1、2020-2021学年山东省济南市历城二中高二（上）开学数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在复平面内，复数z（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）ABCD3（5分）如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则（）AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能4（5分）已知ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则（）A+B+CD5（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，
2、B，C的对边，满足（a+b+c）（a+bc）ab，则ABC的最大角为（）A30B120C90D606（5分）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）分数54321人数2010303010ABC3D7（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足b2ccosA，则ABC的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D锐角三角形8（5分）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A（表示事件B的对立事件）发生的概率为（）ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小
3、题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）（多选）9（5分）若复数z，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）Az的虚部为1B|z|Cz2为纯虚数Dz的共轭复数为1i（多选）10（5分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（）A至少有1件次品与至多有1件正品B至少有1件次品与都是正品C至少有1件次品与至少有1件正品D恰有1件次品与恰有2件正品（多选）11（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是
4、（）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生80前指1979年及以前出生A互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多（多选）12（5分）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为1，则（）A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段MN的最大值为2三、填空题13（3分）已知向量2，2+，其中（1，0），（0，1），与的夹角为 14（3分）在AB
5、C中，b，c3，B30，则a的值为 15（3分）如图，在ABC中，P是BN上的一点，若+m，则实数m的值为 16（3分）在平行四边形ABCD中，BC3，且，以BD为折痕，将BDC折起，使点C到达点E处，且满足AEAD，则三棱锥EABD的外接球的表面积为 四、解答题（本题共6题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17已知复数w满足w4（32w）i（i为虚数单位），（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2px+q0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根18在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2a2bc（）已知 _，计算ABC的面积；请从a，b2
6、，sinC2sinB这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分（）求cosB+cosC的最大值19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离205张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：（1）甲中奖的概率P（A）；（2）甲、乙都中奖的概率P（B）；（3）只有乙中奖的概率P（C）21某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职
7、工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率22在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，ABCD为直角梯形，BCAD，ADC90，PAPD，E，F为AD，PC的中点（）求证：PA平面BEF；（）若PC与AB所成角为45，求PE的长；（）在（）的条件下，求二面角FBEA的余弦值参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，只有一项是符合题目
8、要求的）1（5分）在复平面内，复数z（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数z+i，则复数z的共轭复数i所对应的点（，）位于第三象限故选：C2（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）ABCD【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2r，全面积：侧面积（2r）2+2r2：（2r）2故选：A3（5分）如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则（
9、）AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能【分析】直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可【解答】解：四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAC平面PADPA，由直线与平面平行的性质定理可得：MNPA故选：B4（5分）已知ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则（）A+B+CD【分析】由已知结合向量的线性表示及共线定理可求【解答】解：+，故+故选：A5（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足（a+b+c）（a+bc）ab，则ABC的最大角为（）A30B120C90D60【分析】已知的等式左边利用平方差公
