1、第 1 页（共 19 页） 2021 年年 1 月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 18 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 54 分。每小题列出的四个选项中只有一分。每小题列出的四个选项中只有一 个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。 ）个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。 ） 1 （3 分）已知集合 A4，5，6，B3，5，7，则 AB（ ） A B5 C4，6 D3，4，5，6，7 2 （3 分）函数() = + 3 + 1 +2的定义域是（ ） A3，+） B （3，+） C3，2
2、）（2，+） D3，2）（2，+） 3 （3 分）log318log32（ ） A1 B2 C3 D4 4 （3 分）以 A（2，0） ，B（0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A （x+1）2+（y+2） 220 B （x1） 2+（y2） 220 C （x+1） 2+（y+2） 25 D （x1） 2+（y2） 25 5 （3 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A2 B4 C2 3 D4 3 6 （3 分）不等式 2|x 1|4 的解集是（ ） A （1，3） B （，1）（3，+） C （3，1） D （，3）（1，+） 7 （3 分）若实数 x，y 满足不等式组
3、+ 3， 1， 1， 则 2x+y 的最大值是（ ） A2 B4 C5 D6 8 （3 分）若直线 l1：3x4y10 与 l2：3xay+20（aR）平行，则 l1与 l2间的距离 第 2 页（共 19 页） 是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 9（3 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 2bsinA= 3a， 则 B （ ） A 6 B 6或 5 6 C 3 D 3或 2 3 10 （3 分）已知平面 ， 和直线 l， （ ） A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 l，l，则 D若 l，l，则 11 （3 分）若 a，bR，则“
4、ab 1 4”是“a 2+b21 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 12 （3 分）函数 f（x）= (2+2)的图象大致是（ ） A B C D 13 （3 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a12，an+11 1 ，nN*，则（ ） Aa40a100 Ba40a100 CS40S100 DS40S100 14 （3 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 C1D1，A1D1的中点，则异 面直线 DE 与 AF 所成角的余弦值是（ ） 第 3 页（共 19 页） A4 5 B3 5 C310 10 D
5、10 10 15 （3 分）某简谐运动的图象如图所示，若 A，B 两点经过 x 秒后分别运动到图象上 E，F 两点，则下列结论不一定成立的是（ ） A = B C = D 16 （3 分）已知函数 f（x）= 1 ，0 2+ 2， 0 ，则函数 yff（x）+1的零点个数是（ ） A2 B3 C4 D5 17 （3 分）如图，椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F，A，B 分别为椭圆的上、下 顶点，P 是椭圆上一点，APBF，|AF|PB|，记椭圆的离心率为 e，则 e2（ ） A 2 2 B171 8 C1 2 D151 8 18 （3 分）如图，在三棱锥 DABC 中，AB
6、BCCDDA，ABC90，E，F，O 分 别为棱BC， DA， AC的中点， 记直线EF与平面BOD所成角为， 则的取值范围是 （ ） 第 4 页（共 19 页） A （0， 4） B （ 4， 3） C （ 4， 2） D （ 6， 2） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 15 分。 ）分。 ） 19 （6 分）设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn.若 a11，a464，则 q ， S3 20 （3 分）已知平面向量 ， 满足| |2，| |1， = 1，则| + | 21 （3 分）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图勤劳
