周所得 旋转体的体积 lnyxlnyxxyx(e,1)A(1
10、,0)o解 画图求交点设切点为00(,ln)Axx000ln()yxxxx则过A点的切线为因（0,0）在切线上D0001ln()1,xxx 01e,(e,1)exyxA10e1)(ee)d2yAyyxyx(e,1)A1oD122e02)(ee)(ee)dyxVyy2(5e12e3)6e已知截面面积求体积已知截面面积求体积d()dVA xx所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA体积元素为并与底面交成 角,222Ryx解解 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2122312tan
11、3R xx0Rtan323R（利用对称性）计算该平面截圆柱体所得立体的体积.oRxyx例例 如图所示，22221xyab，ABC是等边三角形求此立体的体积.22,ybaxa解解 xyzABC22221 223()()()22bbA xaxaxaa22223()daabVaxxa2222(,),(,)bbC xaxB xaxaa定义定义 若在弧 AB 上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 AB 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称sdy
12、xabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxsdx()df x x)()()(ttytx弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs)()(rr()cos,xr令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rrsd()sin,yr)cos1()sin(tayttax)0(a一拱(02)t 的弧长.解解 tstytxd)()(d2dd2dd )cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin22
13、02 sind2tsat22cos2ta20a8xyo2ad222aa求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长.解解)0(aarx2aoar 22d()()dsrrd12 a2201dsa212a21ln122022 14ln(214)2aa设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(一个单位求电场力所作的功.qorabrrdr 11解解 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rq
14、kF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd21kqrab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a 0），汽锤第一次击打将桩打进地下a（m），根据设计方案，要求汽锤每次击打所做的功与前一次击打所做的功之比为常数r（0r1）.问：1）打击三次后，打入地下多深？2）假设击打次数不限，至多能打入地下多深？12,nxxx解 1）设每打一次的深度为12110d,2xkxWkx x212222211d()22xxkkrWkx xxxx，则32223322d()2xxkWkx xxxrW211nnxrrra 2)假设211nnxrrr a11lim11nnnraxarr 222112rk xr W 2123,1,1xa xra xrr a()F x0()()d(0)xF xF ttFab()dbaFFxx 已知边际函数可由牛顿-莱布尼茨公式求得产量由变到时，经济函数的增量经济函数2()314100C xxx(0)1000C0()(0)()dxC xCC x x201000(314100)dxxxx3210007100 xxx 生产某产品的边际成本函数为固定成本,求总成本函数.总成本函数
