1、第二章逻辑代数基础第二章逻辑代数基础逻辑代数：分析和设计数字电路逻辑代数：分析和设计数字电路 的数学工具。的数学工具。基本概念v1.逻辑：条件和结果之间的因果关系。v2.逻辑代数：又称布尔代数，是描述和研究客观世界中事物间逻辑关系的数学。v3.逻辑变量：逻辑代数中的变量，在数字电子技术中逻辑变量是指只有2种对立状态的器件，即逻辑变量的取值只有“0”或“1”两种。v4.逻辑函数：定义：如果逻辑变量x1、x2、x3、xn 的取值确定以后，逻辑变量F的取值也唯一的确定了，则称F是x1、x2、x3、xn的逻辑函数。记作：),(21nxxxfF2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算1.与运算（逻辑乘）（与运算
2、（逻辑乘）（AND）Y(a)说明与逻辑的电路说明与逻辑的电路与运算符，也有用与运算符，也有用“”、“”、“&”&”表示表示 与门逻辑符号与门逻辑符号&AYBYABAYB2.或运算（逻辑加）或运算（逻辑加）（OR）BYA或运算符，也可用或运算符，也可用“”、“”表示表示 或运算真值表或运算真值表或门逻辑符号或门逻辑符号11 ABYYAB+ABY3.非运算（逻辑反）（非运算（逻辑反）（NOT）AY“”非逻辑运算符非逻辑运算符非运算真值表非运算真值表非门逻辑符号非门逻辑符号1AYYAAY2.2、复合逻辑运算、复合逻辑运算1.与非运算（与非运算（NAND）与非逻辑真值表与非逻辑真值表ABABY Y&A
3、YBYAB与非门逻辑符号与非门逻辑符号AYB 或非逻辑真值表或非逻辑真值表2.或非运算（或非运算（NOR）BAY或非门逻辑符号或非门逻辑符号11 ABYYAB+ABY与或非门逻辑符号与或非门逻辑符号3.与或非运算（与或非运算（AND-OR-NOT）ABCDYYDCAB11&CDABY与或非逻辑真值表与或非逻辑真值表YDCAB+4.异或运算（异或运算（XOR）异或逻辑真值表异或逻辑真值表BABABAY异或门逻辑符号异或门逻辑符号YAB=1AYBAYB 5.同或运算（同或运算（XNOR）同或逻辑真值表同或逻辑真值表ABBABAY异或与同或互为反运算异或与同或互为反运算：BA BA BABA 同或门
4、逻辑符号同或门逻辑符号=AYBYABA YB异或、同或逻辑的公式异或、同或逻辑的公式 A B=A BA B=A B A B=A B A B=A BAA=0A A=1A00=AA11=A偶数个偶数个1相异或等于相异或等于 0奇数个奇数个1相异或等于相异或等于1偶数个偶数个0相同或等于相同或等于 1奇数个奇数个0相同或等于相同或等于 0A A=1A A=0A 0 0=AA 1 1=A多个变量的异或、同或间关系多个变量的异或、同或间关系(1)偶数个变量的异或、同或互补偶数个变量的异或、同或互补(2)奇数个变量的异或、同或相等奇数个变量的异或、同或相等A1 A2 An=A1 A2 An(n为偶数为偶数
5、)A1 A2 An=A1 A2 An(n为奇数为奇数)试证明三个变量的情况。试证明三个变量的情况。2.3 2.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式 一、一、基本定律基本定律 ：1.自等律自等律 A+0=A A 1=A 2.吸收律吸收律 A+1=1 A 0=0 3.重叠律重叠律 A+A=A A A=A 4.互补律互补律 5.还原律还原律 A =A A+A=1 A A=06.交换律交换律 A+B=B+A A B=B A 7.结合律结合律 A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)A B C=(A B)C=A (B C)8.分配律分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)9.反演律
6、反演律 A+B=A B AB=A+B 基本定律的正确性可以用列真值表的方法加以基本定律的正确性可以用列真值表的方法加以证明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关证明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。系。求证求证:A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边=AA+AB+AC+BC ;=AA+AB+AC+BC ;分配律分配律=A+A(B+C)+BC ;=A+A(B+C)+BC ;分配律分配律,重叠律重叠律=A(1+B+C)+BC ;=A(1+B+C)+BC ;分配律分配律=A=A 1+BC ;1+BC ;吸收律吸收律=A+BC ;=A+BC ;吸收律吸收律=
7、左边左边例：用例：用真值表真值表证明反演律证明反演律 B ABA 0 00 11 01 101111000110010101000BA BA ABBAB A B ABA 证明证明:三、常用公式三、常用公式 1.合并相邻项公式合并相邻项公式 AB+AB=A2.消项公式消项公式 A+AB=A一项以另一项为因子，则该项是多余的。一项以另一项为因子，则该项是多余的。3.消去互补因子公式消去互补因子公式 A+AB=A+B若某一项的部分因子是另一项的反，则该部分因若某一项的部分因子是另一项的反，则该部分因子可消去。子可消去。左左边边右右边边 )(BAABAABABAAABABABAA练习：证明练习：证明成
