1、 2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1函数 2 54 ( ) 2 xx f x x 在(,2)上的最小值是 （ ） A0 B1 C2 D3 2设 2,4)A ， 2 40Bx xax，若BA，则实数a的取值范围为 （ ） A 1,2) B 1,2 C0,3 D0,3) 3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止 设甲在每局中获胜的概率为 2 3 ， 乙在每局中获胜的概率为 1 3 ， 且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为 （ ） A.
2、241 81 B. 266 81 C. 274 81 D. 670 243 4若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为 564 cm2，则这三个正方体的 体积之和为 （ ） A. 764 cm3或 586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或 564 cm3 D. 586 cm3 5方程组 0, 0, 0 xyz xyzz xyyzxzy 的有理数解( , , )x y z的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6设ABC的内角A B C, ,所对的边, ,a b c成等比数列，则 sincotcos sincotcos ACA BCB 的取值范
3、围是 （ ） A. (0,) B. 51 (0,) 2 C. 5151 (,) 22 D. 51 (,) 2 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 题 15 图 7设( )f xaxb，其中, a b为实数， 1( ) ( )f xf x， 1( ) ( ) nn fxf fx ，1,2,3,n ，若 7( ) 128381fxx，则ab . 8设( )cos22 (1 cos )f xxax的最小值为 1 2 ，则a 9将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 种 10设数列 n a的前n项和 n S满足： 1 (1) nn
4、 n Sa n n ，1,2,n ，则通项 n a= 11设( )f x是定义在R上的函数，若(0)2008f ，且对任意xR，满足 (2)( )3 2 x fxfx，(6)( )63 2xf xf x，则)2008(f= 12一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为4 6的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13 已知函数|sin|)(xxf的图像与直线ykx )0(k有且仅有三个交点， 交点的横坐标的 最大值为，求证： 2 cos1 sinsin34 14解不等式 1210864 22 log
5、(3531)1 log (1)xxxxx 15 如题 15 图，P是抛物线 2 2yx上的动点， 点B C,在y轴上，圆 22 (1)1xy内切于PBC，求PBC面积的最小值 2008 年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准（A 卷） 说明： 1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他 各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次 2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分，解答题中 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次 一、选择题（本题满分 3
6、6 分，每小题 6 分） 1函数 2 54 ( ) 2 xx f x x 在(,2)上的最小值是 （ C ） A0 B1 C2 D3 解 当2x时，20x，因此 2 1 (44)1 ( )(2) 22 xx f xx xx 1 2(2) 2 x x 2， 当且仅当 1 2 2 x x 时上式取等号 而此方程有解1(,2)x ， 因此( )f x在(,2) 上的最小值为 2 2设 2,4)A ， 2 40Bx xax，若BA，则实数a的取值范围为 （ D ） A 1,2) B 1,2 C0,3 D0,3) 解 因 2 40xax有两个实根 2 1 4 24 aa x ， 2 2 4 24 aa
7、x ， 故BA等价于 1 2x 且 2 4x ，即 2 42 24 aa 且 2 44 24 aa ， 解之得03a 3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止 设甲在每局中获胜的概率为 2 3 ， 乙在每局中获胜的概率为 1 3 ， 且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为 （ B ） A. 241 81 B. 266 81 C. 274 81 D. 670 243 解法一 依题意知，的所有可能值为 2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 22 215 ( )( ) 339 若该轮
8、结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响从而有 5 (2) 9 P ， 4520 (4)( )( ) 9981 P ， 2 416 (6)( ) 981 P ， 故 52016266 246 9818181 E 解法二 依题意知，的所有可能值为 2，4，6. 令 k A表示甲在第k局比赛中获胜，则 k A表示乙在第k局比赛中获胜 由独立性与互不相容性得 1212 5 (2)()() 9 PP A AP A A ， 1234123412341234 (4)()()()()PP A A A AP A A A AP A A A AP A A A
9、 A 33 211220 2( ) ( )( ) ( ) 333381 ， 1234123412341234 (6)()()()()PP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A 22 2116 4( ) ( ) 3381 ， 故 52016266 246 9818181 E 4若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为 564 cm2，则这三个正方体的 体积之和为 （ A ） A. 764 cm3或 586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或 564 cm3 D. 586 cm3 解 设这三个正方体的棱长分别为, ,a b c，则有
