1、123456711 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1）12 (1,2,)jjjmjaajna1122nnxxxb则方程组有则方程组有向量形式向量形式 线性方程组的向量表达式线性方程组的向量表达式 若记若记 线性方程组线性方程组 j即为系数矩阵的第即为系数矩阵的第 列列 j82.2 向量的线性关系向量的线性关系解解 设设1122kk则则121122122512382613kkkkkkkk所以所以122 定义定义2.4 设有同维向量设有同维向量 ，如果存在，如果存在一组数一组数 ，使得，使得 成
2、立，成立，则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示，或称向量，或称向量 是向量组是向量组 的的线性组合线性组合。12,n 12,nk kk1122nnkkk12,n 12,n 例例212121（，），（2,3,6）,=（5,8,13），设设判断向量判断向量 能否由向量组能否由向量组 线性表示？如果可以，求出线性表示？如果可以，求出表达式。表达式。12，1122nnxxx小结：小结：可由向量组可由向量组线性表示线性表示 线性方程组线性方程组 有解有解12n，9 定义定义2.5显然：含有零向量的向量组是线性相关的。显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为因为121000nOO 1
3、2n，12,nk kk1122nnkkko12n，设有向量组设有向量组 ，如果存在一组，如果存在一组不全为零的数不全为零的数 ，使得，使得 成立，则称成立，则称向量组向量组 线性相关线性相关，否则，称向量组，否则，称向量组 线性无关线性无关。即。即当且仅当当且仅当 全为零时全为零时，才成立，则称向量组才成立，则称向量组 线性无关线性无关。12n，1122nnkkkO12n，12,nk kk两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。10小结小结：齐次线性方程组齐次线性方程组11220nnxxx有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组11220nn
4、xxx只有零解只有零解12,n 线性相关线性相关向量组向量组（1）向量组向量组12,n 线性无关线性无关（2）(3)向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示12,n 线性方程组线性方程组 有解有解1122nnxxx11向量组的线性相关性的几个性质定理向量组的线性相关性的几个性质定理 1、单个非零向量是线性无关的。、单个非零向量是线性无关的。2、两个向量线性相关两个向量线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是对应分量成比例对应分量成比例。3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即向量组线性无关。即部分相关，则
5、整体相关；整体无关，部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。则部分无关。4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关低维相关。12推论推论2.1 任意任意m(mn)个个n维向量线性相关维向量线性相关.（注：注：由于没有由于没有m阶子式，故阶子式，故R(A)r,则线性相关两个等价的向量组秩相等理12121212,.srsr如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,则称向量组可以由向量组线性表示1212,.sr 如果
6、向量组与向量组可以互相线性表示,则称这两个向量定义2.9组等价:用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改变矩阵的秩，因此，变矩阵的秩，因此，可以将矩阵先化成可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵行阶梯型矩阵，就可较，就可较快求出矩阵的秩。快求出矩阵的秩。14特殊特殊行列式行列式 的计算的计算1njj其中表示对所有n阶排列求和，共有n！项；nnaa11nnaaa2211 1111111nnnnnaaaaaa 11nnaa11,212)1()
7、1(nnnnnaaa 111111nnnnnnaaaaaa 说明：1）2）AAA对应于方阵 的行列式记为或det（）；15u性质性质1.8 1.8 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数数 k k，等于用数等于用数 k k 乘此行列式乘此行列式 。推论推论2 2：如果行列式如果行列式D D有一行（列）的元素全为零，则有一行（列）的元素全为零，则D=0D=0 推论推论3 3：如果行列式如果行列式D D有两行（列）的元素成比例，则有两行（列）的元素成比例，则D=0D=0推论推论1 1:行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以行列式中某一行（列）的所有元