8、立。成立。证明证明:4.多余项（生成项）公式多余项（生成项）公式AB+AC+BC=AB+AC公式可推广：公式可推广：CAABBCDECAAB =AB+AC+=AB+AC+A ABC+BC+A ABCBC=AB+AC+=AB+AC+(A+A)(A+A)BCBC证明证明:左边左边=AB+AC+BAB+AC+BC C=AB+AC=AB+AC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB(1+C)+AC(1+B)证明冗余律证明冗余律CAABBCCAAB 成立成立1 AA；分配律；分配律；分配律；分配律；吸收律；吸收律=右边右边2.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则1.1.代入规则代入规则：任何一个含有某
9、变量的等式，如果等式中所任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此有出现此的位置的位置均代均代之以一个逻辑函数式，之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。则此等式依然成立。例：例：A B=A+BBCBC替代替代B B得得ABCBCACBA由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A利用反演律2.2.反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式 F F，做如下处理：，做如下处理：运算符运算符“.”与与“+”互换互换,“,“”与与“”互换互换;常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0
10、0”；原变量原变量换成换成反变量反变量，反变量反变量换成换成原变量。原变量。那么得到的新函数式称为原函数式那么得到的新函数式称为原函数式F F的反函数式的反函数式 。F必要时适当地加入括号。必要时适当地加入括号。非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变例例1：若：若 F=A B+C D，试用反演规则求反函数试用反演规则求反函数 F。例例2：若：若 F=A+B+C D，试用反演规则求反函数试用反演规则求反函数 F。解：解：F=A B C+D解：解：F=(A+B)(C+D)常用关系
11、式：常用关系式：(1)F=F；(2)若若 F=G，则，则 F=G；反之也成立。；反之也成立。3.3.对偶规则对偶规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式 F F，做如下处理：，做如下处理：运算符运算符“.”与与“+”互换互换,“,“”与与“”互换互换；常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；那么得到的新函数式称为原函数式那么得到的新函数式称为原函数式F F的的对偶式对偶式 F。对偶规则对偶规则:若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。即即 若若 F F1 1=F=F2,2,则则 F F1 1=F=F2 2。运算顺
12、序不变；运算顺序不变；只变换运算符和常量，其只变换运算符和常量，其变量是不变变量是不变的。的。常用关系式：常用关系式：(1)(F)=F；A=A,0=1,1=0。(2)若若 F=G，则，则 F=G；反之也成立。；反之也成立。练习练习1：F=A(B+C),求求F=?解：解：F=A+B C练习练习2：F=AB+A(C+0)，求，求F=?解：解：F=(A+B)A+C1将将 F中的变量原反互换后即可得到中的变量原反互换后即可得到 F；将将 F中的变量原反互换后即可得到中的变量原反互换后即可得到 F。F F 1 A+0 AF F 1+0 反演式与对偶式的关系反演式与对偶式的关系例例1：已知：已知 A 0=
13、A，则其对偶公式为：，则其对偶公式为：A 1=A例例2：已知：已知 F=A B，则其反函数可写为：，则其反函数可写为：A B即即 A B=A BF =与与反演律反演律 A+B=A B 形式类似形式类似 逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量自变量和因变量分别表示分别表示某一事件发生的某一事件发生的条件和结果条件和结果，那么该事件的因果关系就可以，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。用逻辑函数来描述。数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、数字电路