10、222 6564abc， 222 94abc，不 妨设110abc，从而 2222 394cabc， 2 31c 故610c c只能取 9，8， 7，6 若9c ，则 222 94913ab，易知2a，3b，得一组解( , , )(2,3,9)a b c 若8c ， 则 22 946430ab，5b 但 2 23 0b ，4b， 从而4b或 5 若5b， 则 2 5a 无解，若4b，则 2 14a 无解此时无解 若7c ，则 22 944945ab，有唯一解3a ，6b 若6c ，则 22 943658ab，此时 222 258bab， 2 29b 故6b，但 6bc，故6b，此时 2 583
11、622a 无解 综上，共有两组解 2, 3, 9 a b c 或 3, 6, 7. a b c 体积为 333 1 239764V cm3或 333 2 367586V cm3 5方程组 0, 0, 0 xyz xyzz xyyzxzy 的有理数解( , , )x y z的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 若0z ，则 0 0. xy xyy ， 解得 0 0 x y ， 或 1 1. x y ， 若0z ，则由0xyzz得1xy 由0xyz得zxy 将代入0xyyzxzy得 22 0xyxyy 由得 1 x y ，代入化简得 3 (1)(1)0yyy. 易知 3
12、 10yy 无有理数根，故1y ，由得1x，由得0z ，与0z 矛盾， 故该方程组共有两组有理数解 0, 0, 0 x y z 或 1, 1, 0. x y z 6设ABC的内角A B C, ,所对的边, ,a b c成等比数列，则 sincotcos sincotcos ACA BCB 的取值范围是 （ C ） A. (0,) B. 51 (0,) 2 C. 5151 (,) 22 D. 51 (,) 2 解 设, ,a b c的公比为q，则 2 ,baq caq，而 sincotcossincoscossin sincotcossincoscossin ACAACAC BCBBCBC s
13、i n ()s i n ()s i n s i n ()s i n ()s i n ACBBb q BCAAa 因此，只需求q的取值范围 因, ,a b c成等比数列，最大边只能是a或c，因此, ,a b c要构成三角形的三边，必需且 只需abc且bca 即有不等式组 2 2 ,aaqaq aqaqa 即 2 2 10, 10. qq qq 解得 1551, 22 5151. 22 q qq 或 从而 5151 22 q ，因此所求的取值范围是 5151 (,) 22 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 7设( )f xaxb，其中, a b为实数， 1( ) ( )f xf x
14、， 1( ) ( ) nn fxf fx ，1,2,3,n ，若 7( ) 128381fxx，则ab 5 . 解 由题意知 12 ( )(1) nnn n fxa xaaab 1 1 n n a a xb a ， 由 7( ) 128381fxx得 7 128a ， 7 1 381 1 a b a ，因此2a，3b，5ab 8设( )cos22 (1 cos )f xxax的最小值为 1 2 ，则a23 解 2 ( )2cos1 22 cosf xxaax 22 1 2(cos)21 22 a xaa， (1) 2a时，( )f x当cos1x时取最小值1 4a； (2) 2a时，( )f
15、x当cos1x 时取最小值 1； (3) 22a 时，( )f x当cos 2 a x 时取最小值 2 1 21 2 aa 又2a或2a时，( )f x的最小值不能为 1 2 ， 故 2 11 21 22 aa ，解得23a ，23a (舍去) 9将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 222 种 解法一 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校，而用表示名额如 | 表示第一、二、三个学校分别有 4，18，2 个名额 若把每个“”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“”，故不同的分配方法 相当于24226个位置（两端不在内）被
16、2 个“”占领的一种“占位法” “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入 “”，故有 2 23 C253种 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种 综上知，满足条件的分配方法共有 25331222 种 解法二 设分配给 3 个学校的名额数分别为 123 ,x x x，则每校至少有一个名额的分法数为不 定方程 123 24xxx 的正整数解的个数，即方程 123 21xxx的非负整数解的个数，它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合： 21212 32323 HCC253 又在“每校至少
17、有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种 综上知，满足条件的分配方法共有 25331222 种 10设数列 n a的前n项和 n S满足： 1 (1) nn n Sa n n ，1,2,n ，则通项 n a= 11 2(1) n n n 解 111 1 (1)(2)(1) nnnnn nn aSSaa nnn n ， 即 2 nn a nnnnn n a ) 1( 1 1 1 )2)(1( 22 1 = ) 1( 1 )2)(1( 2 nn a nn n ， 由此得 2 ) 1( 1 ) )2)(1( 1 ( 1 nn a nn a nn 令 1 (1) nn