7、而充满智慧的我国古代劳 动人民曾用太极图解释宇宙现象太极图由正方形的内切圆（简称大圆）和两个互相外 切且半径相等的圆（简称小圆）的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切若正方形的边长 为 8，则以两个小圆的圆心（图中两个黑白点视为小圆的圆心）为焦点，正方形对角线所 在直线为渐近线的双曲线实轴长是 22 （3 分）已知 aR，b0，若存在实数 x0，1） ，使得|bxa|bax2成立，则 的取值 范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 31 分。 ）分。 ） 23 （10 分）已知函数 f（x）= 3 2 sin（x+ 6）+ 1 2cos（x+ 6） ，xR （）求
8、f（ 3）的值； （）求函数 f（x）的最小正周期； （）当 x0，2 3 时，求函数 f（x）的值域 24 （10 分）如图，直线 l 与圆 E：x2+（y+1）21 相切于点 P，与抛物线 C：x24y 相交 第 5 页（共 19 页） 于不同的两点 A，B，与 y 轴相交于点 T（0，t） （t0） （）若 T 是抛物线 C 的焦点，求直线 l 的方程； （）若|TE|2|PA|PB|，求 t 的值 25 （11 分）设 a0，4，已知函数 f（x）= 4 2+1，xR （）若 f（x）是奇函数，求 a 的值； （）当 x0 时，证明：f（x） 2xa+2； （）设 x1，x2R，若实数
9、 m 满足 f（x1） f（x2）m2，证明：f（ma）f（1） 1 8 第 6 页（共 19 页） 2021 年年 1 月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 18 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 54 分。每小题列出的四个选项中只有一分。每小题列出的四个选项中只有一 个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。 ）个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。 ） 1 （3 分）已知集合 A4，5，6，B3，5，7，则 AB（ ） A B5 C4，6 D3，4，5
10、，6，7 【解答】解：A4，5，6，B3，5，7， AB5 故选：B 2 （3 分）函数() = + 3 + 1 +2的定义域是（ ） A3，+） B （3，+） C3，2）（2，+） D3，2）（2，+） 【解答】解：由 + 3 0 + 2 0，得 x3，且 x2 函数() = + 3 + 1 +2的定义域为3，2）（2，+） 故选：C 3 （3 分）log318log32（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：log318log32 log3（29）log32 log32+2log32 2， 故选：B 4 （3 分）以 A（2，0） ，B（0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A （x+
11、1）2+（y+2） 220 B （x1） 2+（y2） 220 C （x+1） 2+（y+2） 25 D （x1） 2+（y2） 25 【解答】解：A（2，0） ，B（0，4） ，AB 的中点坐标为（1，2） ， 由|AB|= 22+ 42= 25， 以 A（2，0） ，B（0，4）为直径端点的圆方程是（x1） 2+（y2） 25 第 7 页（共 19 页） 故选：D 5 （3 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A2 B4 C2 3 D4 3 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为直三棱柱，底面三角形 ABC 为等腰直角三角形，ACBC= 2， 侧棱长为 2，
12、 则该几何体的体积为 V= 1 2 2 2 2 = 2 故选：A 6 （3 分）不等式 2|x 1|4 的解集是（ ） A （1，3） B （，1）（3，+） C （3，1） D （，3）（1，+） 【解答】解：不等式 2|x 1|4，即为 2|x1|22， 即有|x1|2， 即2x12， 解得1x3， 则原不等式的解集为（1，3） 故选：A 第 8 页（共 19 页） 7 （3 分）若实数 x，y 满足不等式组 + 3， 1， 1， 则 2x+y 的最大值是（ ） A2 B4 C5 D6 【解答】解：作出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示， 由图可知，当目标函数 z2x+y 过点 A（
