1、第第1 1章章 函数、极限和连续函数、极限和连续1.2.1 1.2.1 数列的极限数列的极限1.2.2 1.2.2 函数的极限函数的极限1.2 1.2 函数的极限函数的极限,(),1,2,xf nnn极限是研究自变量在某一变化过程中函数的变化趋势由于数列是定义在自然数集上的函数,也叫整标函数,记因此在研究函数的极限之前先研究它的特殊形式-数列的极限.1.2.1 数列的极限数列的极限 23(),1,2,(),nnnxf n nx x xxxxxf n1nn对于整标函数由于它取全体正整数,因此,对应函数值可记作通常记作数列其中每一个值叫作数列的一个项,叫作数列的通项.下面进一步研究当自变量n无限增
2、大时,数列的变化趋势 请看下面三个数列.13 41111(1)2,2 324821 4(1)(3)2,2 3nnnnnn 1 (2)-,为观察各数列的变化情况将它的前几项分别在数轴上表示出来：nn+112n1(1)nnn 012341652(3)x1214181161320(2)x(1)x015443322,(1)10,21.nnnnxnnxn-1 由图可知 当 无限增大时 表示数列的点逐渐密集在x=1的+1右侧,即数列无限接近1;表示数列(2)的点逐渐密集在的左侧 即数列无限接近于0;表示数列(3)的点逐渐密+(-1)集在=1的附近,即数列无限接近 ,lim,nnnnnnxnxxnxAnxA
3、 定义 数列当 无限增大时值无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫作数列当时的极限 记作 或时例1 求下列各极限.2221331(1)lim1;lim.2nnnnnnn (2)13(1)lim12nnn 解：2lim(1)limlimnnnnn1321 03limnn 1=-1;2231(2)lim2nnnn=22113lim21nnnn2211lim3limlim3003.20 1limlim1nnnnnnnn数列极限的性质数列极限的性质(1)如果一个数列有极限,则此极限是惟一的.(2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的任意有限项无关.(3)0,1,2,3,nnxnMxM n有极限的数列一
4、定有界,有界数列不一定有极限,无界数列一定无极限.一个数列是有界的,是指存在一个与 无关的常数使得1.2.2 函数的极限函数的极限(),()nxf nnyf xx 之前讨论了整标函数当时的极限 现在讨论一般函数在自变量 的某个变化过程中有什么样的变化趋势,即函数的极限问题.自变量的变化趋势分为以下两种情况.(1),;xxxxxx 即自变量 的绝对值无限增大.如果 现在从某一时刻起只取正值且无限增大,记作如果从 某一个时刻起只取负值而其绝对值无限增大,则记为000000000(2),0;,0.xxxxxxxxxxxxxxx即自变量 无限趋近于定值但不等于如果 只取比 大的值且趋向于记作如果 只取
5、比 小的值且趋向于记作(),(),()()lim(),()(lim(),().)xxxxf xAAf xxxf xAxf xAf xAxf xA 定义 如果当或时 函数无限接近于一个确定的常数那么称 为函数当或时极限记作 简记或简记limarctan,limarctan22xxxx 又如,13 16()arctanxf xx图 时变化趋势22arctanyxxyO1)().xf x当时，函数的极限注意：注意：lim()lim()lim();lim()lim(),lim().xxxxxxf xf xf xf xf xf x 如果和都存在并且相等,那么也存在并且与它们相等即使和都存在 但不相等 那
6、么就不存在02)().xxf x当时，函数的极限.0 0000000(),(),()lim(),().()xxf xxxxxf xAAf xxxf xAxxf xA xx 定义 设函数在点 的左右近旁有定义(点 可除外 如果当时 函数无限接近于一个确定的常数那么 就叫作函数当时的极限,记作或当时从左右两侧趋于00()xxf xx 由定义可知,研究函数的极限只考虑 无限接近于 时的变化趋势,而与在 是否有定义无关.发散发散;例1 观察并写出下列函数的极限:001002(1)lim(21);limsin;limcoslim,(lim.xxxxxxxxxxc cx(2)(3)(4)为常数)(5)12
7、(1),212,lim(21)=2xxxx 1 解：当 无限接时所以20(2)limsin0;xx0(3)limcos1;xx00(4)(),(),lim;xxf xcxxf xccc设当时恒为 所以0000(5),limxxg xxxxg xxxx设()=当时()的值无限趋近于所以3）左极限与右极限0000000000(0),(0),xxxxxxxxxxxxxxxxx 上述讨论的当时函数的极限中,既从 的左侧无限趋近于记或者也从 右侧无限趋近于记或者当 从单侧无限趋近于 时有以下定义00000(),()lim()(0)xxxxf xAAf xxxf xAf xA 定义 当自变量-0时,函数无
8、限接近于一个确定的常数则称 为函数当时的左极限,记为或 000000,(),(),lim()(0)xxxxf xAAf xxxf xAf xA 如果当自变量时 函数无限接近一个确定的常数则称 为函数当时的右极限 记为或0000,(),(0)(0)lim()xxf xxxf xf xAf xA 由左右极限定义 容易得到 函数当时 极限存在的充分必要条件是它的左极限和右极限都存在并且相等,即1,2()0,0.10 xxf xxxxx(0)例 讨论函数 (=0,当时的极限)()0 00 00 00 00()0(00)lim()lim(1)1,(0 0)lim()lim(1)1,0(),lim()(13 21).xxxxxf xxff xxff xxxf xf x 解：作此分段函数图形,由图可知函数当时右极限为左极限为因为当时函数左右极限虽存在但不相等 所以不存在 见图1321图 例4示意图O111yx1yxxy