14、的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑低电平也可以用二值逻辑1和和0来表示。同时来表示。同时数字电路数字电路的输出的输出与输入之间的关系是一种因果关系，与输入之间的关系是一种因果关系，因此它可以用逻辑函数因此它可以用逻辑函数来描述，并称为来描述，并称为逻辑电路逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑。对于任何一个电路，若输入逻辑变量变量A、B、C、的取值确定后，其输出逻辑变量的取值确定后，其输出逻辑变量F的值的值也被惟一地确定了，则可以称也被惟一地确定了，则可以称F是是A、B、C、的逻的逻辑函辑函数，数，并记为并记为),(CBAfF 2.5.1逻辑函数逻辑函数2.5.2
15、 逻辑函数的描述方法逻辑函数的描述方法v真值表描述真值表描述v逻辑表达式逻辑表达式v卡诺图卡诺图v逻辑图逻辑图描述描述一、一、真值表描述真值表描述：A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有逻辑函数有 n 个变量时，共有个变量时，共有2n个个不同的变量取值组合。在列真值表不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值的组合一般按时，变量取值的组合一般按 n 位二位二进制数递增的方式列出。进制数递增的方式列出。若两个逻辑函数的真值表相同若两个逻辑函数的真值表相同，则这
16、两个逻辑函数相等。，则这两个逻辑函数相等。二、二、逻辑表达式逻辑表达式：BCAY 逻辑表达式是逻辑函数的数学表达式，是由输入变量和逻逻辑表达式是逻辑函数的数学表达式，是由输入变量和逻辑运算符号（乘辑运算符号（乘、加、非）构成的代数式。、加、非）构成的代数式。还以上面的表决事件为例：还以上面的表决事件为例：在在ABC取取011时，时，F=1，写成表达式的形式，写成表达式的形式:有四种情况取有四种情况取1，四个表达式相或。其函数，四个表达式相或。其函数 表达式为：表达式为：ABCCABCBABCAF总结：由真值表写表达式，可将表中输出为总结：由真值表写表达式，可将表中输出为1的一组输的一组输 入变
17、入变量（量（A、B、C.）组合状态以逻辑乘形式表示（用原变量表示变）组合状态以逻辑乘形式表示（用原变量表示变量取值量取值1，用反变量形式表示变量取值，用反变量形式表示变量取值0），再将所有），再将所有F=1的逻的逻辑乘进行逻辑相加即得，这种表达式称为与或表达式。辑乘进行逻辑相加即得，这种表达式称为与或表达式。1.常见逻辑表达式常见逻辑表达式F=AB+AC =AB+AC=AB AC =(A+B)(A+C)与或式与或式 与非与非与非式与非式与或非式与或非式=AB+A C =(A+B)(A+C)或与式或与式 =(A+B)(A+C)=A+B +A+C 或非或非或非式或非式任何一个逻辑函数式都可以通过逻
18、辑变换写成以下五种形式任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式：2.逻辑式两种标准形式逻辑式两种标准形式（最小项之和式，最大项之积式最小项之和式，最大项之积式）1 1）最小项之和式标准）最小项之和式标准与或与或式式 在在n变量逻辑函数中，由所有变量逻辑函数中，由所有n个变量以原变量或反个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的变量的形式出现一次而组成的乘积项（与项）乘积项（与项）。最小项（最小项（Minterm）n变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有2n个。最小项通常用符号个。最小项通常用符号m mi i来来表示。表示。下标下标i的确定的确定：把最小项中的：把最小项中的原
19、变量记为原变量记为1，反变量记为，反变量记为0，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的二进制数相对应的十进制数十进制数，就是这个最小项的下标，就是这个最小项的下标i。在一个在一个与或逻辑式与或逻辑式中，若所有的乘积项均为最小项，中，若所有的乘积项均为最小项，则该逻辑式称为则该逻辑式称为最小项之和式最小项之和式。CBACBACBABCACBACBACABABC三变量逻辑函数的最小项三变量逻辑函数的最小项只有一种输入组合使对应的最小项为只有一种输入组合使对应的最小项为1 1，而其他的组合都使它为，而其他的组合都使它为
20、0 0。（变量型）ABCCBABCAY 型）（m 753mmm m 753m）型（，)(例：写出例：写出 的最小项之和式。的最小项之和式。ABCBCACY 最小项之和式最小项之和式为为：ABCBCACBA ABCBCAABCCBAABC ABCBCAACBBA ABCBCACY )()(解：解：1 AA例：已知例：已知 )15,14,13,9,6,4,3(),(mDCBAY利用最小项表达式求其反函数和对偶式。利用最小项表达式求其反函数和对偶式。)12,11,10,8,7,5,2,1,0(m )1514139643(i m),(ikk ，DCBAY )15,14,13,10,8,7,5,4,3(