13、2，1）时取得最大值，且为 22+15， 故选：C 8 （3 分）若直线 l1：3x4y10 与 l2：3xay+20（aR）平行，则 l1与 l2间的距离 是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 【解答】解：两条直线 l1：3x4y10 与 l2：3xay+20 平行， 则3a+120，解得 a4 所以直线 l2：3x4y+20， 所以两直线间的距离 d= 3 5 故选：C 9（3 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 2bsinA= 3a， 则 B （ ） A 6 B 6或 5 6 C 3 D 3或 2 3 【解答】解：由正弦定理及 2b
14、sinA= 3a 得，2sinBsinA= 3sinA， 因为 sinA0， 所以 sinB= 3 2 ， 第 9 页（共 19 页） 故 B= 3或 2 3 故选：D 10 （3 分）已知平面 ， 和直线 l， （ ） A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 l，l，则 D若 l，l，则 【解答】解：对于 A，当 l，l 时，则 与 相交，或 ，所以 A 错误； 对于 B，当 l，l 时，则 与 相交，或 ，所以 B 错误； 对于 C，根据平面垂直的判定定理知，l，l 时，则 ，所以 C 正确； 对于 D，当 l，l 时，则 ，所以 D 错误 故选：C 11 （3 分）若 a，bR，则“a
15、b 1 4”是“a 2+b21 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当 ab 1 4时，a 2+b22ab21 4 = 1 2，即充分性成立， 反之当 a2+b2 1 2时，a1，b1 时，满足 a 2+b21 2，但 ab 1 4不成立，即必要性不成 立， 即“ab 1 4”是“a 2+b21 2”的充分不必要条件， 故选：A 12 （3 分）函数 f（x）= (2+2)的图象大致是（ ） A B 第 10 页（共 19 页） C D 【解答】解：函数的定义域为 R，() = () ()2+2 = (2+2) = ()， 即函数
16、f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项 B，C； 当 x0+时，0，(2+ 2)0， (2+2) 0，故可排除选项 D 故选：A 13 （3 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a12，an+11 1 ，nN*，则（ ） Aa40a100 Ba40a100 CS40S100 DS40S100 【解答】解：因为 a12，an+11 1 ，nN*， 所以 a21 1 1 =1 1 2 = 1 2， a31 1 2 =121， a41 1 3 =1（1）2， a51 1 4 = 1 2， 所以数列an的周期为 3， 所以 a40a313+1a12， a100a333+1a12
17、， 所以 a40a100，故 A，B 错误； S4013（a1+a2+a3）+a4013（2+ 1 2 1）+2= 43 2 ， S10033（a1+a2+a3）+a10033（2+ 1 2 1）+2= 103 2 ， 所以 S40S100，故 C 正确，D 错误 故选：C 第 11 页（共 19 页） 14 （3 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 C1D1，A1D1的中点，则异 面直线 DE 与 AF 所成角的余弦值是（ ） A4 5 B3 5 C310 10 D 10 10 【解答】解：取 A1B1的中点 M，连接 AM，EM，FM，则 EMA1D1AD，EM
18、A1D1 AD， 四边形 ADEM 为平行四边形， DEAM， FAM 或其补角为异面直线 DE 与 AF 所成角， 设正方体的棱长为 2， 在AFM 中，AFAM= 5，FM= 2， 由余弦定理知，cosFAM= 2+22 2 = 5+52 255 = 4 5 故选：A 15 （3 分）某简谐运动的图象如图所示，若 A，B 两点经过 x 秒后分别运动到图象上 E，F 两点，则下列结论不一定成立的是（ ） A = B 第 12 页（共 19 页） C = D 【解答】解：设 E（x1，y1） ，则 F（x1+1，y2） ， 对于 A， =（1，1） （1，0）1， =（1，y2y1） （1，0
19、）1， 所以 = ，故 A 一定成立； 对于 B， =（1，1） （0，1）1， =（1，y2y1） （0，1）y2y1， 若 y20，y11，此时 = ，故 B 不一定成立； 对于 C， =（x1，y1） （1，0）x1， =（x1，y21） （1，0）x1， 所以 = ，故 C 一定成立； 对于 D， =（1，1） （1，y2y1）1+y2y1， =（x1，y21） （0，1） y21， 所以 =2y1，又因为 y11，1， 所以 2y10，所以 ，故 D 一定成立 故选：B 16 （3 分）已知函数 f（x）= 1 ，0 2+ 2， 0 ，则函数 yff（x）+1的零点个数是（ ） A2
