1、 2003 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 一 （本题满分 50 分）过圆外一点 P 作圆的 两条切线和一条割线，切点为 A，B 所作割 线交圆于 C，D 两点，C 在 P，D 之间，在弦 CD 上取一点 Q， 使DAQPBC求证：DBQPAC 二 （本题满分 50 分）设三角形的三边分别是整数 l，m，n，且 lmn， 已知 10 3 10 3 10 3 444 nml ，其中xxx，而x表示不超过 x 的最大 整数求这种三角形周长的最小值 三 （本题满分 50 分）由 n 个点和这些点之间的 t 条连线段组成一个空间 图形，其中 nq2q1，t1) 1( 2 1 2 qq，q2，qN，已知
2、此图中任 圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有 q2 条连线段，证明：图中必存在一 个空间四边形(即由四点 A，B，C，D 和四条连线段 AB，BC，CD，DA 组成的图形） 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 P A B C D Q 2003 年全国高中数学联合竞赛 加试试题参考答案及评分标准 说明： 1评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分 2如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评 分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不要再增加其它中间档次 一证明：联结 AB，在ADQ 与ABC 中，ADQ=ABC，DAQ=PBC=
3、CAB 故ADQABC，而有 AD DQ AB BC ，即 BCADABDQ 10 分 又由切割线关系知PCAPAD 得 AD AC PA PC ； 同理由PCBPBD 得 BD BC PB PC 20 分 又因 PAPB，故 BD BC AD AC ，得 ACBDBCADABDQ 30 分 又由关于圆内接四边形 ACBD 的托勒密定理知 ACBDBCADABCD 于是得：ABCD2ABDQ，故 DQ 2 1 CD，即 CQDQ 40 分 在CBQ 与ABD 中， BC CQ BC DQ AB AD ，BCQBAD，于是CBQABD， 故CBQABD，即得DBQABCPAC 50 分 二解：由
4、题设可知 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 444444 nnmmll 于是 3l3m3n(mod 104) )2(333 )2(333 5 4 mod mod nml nml 10 分 由于(3，2)(3，5)1，由可知 3l n3mn1 (mod 24) 设 u 是满足 3u1 (mod 24)的最小正整数，则对任意满足 3v1 (mod 24)的正整数 v，我们 有 uv事实上若 u 不整除 v，则由带余除法可知，存在非负整数 a、b，使得 vaub，其 中 0bu1，从而可推出 3b3b au3v1 (mod 24)，而这显然与 u 的定义矛盾 注意到 33
5、(mod 24)，329 (mod 24)，332711 (mod 24)，341 (mod 24)，从而可设 m n4k，其中 k 为正整数 20 分 同理由可推出 3m n1 (mod 25)，故 34k1 (mod 25) 现在我们求 34k1 (mod 25)满足的整数 k 341524，34k1(1524)k10(mod 55) 30 分 )5( m o d025 6 )2)(1( 2) 1(355 25 6 )2)(1( 25 2 ) 1( 25 411372 123824 kkk kkk kkkkk k即 或)5(mod025 3 )2)(1( 2) 1(35 31127 kkk
6、 kkk 即有 k5t，并代入该式得 t5t3(5t1)270(mod 52) 即 k5t53s，其中 s 为整数，故 mn500s，s 为正整数 同理可得 ln500r，r 为正整数 40 分 由于 lmn，rs 这样三角形的三边为 500rn、500sn 和 n，由于两边之差小于第三边，故 n500(rs)， 因此当 s1，r2，n501 时三角形的周长最小，其值为 3003 50 分 三证：设这 n 个点的集合 VA0，A1，A2，An1为全集，记 Ai的所有邻点(与 Ai有连线段的点)的集合为 Bi，Bi中点的个数记为Bibi，显然lb n i i 2 1 0 且 bi(n1) (i
7、0,1，2，n1) 若存在 bin1 时，只须取1) 1( 2 1 1) 1)(1( 2 1 1 2 1 ) 1( 2 qqnq n nl， 则图中必存在四边形，因此下面只讨论 bin1(i0,1，2，n1)的情况 10 分 不妨设 q2b0n1 用反证法若图中不存在四边形，则当 ij 时，Bi与 Bj无公共点对，即BiBj1(0i jn1) 因此1| 0 ii bBB (i0,1，2，n1) 故 0 BV 中点对的个数 1 0 0 2 0 n i ibn BBC中点对的个数 20 分 1 0 2 1 1 0 2 | 0 n i b n i BBi i CC (当 bi1 或 2 时，令 2
8、1 i b C0) )1(2)( 3 1 )( 2 1 )23( 2 1 1 0 2 1 0 1 0 2 nb n b bb n i i n i i n i ii 30 分 )222)(12( ) 1(2 1 )1(2)2( 3 1 )2( 2 1 000 2 0 nblnbl n nbl n bl 222) 1)(1(12) 1)(1( ) 1(2 1 00 nbqnnbqn n )3)(2( ) 1(2 1 00 bnqnqbqnq n 故(n1)(nb0)(nb01)(nqq2b0)(nqqn3b0) q(q1)(nb0)(nb01)(nqq2b0)(nqqn3b0) 40 分 但(nqqn3b0)q(nb01)(q1)b0n3(q1)(q2)n30 及(nqq2b0)(q1)(nb0)qb0qn2q(q2)qn210 由及(nb0) (q1)、(nb01) q 皆是正整数，得 (nqq2b0) (nqqn3b0)q (q1) (nb0) (nb01) 这与式相矛盾，故原命题成立 50 分