21、)3,4,5,7,8,10,13,14,15(),(k12nmmmDCBAYLL解：解：2 2）最小项的主要性质）最小项的主要性质A B C A B C0 0 000 0 10 0 1 000 1 101 0 001 0 111 1 001 1 10 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为1。能使最小项的值为能使最小项的值为1的取的取值组合，称为值组合，称为与该最小与该最小项对应的取值组合项对应的取值组合。例：例：101 ABC。全部最小项之和恒等于全部最小项之和恒等于1。即：即：1201niim任意两个最小项的乘积恒等于任意两
22、个最小项的乘积恒等于0。即：即：),12)(0(0jijimmnji且 即：即：任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项小项。),12)(0(jijimmmniji且证明：证明：若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi =1(有且只有一组有且只有一组)，则：则：ijimmm1若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi =0(其余其余2 n-1组组)，则：则：ijimmm0所以，等式成立。所以，等式成立。三、卡诺图三、卡诺图描述描述：1.卡诺图的构成卡诺图的构成A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABAB1010 m0 m1
23、 m2 m3 miABABABAB1010 0 1 2 3二二变变量量K图图ABC0100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7000111100001 11 1001 2 34 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11ABCDABC0100011110 0 1 2 3 456 7 行、列变量的组合排列行、列变量的组合排列顺序按循环码排列。（几顺序按循环码排列。（几何相邻、对称相邻和头尾何相邻、对称相邻和头尾相邻）。相邻）。三三变变量量K图图四四变变量量K图图2.卡诺图描述逻辑函数卡诺图描述逻辑函数 给出真值表给出真值表 将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可
24、。填入将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入Y1的的项即可。项即可。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010101例：例：ABC0100011110 0 0 0 1 010 1ABC0100011110 1 1 1 给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式将逻辑函数的将逻辑函数的最小项最小项在卡诺图上相应的方格中在卡诺图上相应的方格中填填1；其余的方格填其余的方格填0(或不填或不填)。任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和。的那些最小项之和。),()
25、,(76211mCBAY ),(),(151210974202mDCBAY例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数ABC0100011110 1 1 1 1000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 ABCD解：解：给出逻辑函数一般与或式给出逻辑函数一般与或式确定使每个确定使每个与项为与项为1的所有输入变量取值，并的所有输入变量取值，并在卡诺图上对在卡诺图上对 应方格应方格填填1；其余的方格填其余的方格填0(或不填或不填)。也可化为也可化为标准与或式标准与或式，再填入。，再填入。CBACBAY ),(1例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数例：用卡诺图
26、分别描述下列逻辑函数ABC0100011110 1 111 1解：解：A：当：当ABC=1(表示可以为表示可以为0，也，也可以为可以为1)时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应，在卡诺图上对应四个方格四个方格(m4，m5，m6，m7)处填处填1。),()()(765421m CBAACCBBACBAYCB ：当：当ABC=10时该与项为时该与项为1，在卡，在卡诺图上对应两个方格诺图上对应两个方格(m2，m6)处填处填1。ADDCBACBAF 2000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 11 1 ABCD D ：当当ABCD=1时该与项为时该与项为1，对应八个方格对应八个方