20、 B3 C4 D5 【解答】解：令 = () + 1 = 1 + 1，0 ( + 1)2， 0 ， 当 t0 时，() = 1 ，则函数 f（t）在（0，+）上单调递增， 由于 f（1）10，(2) = 2 1 2 0， 由零点存在定理可知，存在 t1（1，2） ，使得 f（t1）0； 当 t0 时，f（t）t2+2t，由 f（t）t2+2t0，解得 t22，t30， 作出函数 tf（x）+1，直线 tt1、t2、t0 的图象如下图所示： 第 13 页（共 19 页） 由图象可知，直线 tt1与函数 tf（x）+1 的图象有两个交点， 直线 t0 与函数 tf（x）+1 的图象有两个交点， 直
21、线 t2 与 tf（x）+1 的图象有且仅有一个交点， 综上所述，函数 yff（x）+1的零点个数为 5 故选：D 17 （3 分）如图，椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F，A，B 分别为椭圆的上、下 顶点，P 是椭圆上一点，APBF，|AF|PB|，记椭圆的离心率为 e，则 e2（ ） A 2 2 B171 8 C1 2 D151 8 【解答】解：B（0，b） ，F（c，0） ，则= ，直线 AP：y= + ， 与椭圆方程联立，可得（a2+c2）x2+2a2cx0， 可得 P 点的横坐标为 x= 22 2+2，则 y= 3 2+2，即 P（ 22 2+2， 3 2+2）
22、， 由|AF|PB|，得|PB|2a2，即( 22 2+2) 2 + ( 3 2+2 + )2= 2， 整理为：4c63a2c42a4c2+a60， 则 4e63e42e2+10，即（e21） （4e4+e21）0， e210，4e4+e210，解得2= 171 8 或2= 171 8 （舍去） 故选：B 第 14 页（共 19 页） 18 （3 分）如图，在三棱锥 DABC 中，ABBCCDDA，ABC90，E，F，O 分 别为棱BC， DA， AC的中点， 记直线EF与平面BOD所成角为， 则的取值范围是 （ ） A （0， 4） B （ 4， 3） C （ 4， 2） D （ 6， 2）
23、 【解答】解：因为 ABBCCDDA，ABC90，又因为 AB 为公共边，所以ABC ADC， 所以ADCABC90， 又因为 OAC 的中点，所以 ABOD，ABOB，设BOD，则 （0，） ， 设如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ABBCCDDA= 2，则 OAOBOCOD 1， 由已知得各点坐标如下： A（0，1，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，D（cos，0，sin） ， E（1 2 ， 1 2 ，0） ，F（1 2 ， 1 2 ， 1 2 ） ， 所以 =（1 2 ( 1)， 1， 1 2 ） ， 平面 OBD 的法向量为 =（0，1，0） ， 因为直线 EF 与平面
24、 BOD 所成角为 ， sin= | | | | | = 1 1 2(1) 2+(2)2+()21 = 2 62 = 2 3， 因为 （0，） ，于是 cos（1，1） ，所以 sin( 2 2 ，1)， 所以 （ 4， 2） 故选：C 第 15 页（共 19 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 15 分。 ）分。 ） 19 （6 分）设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn.若 a11，a464，则 q 4 ，S3 21 【解答】解：因为 a11，a464， 根据 a4a1q3，可得 64q3，解得 q4， 可得 S3= 1(1
25、3) 1 = 1(143) 14 =21 故答案为：4，21 20 （3 分）已知平面向量 ， 满足| |2，| |1， = 1，则| + | 3 【解答】解：| |2，| |1， = 1， （ + ）2= 2 +2 + 2 42+13， | + |= 3 故答案为：3 21 （3 分）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图勤劳而充满智慧的我国古代劳 动人民曾用太极图解释宇宙现象太极图由正方形的内切圆（简称大圆）和两个互相外 切且半径相等的圆（简称小圆）的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切若正方形的边长 为 8，则以两个小圆的圆心（图中两个黑白点视为小圆的圆心）为焦点，正方形对角线所 在直线为
26、渐近线的双曲线实轴长是 22 第 16 页（共 19 页） 【解答】解：以两焦点所在直线为 y 轴，两焦点的中垂线为 x 轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的焦距为 2c，则 4c8，再由题意可得，双曲线的渐近线方程为 yx， ab，则 c2，ab= 2，故双曲线实轴长是 2a= 22 故答案为：22 22 （3 分）已知 aR，b0，若存在实数 x0，1） ，使得|bxa|bax2成立，则 的取值 范围是 1， 2+1 2 【解答】解：由于 b0，故不等式两边同除以 b，得| | 1 2，令 = ， 即不等式|xt|1tx2在 x0，1）上有解， 去绝对值即得 tx21xt1tx2， 即 2