10、式及完全平方公式化简，整理后得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，即可得到结论【解答】解：（a+bc）（a+b+c）（a+b）2c2a2+b2c2+2abab，a2+b2c2ab，cosC，C为三角形内角，C120为钝角C为最大角，故选：B6（5分）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）分数54321人数2010303010ABC3D【分析】根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可【解答】解：，故选：B7（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足b2ccosA，则ABC的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D锐角三角形
11、【分析】由已知及正弦定理可得sinB2sinCcosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanAtanC，进而可得ac，即可得解三角形是等腰三角形【解答】解：在ABC中，b2ccosA，由正弦定理可得：sinB2sinCcosA，可得sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinCcosA，sinAcosCsinCcosA，可得tanAtanC，ACac则这个三角形一定是等腰三角形故选：C8（5分）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A（表示事件B的对立事件
12、）发生的概率为（）ABCD【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件A和事件B是互斥事件，看出事件A和事件B包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果【解答】解：事件B表示“小于5的点数出现”，B的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，表示事件是出现点数为5和6事件A表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为2和4，P（A）+故选：C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）（多选）9（5分）若复数z，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）Az的虚部为1B|z
13、|Cz2为纯虚数Dz的共轭复数为1i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：z1i，z的虚部为1，|z|，z2（1i）22i为纯虚数，z的共轭复数为1+i正确的选项为：ABC故选：ABC（多选）10（5分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（）A至少有1件次品与至多有1件正品B至少有1件次品与都是正品C至少有1件次品与至少有1件正品D恰有1件次品与恰有2件正品【分析】利用对立事件、互斥事件定义求解【解答】解：有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，在A中，至少有1件次品与至多有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故
14、A错误；在B中，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故B正确在C中，至少有1件次品与至少有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，恰有1件次品与恰有2件正品不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确；故选：BD（多选）11（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生80前指1979年及以前出生A互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B互联网行业中从事技术岗
15、位的人数超过总人数的20%C互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%（39.6%+17%）31.696%30%，互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%
16、20%，互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：17%56%9.52%互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误故选：ABC（多选）12（5分）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为1，则（）A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段MN的最大值为2【分析】直接利
17、用正方体和内切球和外接球的关系，球的体积和表面积公式判定A、B、C、D的结论【解答】解：设正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即R，内切球为棱长的一半，即r，由于M和N为外接球和内切球上的动点，对于C：所以，解得a2故C正确；对于A：所以外接球的表面积为，故A正确；对于B：内切球的体积为，故B正确；对于D：线段MN的最大值为，故D错误故选：ABC三、填空题13（3分）已知向量2，2+，其中（1，0），（0，1），与的夹角为 【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算，即可求出两向量的夹角【解答】解：因为（1，0），（0，1），所以2（1，0）2（0，1）（1，2），2+2（
18、1，0）+（0，1）（2，1），所以12+（2）10，所以，所以与的夹角为故答案为：14（3分）在ABC中，b，c3，B30，则a的值为或2【分析】根据余弦定理b2a2+c22accosB，将题中数据代入可得a23a+60，解之即可得到a的值【解答】解：在ABC中，b，c3，B30，由余弦定理b2a2+c22accosB，得3a2+92a3cos30即a23a+60，解之得a或2故答案为：或215（3分）如图，在ABC中，P是BN上的一点，若+m，则实数m的值为 【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量共线定理可求m【解答】解：，+m，+4m，又P，B，N三点共线，所以1，解得m故答案为：1
19、6（3分）在平行四边形ABCD中，BC3，且，以BD为折痕，将BDC折起，使点C到达点E处，且满足AEAD，则三棱锥EABD的外接球的表面积为13【分析】由题意可得BDBCAD，折起后由题意可得三棱锥的对棱相等，放在长方体中，设长方体的长宽高，可得长方体的对角线为外接球的直径，求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积【解答】解：由，BC3，且，平行四边形ABCD中，BCAD，在ABD，可得BD3AD，折起后，AEAD，可得BDAE3，ABDE2，BEAD3，三棱锥中对棱相等，所以将此三棱锥放在长方体中，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则，a2+b2+c213，设外接球的半径为R，则（2R）2