27、格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)处填处填1。：当：当ABCD=001时该与项为时该与项为1，对应两个方格对应两个方格(m2、m3)处填处填1。CBA ：当：当ABCD=101时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格在卡诺图上对应两个方格(m10、m11)处填处填1。CBA解：解：AD ：当：当ABCD=11时该与项为时该与项为1，对应四个方格对应四个方格(m9、m11、m13、m15)处填处填1。某些最小项重复，只需填一次即可。某些最小项重复，只需填一次即可。四、逻辑图四、逻辑图描述描述：&AB11 Y&AC&BD例：用逻辑图描述函数例：用逻辑图描述函数BDAC
28、ABY 列出列出五、各种描述方法间的相互转换五、各种描述方法间的相互转换A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111BCACBACABABCABCCABCBABCAY ABC0100011110 1 11 1例：例：CBA Y)(A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111BCACBABY&C1A11 1B&11 YCBCBBBAY BACBCBBBA&CB1A11 Y11&11 BAC例：例：同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻
29、辑式，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。最简最简“与或与或”式的标准：式的标准：.含的含的与项与项最少；最少；门最少门最少.各与项中的各与项中的变量数变量数最少。最少。门的输入端最少门的输入端最少以后主要讨论以后主要讨论“与或与或”式的化简。式的化简。其中，最常用的为其中，最常用的为“与或与或”逻辑表达式。逻辑表达式。一、代数化简法一、代数化简法：1.并项法并项法 ABCCABBCACBACBAY1 ),(例：用并项法化简下列逻辑函数例：用并项法化简下列逻辑
30、函数 B A)AB(ABBA C)CAB(C)CB(A ABCCABBCACBAY1 解：解：利用公式利用公式 将两项合并成一项，并将两项合并成一项，并消去互补因子。由代入规则，消去互补因子。由代入规则，A和和B也可是复杂的逻辑式。也可是复杂的逻辑式。ABABA ABCCBACABCBACBAY2 ),(CABCBACBAY ),(3解：解：A 1A C BCBA BCCBCBCBA ABCCBACABCBAY2 )()(A CBCBA CABCBAY )(3解：解：2.吸收法（消项法）吸收法（消项法）)(EDCBABA Y1 例：用吸收法化简下列逻辑函数例：用吸收法化简下列逻辑函数BA ED
31、CBA EDCBABAY1 )()(1解：解：利用公式利用公式 ，将多余，将多余项吸收（消去）。项吸收（消去）。ABAA CABA BCCABA BACBACY 2CBAC BACBAC BACBACY 23.消去互补因子法消去互补因子法 CBCABA Y1 例：用消元法化简下列逻辑函数例：用消元法化简下列逻辑函数CBA CBABA CBABA CBCABAY1 )(解：解：利用公式利用公式 ，将多余因子吸收（消，将多余因子吸收（消去）。去）。BABAA DCBA DBACBA DBACBA BDDACBA BDDACCBA DCBDCACBAY )()()(2 DCBDCACBAY2 4.配
32、项法配项法 ABCCBACBA Y1 例：用配项法化简下列逻辑函数例：用配项法化简下列逻辑函数ACCB BBACAACB ABCCBACBACBA ABCCBACBAY1 )()()()(解：解：利用公式利用公式 ，配项或，配项或增加多余项，再和其他项合并。增加多余项，再和其他项合并。AA 1AAA BCCABACABA CBCBBAABY 2CACBAB BBCAACBCAB CBCBACABCBACBAAB CBCBAACCBAAB CBCBBAABY )()()()()(112CBCABA CACBCABA CABACBCACBBA CABACBCBBA BACBCBBAY )()()(
33、)()(3BACBCBBAY 3解：解：解：解：CACBBAY 解法解法1：解法解法2：BACBCBBAY BACACB BACACBBA BACACBCBBA BACBCACBBA BACBCBBAY )()()(代数化简法代数化简法:先找公共因子，再找互补因子先找公共因子，再找互补因子 优点优点:不受变量数目的限制。不受变量数目的限制。缺点缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。验；有时很难判定