27、1 1 2， 即 +1 2+1 1 12 = 1 +1 在 x0， 1）上有解， 设() = 1 +1 ，() = +1 2+1 ， 0，1)，即 tf（x）min且 tg（x）max即可， 由() = 1 +1在 x0，1）上，x+11，2） ， 1 +1 (1 2 ，1，即() 1， 1 2)，故 tf（x）min1； 由() = +1 2+1 = +1 (+1)2+22(+1) = 1 +1+ 2 +12 ，利用基本不等式( + 1) + 2 +1 22， 第 17 页（共 19 页） 当且仅当 + 1 = 2 +1即 = 2 1 0，1)时等号成立，故() 1 222 = 2+1 2
28、，即 ()= 2+1 2 ，故 2+1 2 ， 综上，t 的取值范围为1 2+1 2 ，即 的取值范围为1 2+1 2 故答案为：1， 2+1 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 31 分。 ）分。 ） 23 （10 分）已知函数 f（x）= 3 2 sin（x+ 6）+ 1 2cos（x+ 6） ，xR （）求 f（ 3）的值； （）求函数 f（x）的最小正周期； （）当 x0，2 3 时，求函数 f（x）的值域 【解答】解：函数 f（x）= 3 2 sin（x+ 6）+ 1 2cos（x+ 6）sin（x+ 6 + 6）sin（x+ 3） ； （）f（ 3）
29、sin（ 3 + 3）= 3 2 ； （）函数 f（x）的最小正周期 T2； （）当 x0，2 3 时，x+ 3 3， sin（x+ 3）0，1， 函数 f（x）的值域为0，1 24 （10 分）如图，直线 l 与圆 E：x2+（y+1）21 相切于点 P，与抛物线 C：x24y 相交 于不同的两点 A，B，与 y 轴相交于点 T（0，t） （t0） （）若 T 是抛物线 C 的焦点，求直线 l 的方程； （）若|TE|2|PA|PB|，求 t 的值 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （）T（0，t） （t0）是抛物线 C：x24y 的焦点，t1， 设直线 l 的方程为 ykx+1，
30、由直线 l 与圆 E 相切，得 2 1+2 = 1，即 k= 3， 直线 l 的方程为 y= 3 + 1； （）设直线 l 的方程为 ykx+t，P（x0，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 = + 2= 4 ，得 x24kx4t0 则 x1+x24k，x1x24t， | | = 1 + 2|1 0| 1 + 2|2 0| = (1 + 2)12 0(1+ 2) + 02 = (1 + 2)02 4(0+ ) = (1 + 2)(02 40) 由直线 l 与圆 E 相切，得 |+1| 1+2 = 1，即 1+k2（t+1）2， 由|TE|t+1，|TE|2|PA|PB|，得
31、(1 + 2)(02 40) = ( + 1)2， 02 402= 1，又02+ (0+ 1)2= 1，解得0= 3 + 22 由直线 l 与 PE 互相垂直，得 k= 1 = 0 0+1， t= 0 0= 0+ 02 0+1 = 02+02+0 0+1 = 0 0+1 = 322 222 = 21 2 25 （11 分）设 a0，4，已知函数 f（x）= 4 2+1，xR （）若 f（x）是奇函数，求 a 的值； （）当 x0 时，证明：f（x） 2xa+2； （）设 x1，x2R，若实数 m 满足 f（x1） f（x2）m2，证明：f（ma）f（1） 1 8 【解答】 （）解：由题意，对任
32、意 xR，都有 f（x）f（x） ， 即4 2+1 = 4 2+1，即4xa4x+a， 可得 a0 （）证明：因为 x0，a0，4， 4 2+1 （ 2xa+2）= 4( 2+2)(2+1) 2+1 = 1 2(2+1)ax（x 22x+1）+4（x22x+1） = 1 2(2+1)（ax+4） （x1） 20， 第 19 页（共 19 页） 所以 f（x） 2xa+2 （）证明：设 t4xa，则 yf（x）= 4 2+1 = 16 2+2+2+16（tR） ， 当 t0，y0； 当 t0 时，y= 16 +2+16 +2 ， 所以 f（x）max= 8 +2+16 0， f（x）min= 8 2+16 0， 因为 f（x1） f（x2）m2， 所以m2f（x）maxf（x）min4， 即2m2， 当 ma0 时，f（ma）0，f（1）= 4 2 0， 所以 f（ma）f（1） 1 8； 当 ma0 时，由（）知， f（ma）f（1） 2（ma）a+2 4 2 = 2（ma1） 2（1a） 1 8，等号不 能同时成立 综上可知，f（ma）f（1） 1 8