8、素的公因子可以 提到行列式符号的外面。提到行列式符号的外面。111211212niiinnnnnaaaDaaaaaa1112111212niiinnnnnaaaDkakakakDaaa 推论推论4 4：nAnAA设为 阶 方 阵，则。16行的运算 row列的运算 column交换i,j两行数乘第 i 行数乘第 i行加到第 j 行ijrrikr交换i,j两列数乘第 i 列数乘第 i 列加到第 j 列ijccikc变号变号K 倍倍等值等值变号变号K 倍倍等值等值ijkrr ijkcc 17定理定理1.8设设A为方阵。如果为方阵。如果0A则则A可逆（非奇异、非可逆（非奇异、非退化）矩阵，且退化）矩阵
9、，且1111AAAAA，（要求证明）定理定理1.7设设 A 是是n 阶矩阵，阶矩阵，为其转置伴随矩阵，则有为其转置伴随矩阵，则有*A*IAAA AA 若方程组中常数项全为零（齐次线性方程组），且若方程组中常数项全为零（齐次线性方程组），且D不等于零，则该方程组有唯一零解，即若有非零解，不等于零，则该方程组有唯一零解，即若有非零解，则系数行列式则系数行列式D等于零。等于零。推论1.518 例如乘积阵的第例如乘积阵的第2行元素分别为行元素分别为A重要公式重要公式定理定理1.7 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111 AA证明证明0A 00 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAA
10、Aaaaaaaaaa212221212111212222111211 AAA.A I*IAAA AA19定理定理1.8 n 阶方阵阶方阵A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 AAA11且且.0 A证证”“两两边边取取行行列列式式，111AAA AI110AAA，”“AAA AA I11()()AAAAIAA AAA11牢牢记记这这个个定定理理0 AA可可逆逆非非奇奇异异A1,AAAI由 可逆知,0 A由由11AA20,1)(1AAA 且且1 nAA证明证明0,.0,0 AAA若若否否则则则则若若,11 AA又又1 nAA1 AAAn1 0,.AAAA IAA A若1()A AI 1)(AAAA
11、OA 证证矛矛盾盾。与与0,AOAOAij.)(2AAAAn 可可逆逆，证证明明设设证证(),A AA I,1 nAA而而1(),nA AAI，可可逆逆可可逆逆，又又 AA.)()(211AAAAAnn 由伴随阵重要公式知由伴随阵重要公式知,1()A I A O(1,伴随阵性质伴随阵性质.)(2,伴随阵性质伴随阵性质.)21定义设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子块都是方阵，即块都是方阵，即sAOOOAOOOAA21sAAA21其中),2,1(siAi都是方阵，称A
12、为分块对角矩阵)(定理定理1.9 1.9 分块对角矩阵分块对角矩阵22sAAAA21iA0(1,2,),A0,is（2）若则并有1-s12111AOOOAOOOAA23 )(1)(,.111AAAAAA且且可可逆逆可可逆逆1.3 nAA1.2 AAAAAAn 2)(.5 AkkAn 1)(.4伴随矩阵的性质：伴随矩阵的性质：证证1.AAA I”“”“,0 AA可可逆逆知知由由,AAIA111()AAAI又;1)(1AAA )(1AAA1AAAAI可逆，且.0 A.可可逆逆A1)(A由由伴随阵重要公式伴随阵重要公式知知,0,A若若否否则则OAA OAAAA 1)(,OA .可可逆逆矛矛盾盾这这与
13、与 A24线性相关的一些命题(定理2.3部分蕴涵其中)1.含有零向量的向量组，总是线性相关的。11200100m不妨设，则 2.含有相同向量的向量组，总是线性相关的。21121-100m（），则 不妨设注：单个零向量构成的向量组线性相关。单个非零向量是线性无关的。253.线性相关的向量组添加若干向量后，仍是线性相关的。12121000rrmrkkk21210rrkkk12,rk kk使设存在不全为零推论推论：线性无关向量组的部分向量组，仍是线性 无关的。反证法：设线性无关向量组12,m，部分向量组S线性相关。由此部分向量组S扩充，得到12,m 由命题3，12,m 线性相关,矛盾。26 定理定理
14、2.3 (1)线性相关向量组添加向量后仍线性相关向量组添加向量后仍然线性相关然线性相关;(2)线性无关向量组的子向量组必线性无关线性无关向量组的子向量组必线性无关;(3)线性无关向量组中的每个向量扩大同样线性无关向量组中的每个向量扩大同样的维数的维数,得到的新向量组仍然线性无关得到的新向量组仍然线性无关.27向量组的等价 如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B可由A线性表示，则称A与B等价。相互等价的线性无关线性无关向量组含有相同的向量个数性质（1）自反性：任何向量组都与自身等价。如果向量组A与B 等价，则B与A等价。（2）对称性：（3）传递性：如果向量组A与B等价，B与C等价，则A与C等价
15、。28推论推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零.推论推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零.推论推论1：当mn时，m个n维向量线性相关。()R Anm定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量线性无关,且任意r+1个行向量线性相关。2.mnm nm mn推论个 维向量线性无关的充要条件是由它们为行向量组成的矩阵的秩为29最大无关组的含义有两层：最大无关组的含义有两层：1无关性无关性;2.最大性最大性.注注:1.线性无关向量组的最大无关组就是其本身线性无关向量组的最大无关组就