34、化简结果是否最简。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。或与式的化简或与式的化简 ：方法：方法：二次对偶法二次对偶法F或与式或与式（未化简）（未化简）与或式与或式（进行化简）（进行化简）或与式或与式（已化简）（已化简）FF解：解：F=A B C+A B C例：把例：把 F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)化为化为最简或与式。最简或与式。=A BF=(F)=A+B作业题作业题2.8 (1)(3)2.10(1)2.11(1)(2)二二.卡诺图化简法卡诺图化简法 (1)化简原理化简原理 卡诺图上卡诺图上逻辑相邻逻辑相邻的最小项只有一个变的最小项
35、只有一个变量互为反变量量互为反变量，可以利用合并相邻项公式，可以利用合并相邻项公式:A B+A B=A 化简。化简。被合并的最小项用矩形圈圈起来，称为被合并的最小项用矩形圈圈起来，称为卡诺圈。卡诺圈。圈圈2格，可消去格，可消去1个变量，合并结果为公共因子；个变量，合并结果为公共因子；(2)合并的规律合并的规律 000010011010110100ABCF=A B000011001010110100 ABCF=A C 圈圈4格，可消去格，可消去2个变量，个变量，合并结果为公共因子；合并结果为公共因子；001110011010110100 ABCF=B000011111010110100 ABCF
36、=A 100111001010110100ABCF=C 10011001101101100110010010110100AB CD 01101010011110010101100010110100AB CD F=B D+B DF=B D+B D01101001101101100101100010110100 AB CD 10011010011110010110010010110100 AB CD 圈圈8格，可消去格，可消去3个变量，个变量，合并结果为公共因子；合并结果为公共因子；F=D F=D 结论：圈结论：圈2i 个相邻最小项，可消去个相邻最小项，可消去 i 个变量个变量(i=0,1,2)(
37、3)合并的对象合并的对象 卡诺图上几何相邻和对称相邻的、并构成卡诺图上几何相邻和对称相邻的、并构成矩形矩形框的、填框的、填“1”的、的、2n 个个小方格所代表的最小项。小方格所代表的最小项。(4)合并项的写法合并项的写法 一个卡诺圈对应一个乘积项，该乘积项由卡一个卡诺圈对应一个乘积项，该乘积项由卡诺圈内各小方格对应的诺圈内各小方格对应的取值相同的变量取值相同的变量组成，组成，其中，其中，“1”对应原变量，对应原变量，“0”对应反变量。对应反变量。(5)化简的步骤化简的步骤 a.将逻辑函数添入卡诺图。将逻辑函数添入卡诺图。c.再圈只有一个合并方向的再圈只有一个合并方向的“1格格”（注意：合（注意
38、：合并为尽可能大的卡诺圈）；并为尽可能大的卡诺圈）；c.圈剩下的圈剩下的“1格格”（合并为尽可能少、尽可能（合并为尽可能少、尽可能大的卡诺圈）大的卡诺圈）b.先圈孤立的先圈孤立的“1格格”；(6)化简举例化简举例例例2.6.14 化简函数化简函数)15,14,10,9,7,6,5,2,0(),(mDCBAF为最简与或式。为最简与或式。1110111111101110010110100AB CD F(A,B,C,D)=A B D+A B D+A B C D+B C+C D图图 2.6.131011010010110100AB CD 注意：注意：a.圈中圈中“1”格的数目只能为格的数目只能为2 i
39、(i=0,1,2)，且，且是相邻的。是相邻的。b.同一个同一个“1”格可被圈多次格可被圈多次(A+A=A)。c.每个圈中必须有该圈独有的每个圈中必须有该圈独有的“1”格。格。d.首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。e.圈法不是唯一的。圈法不是唯一的。11111010110100 ABCF=AB+AC+BC=AB+AC BC项是多余的。项是多余的。每个圈都必须至少包含一个未被圈过的每个圈都必须至少包含一个未被圈过的1格，格，否则该卡诺圈的合并项是多余的，得到的表达式否则该卡诺圈的合并项是多余的，得到的表达式不是最简。不是最简。例例2.6.16 化简函数化简函
40、数为最简与或式。为最简与或式。)15,14,11,10,9,8,7,6,5,2,0(),(mDCBAF11111011001111100110010010110100 AB CD F(A,B,C,D)=A B D+B D+A B+B C图图 2.6.151011010010110100 AB CD 例：例：F（ABCD）=m（2,3,5,7,8,10,12,13）化）化简为最简与或式简为最简与或式 111011111101110010110100 AB CD F=A BC+ABD+AB C+A B D 或或 F=BC D+ACD+B CD+A C D1101111111101100101101