18、ba n n ， 11 11 22 ba ( 1 0a )， 答 12 图 1 有 1 1 2 nn bb ，故 1 2 n n b ，所以 ) 1( 1 2 1 nn a n n 11设( )f x是定义在R上的函数，若(0)2008f ，且对任意xR，满足 (2)( )3 2 x fxfx，(6)( )63 2xf xf x，则)2008(f= 2008 22007 解法一 由题设条件知 (2)( )( (4)(2)( (6)(4)( (6)( )f xf xf xf xf xf xf xf x 24 3 23 263 23 2 xxxx ， 因此有(2)( )3 2xf xf x ，故
19、(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)ffffffff 200620042 3 (2221)(0)f 1003 1 41 3(0) 4 1 f 2008 22007 解法二 令( )( )2xg xf x，则 2 (2)( )(2)( )223 23 20 xxxx g xg xf xf x ， 6 (6)( )(6)( )2263 263 20 xxxx g xg xf xf x ， 即(2)( ), (6)( )g xg x g xg x， 故( )(6)(4)(2)( )g xg xg xg xg x， 得( )g x是周期为 2 的周期函数， 所
20、以 200820082008 (2008)(2008)2(0)222007fgg 12一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为4 6的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是72 3 解 如答12图1， 考虑小球挤在一个角时的情况， 记小球半径为r， 作平面 111 A BC/平面ABC， 与 小 球 相 切 于 点D， 则 小 球 球 心O为 正 四 面 体 111 PA BC的中心， 111 POABC面，垂足D为 111 A BC的 中心 因 1 1 11 1 1 1 3 P A B CA B C VSPD 1 1 1 4 O A B C V 答 1
21、3 图 答 12 图 2 1 1 1 1 4 3 A B C SOD ， 故44PDODr，从而43POPD ODrrr 记此时小球与面PAB的切点为 1 P，连接 1 OP，则 2222 11 (3 )2 2PPPOOPrrr 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠 近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 1 PEF，如答 12 图 2记正四面体 的棱长为a，过 1 P作 1 PMPA于M 因 1 6 MPP ， 有 11 3 cos2 26 2 PMPPMPPrr ， 故 小 三 角 形 的 边 长 1 226P EP AP Mar 小球与面PAB不
22、能接触到的部分的面积为（如答 12 图 2 中阴影部分） 1 PABPEF SS 22 3 (2 6 ) ) 4 aar 2 3 26 3arr 又1r ，4 6a ，所以 1 24 36 318 3 PABPEF SS 由对称性，且正四面体共 4 个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72 3 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13 已知函数|sin|)(xxf的图像与直线ykx )0(k有且仅有三个交点， 交点的横坐标的 最大值为，求证： 2 cos1 sinsin34 证 ( )f x的图象与直线ykx )0(k的三个交点如答13图所示， 且在 3 (,) 2 内
23、相切，其切点为 ( , sin)A， 3 ( ,) 2 5 分 由于( )cosfxx ， 3 ( ,) 2 x，所以 sin cos ，即tan 10 分 因此 coscos sinsin32sin2 cos 1 4sincos 15 分 22 cossin 4sincos 2 1tan 4tan 2 1 4 20 分 14解不等式 1210864 22 log (3531)1 log (1)xxxxx 解法一 由 44 22 1 log (1)log (22)xx，且 2 log y在(0,)上为增函数，故原不等式等价 于 1210864 353122xxxxx 即 1210864 353
24、210xxxxx 5 分 分组分解 12108 xxx 1086 222xxx 864 444xxx 642 xxx 42 10xx ， 864242 (241)(1)0xxxxxx， 10 分 所以 42 10xx ， 22 1515 ()()0 22 xx 15 分 所以 2 15 2 x ，即 15 2 x 或 15 2 x 故原不等式解集为 5151 (,)(,) 22 20 分 解法二 由 44 22 1 log (1)log (22)xx，且 2 log y在(0,)上为增函数，故原不等式等价 于 题 15 图 1210864 353122xxxxx 5 分 即 6422232 2
25、6 21 33122(1)2(1)xxxxxx xx ， ) 1(2) 1() 1 (2) 1 ( 232 2 3 2 xx xx ， 10 分 令 3 ( )2g ttt，则不等式为 2 2 1 ()(1)gg x x ， 显然 3 ( )2g ttt在R上为增函数，由此上面不等式等价于 2 2 1 1x x ， 15 分 即 2 22 ()10xx ，解得 2 51 2 x ( 2 51 2 x 舍去)， 故原不等式解集为 5151 (,)(,) 22 20 分 15如题 15 图，P是抛物线 2 2yx上的动点，点B C,在y轴上，圆 22 (1)1xy内切于 PBC，求PBC面积的最小
26、值 解 设 00 (,), (0, ),(0, )P xyBb Cc，不妨设bc 直线PB的方程: 0 0 yb ybx x ， 化简得 000 ()0yb xx yx b 又圆心(1,0)到PB的距离为 1， 00 22 00 1 () ybx b ybx ， 5 分 故 22222 000000 ()()2()ybxybx b ybx b， 易知 0 2x ，上式化简得 2 000 (2)20xby bx， 同理有 2 000 (2)20xcy cx 10 分 所以 0 0 2 2 y bc x ， 0 0 2 x bc x ，则 22 2 000 2 0 448 () (2) xyx bc x 因 00 (,)P xy是抛物线上的点，有 2 00 2yx，则 2 2 0 2 0 4 () (2) x bc x ， 0 0 2 2 x bc x 15 分 所以 0 000 00 14 ()(2)4 222 PBC x Sbcxxx xx 2448 当 2 0 (2)4x 时，上式取等号，此时 00 4,2 2xy 因此 PBC S的最小值为 8