16、是其本身;2.向量组与其最大无关组等价向量组与其最大无关组等价;3.同一个向量组的最大无关组不惟一同一个向量组的最大无关组不惟一,但它们之间是但它们之间是 等价的等价的.30,(),0-mnAARArnnrA x设则 方 程 组的 基 础 解 系 含 有个 解 向 量。定理2.1012,n r，基础解系：通解定义2.111 122n rn rxkkk12,n rk kk为任意实数下面来看如何求齐次线性方程组的通解下面来看如何求齐次线性方程组的通解(书上书上P61)。3111112211211222221122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb1112
17、12122212nnmmmnaaaaaaAaaam个方程，n个未知数(4)非齐次线性方程组非齐次线性方程组11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵Axb矩阵形式32记系数矩阵12nA矩阵形式的方程组可以写成等价的向量形式1122nnxxxb记矩阵12nBbAbB为增广矩阵方程组方程组（4 4）有解的充分必要条件是它的增广矩阵有解的充分必要条件是它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等。的秩与系数矩阵的秩相等。(定理定理2.11)2.11)方程（4）无解的充分必要条件是：R(B)=R(A)+1331.设 R(A)=R(B)=n向量组12,n
18、线性无关，而向量组12,nb 线性相关。可知b可由12,n 线性表示且表法唯一。即方程（4）有唯一解。2.设 R(A)=R(B)=rn向量组12,n 线性相关，方程11220nnxxxAx有非零解。,0(0)AbA对任意的实数k()0AkAkAbb方程（4）有无穷多解。34()()AxbR BR A解有()()AxbR BR An有唯一解()()AxbR BR An解有无穷个()()1AxbR BR A解无35性质性质5：若：若 x为为Ax=b的解，的解，x方程组方程组Ax=0的解，则的解，则是对应齐次是对应齐次 x为为Ax=b的解。的解。由性质由性质4，5可知定理可知定理2.12：若若*x为
19、为Ax=b的特解，的特解，x方程组方程组Ax=0的通解，则的通解，则是对应齐次是对应齐次*x为为Ax=b的通解。的通解。Ax=b的通解可写成：的通解可写成：*2211 rnrnkkkxAx=0的通解的通解Ax=b的特解的特解366性质：设 是非齐次线性方程组的一个已知解（特解），则非齐次线性方程组的任意一个解向量都可以表示为 与对应齐次线性方程组的某个解向量的和。例如：37命题命题1nn非零 维向量x是 阶方阵 的的充分必要条件是：向量Ax与特征向A量x共线。命题命题20kxAkA（）如果x是矩阵 的对应特征值 的特征向量，则也是 的对应特征值 的特征向量。命题命题3矩阵矩阵A的任一特征向量所
20、对应的特征值是唯一的。的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。120 xAxAxx，x，120 xx1200 x（）x12038相似矩阵的性质相似矩阵的性质若若A和和B相似，则相似，则1.A和和B有相等的秩。有相等的秩。2.方阵方阵A和和B有相等的行列式有相等的行列式。(性质3.2)1P APB1P APB1PA PB1BPP A1,BP AP P可逆。1P P AA证明（证明（1）1P APB1()()R P APR B()()R AR B39推论如果如果n阶矩阵阶矩阵A的特征值的特征值1,n互不相同互不相同则则A相似于对角矩阵相似于对角矩阵1n定理3.7n 阶阶 矩阵矩阵 A 与对角矩阵相似
21、的充分必要条件与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个是对于每一个 重特征值重特征值 ,对应着对应着 个线个线性无关的特征向量性无关的特征向量.inini40A121nP AP 相似变换相似变换12()nPxxx0AIi解出特征值0iAI xi求出基础解系若若A有有n个线性无关的特征向量则个线性无关的特征向量则A相似于相似于对角阵对角阵41121nP AP112mmmmnAPP应用应用 :利用对角化计算矩阵的乘方利用对角化计算矩阵的乘方mA42010.,1(3)A,mmAxkAxmAA00 设是方阵 对应于特征向量 的特征值证明(1)对实数k,k是对应于特征向量 的特征值;(2)对正整数为方阵
22、的一个特征值.若 可逆的 则为的一个特征练值习 0000 A(1)()()()(),.xxkA xk AxkxkxkkAx由题意知即是对应于特征向量 的特征值证证 1120022000(2)()()().mmmmmmmmA xAAxAxAAxAxxAx 即是对应于特征向量 的特征值*0|.AA 为 的一个特征值4310110010*1*0(3)0,1,1|,|AAAxxxAxAxxAxAA AAAx0 当 可逆时,由定理3的推论可知用左乘 两边得 即所以为对应于特征向量 的特征值.由于由上面的结论以及(1)可得 为对应于特征向量 的特征值.0007,(),()().miiimmiiiiiinAf xa xfaf Aa A由例题 的结论进一步还可得下面的结论:若 为 阶方阵 的特征值 对任一个多项式,即则为矩阵的特征值444.2.2 4.2.2 正交矩阵正交矩阵 如果如果方阵方阵A满足满足 ，则称则称A为正交矩阵为正交矩阵.TA AI11.TAA正交矩阵的性质：2.1A 211TTTA AIA AAAAIA