41、00 AB CD F=A CD+ABC+AB C+ACD 练习练习1：F（ABCD）=m（1,5,6,7,11,12,13,15）11111011111011110010110100 AB CD F=C D+BC+A C 练习练习2：F（ABCD）=A B+A BC+A C D+AB C 四、非完全描述逻辑函数的化简四、非完全描述逻辑函数的化简 1.定义：一个逻辑函数，其真值表中对变量的某定义：一个逻辑函数，其真值表中对变量的某些取值组合下的函数值未加以指定，则这个些取值组合下的函数值未加以指定，则这个逻辑函数称为非完全描述逻辑函数。逻辑函数称为非完全描述逻辑函数。反之，全部取值组合下的函数值
42、都能指定（不是反之，全部取值组合下的函数值都能指定（不是0，就是，就是1），则称为完全描述逻辑函数。），则称为完全描述逻辑函数。非完全描述有两种情况：非完全描述有两种情况：1、变量的取值受到约束，从而使某些取值组合实、变量的取值受到约束，从而使某些取值组合实际上不会发生。例如：际上不会发生。例如：8421BCD码中码中10101111为为非法码。非法码。约束项约束项2、某些取值组合虽然存在，但其相应的函数值是、某些取值组合虽然存在，但其相应的函数值是0还是还是1，不影响该逻辑函数所要说明的逻辑功能，不影响该逻辑函数所要说明的逻辑功能，因而使这些变量取值组合成为一种无关紧要的取值因而使这些变量取
43、值组合成为一种无关紧要的取值组合。组合。任意项任意项 约束项和任意项统称为无关项，在真值表或卡诺圈中无关约束项和任意项统称为无关项，在真值表或卡诺圈中无关项对应的取值组合的函数值可以填项对应的取值组合的函数值可以填或或。表示方法：表示方法：任意项：任意项：F=m（0,1,2,4,7）+（3,5,6）约束项：约束项：F=m（2,4,7）A B C=0 约束条件约束条件化简原则：化简原则：对于无关项的方格，可以作为对于无关项的方格，可以作为1，也可以作为，也可以作为0处处理，化简时仍按完全描述的步骤进行，为了得到更大理，化简时仍按完全描述的步骤进行，为了得到更大的卡诺圈，可以根据需要将某些无关项作
44、的卡诺圈，可以根据需要将某些无关项作1格处理。格处理。例：例：F=m（0,2,5,9,15）+（6,7,8,10,12,13,14）化简为最简与或式。化简为最简与或式。110111101110010110100 AB CD F=B D+BD+A C 注意：注意：1、利用、利用格是为了扩大合并格是为了扩大合并1格的卡诺圈，因格的卡诺圈，因此某些此某些格无法利用的作格无法利用的作0格处理。格处理。2、包含、包含格的卡诺圈仍然必须至少有一个未被其它格的卡诺圈仍然必须至少有一个未被其它圈圈过的圈圈过的1格，否则产生冗余项。格，否则产生冗余项。例例2.6.22 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数)
45、15,14,13,6,5,4(),(mDCBAF0BA1011101110110100000010110100AB CD F(A,B,C,D)=A B C+A D +B C D 图图 2.6.22例例2：已知：已知：F=A B D+A B D+A B C D，约，约束条件：束条件：AB+AC=0，试求，试求F的最简与或表达式。的最简与或表达式。110111101110010110100AB CD F=B D+BD 2.卡诺图的运算卡诺图的运算(1)相加相加 001010010010110100ABC000010110010110100ABC001010110010110100ABC(2)相乘相
46、乘 001010010010110100ABC000010110010110100ABC000010010010110100ABC(3)异或异或 001010010010110100ABC001010100010110100ABCA000010110010110100BC(4)反演反演 001010010010110100ABC110111101010110100ABC)5,1(mF)7,6,4,3,2,0(mF例：已知例：已知F1(A,B,C,D)=A B+C D F2(A,B,C,D)=B C+A D。试求)?(21mFFF 解：用卡诺图分别表示函数解：用卡诺图分别表示函数F1，F2，F，
47、如下，如下图所示。图所示。AB CD AB CD 00 01 11 1000 00 1001 11 1011 11 0010 10 01AB CD 00 01 11 1000101111110 11 1100 01 11 100001 1111 11 1101 1F1 F2 F。所以)13,12,10,8,7,5,4,3(mF练习：化简练习：化简F=（A+B）（C+D）为最简与或式）为最简与或式 AB CD AB CD 00 01 11 1000 11 1011111101AB CD 00 01 11 100001 11 1111 11 1110 11 1100 01 11 1000 11 101 11 111 11 110 11 1F1 F2 F=A B C+A BD+BC D+AC D 3.无关项的运算规则无关项的运算规则+01 1 01 0 01 =表表 2.6.1