20、a2+b2+c213，所以外接球的表面积S4R213，故答案为：13四、解答题（本题共6题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17已知复数w满足w4（32w）i（i为虚数单位），（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2px+q0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根【分析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出解法二：设wa+bi（a、bR），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出（2）把z3+i代入关于x的方程x2px+q0，利用复数相等解出p，q，即可得出【解答】解：（1）解法一：w（1+2i）4+3i，解法二：设wa+bi（a、bR），a
21、+bi43i2ai+2b，得 ，w2i，以下解法同解法一（2）z3+i是关于x的方程x2px+q0的一个根，（3+i）2p（3+i）+q0（83p+q）+（6p）i0，p，q为实数，解得p6，q10解方程x26x+100得实数p6，q10，方程的另一个根为x3i18在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2a2bc（）已知 _，计算ABC的面积；请从a，b2，sinC2sinB这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分（）求cosB+cosC的最大值【分析】（） 选b2，sinC2si
22、nB可得c2b4，结合b2+c2a2+bc，求得A即可若选a，b2由b2+c2a2+bc可得c3由b2+c2a2+bc，求得A即可若选a，sinC2sinB，可得c2b，又b2+c2a2+bc，可得b，c即可；（）cosB+cosCcosB+cos（B+）cosBcos（B+）cosB+sin（B+）1即可【解答】解：（）若选b2，sinC2sinBsinC2sinB，c2b4，b2+c2a2+bc，cosA，又A（0，），AABC的面积S若选a，b2由b2+c2a2+bc可得c3，b2+c2a2+bc，cosA，又A（0，），AABC的面积S 若选a，sinC2sinBsinC2sinB，c
23、2b，又b2+c2a2+bc，b2+4b27+2b2，可得b，c，cosA，AABC的面积S（）AcosB+cosCcosB+cos（B+）cosBcos（B+）cosB+sin（B+），sin（B+）1，故cosB+cosC的最大值为119如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面AEC；（）通过AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求出AB，作AHPB角PB于H，说明AH就是A
24、到平面PBC的距离通过解三角形求解即可【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点E为PD的中点，EOPBEO平面AEC，PB平面AECPB平面AEC；（）AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，V，AB，PB作AHPB交PB于H，由题意可知BC平面PAB，BCAH，故AH平面PBC又在三角形PAB中，由等面积法可得：A到平面PBC的距离205张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：（1）甲中奖的概率P（A）；（2）甲、乙都中奖的概率P（B）；（3）只有乙中奖的概率P（C）【分析】（1）记甲中奖为事件A，5张奖券中有2张是中奖的，由
25、等可能事件的概率公式计算可得答案；（2）记甲、乙都中奖为事件B，由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率，分析此条件下乙中奖的概率，由相互独立事件的概率的乘法公式计算可得答案；（3）记只有乙中奖为事件C，首先计算由对立事件的概率性质计算甲没有中奖的概率，进而分析此条件下乙中奖的概率，由相互独立事件的概率的乘法公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，甲中奖为事件A，5张奖券中有2张是中奖的，则甲从中随机抽取1张，则其中奖的概率为P（A）；（2）记甲、乙都中奖为事件B，由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率为，若甲中奖，此时还有4张奖券，其中1张有奖，则乙中奖的概率为；则甲、乙都中奖的概率P
26、（B）；（3）记只有乙中奖为事件C，首先甲没有中奖，其概率为1P（A）1，此时还有4张奖券，其中2张有奖，则乙中奖的概率为，则只有乙中奖的概率为P（C）21某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对
27、该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在40，60的受访职工和评分都在40，50的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.0222+0.028）101，解得a0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在50，60）的有：500.006103（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在40，50）的有：500.004102（人）
28、，记为B1，B2从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，又因为所抽取2人的评分都在40，50）的结果有1种，即B1，B2，故所求的概率为P22在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，ABCD为直角梯形，BCAD，ADC90，PAPD，E，F为AD，PC的中点（）求证：PA平面BEF；（）若PC与AB所成角为45，求PE的长；（）在（）的条件下，求二面角FBEA的余弦值【分析】（）因为F为PC的中点，可联想连结AC，交BE于一点O，即可证明O点为A
29、C的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行；（）以E点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两条异面直线所成角为45，结合给出的线段的长度，即可求出PE的长度；（）求出两个平面FBE与BEA的法向量，利用两个平面法向量所成的角求二面角的余弦值【解答】（）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，BCAD，BCAD，E为AD中点，AEBC，且AEBC四边形ABCE为平行四边形，则O为AC中点又F为PC中点，OFPAOF平面BEF，PA平面BEFPA平面BEF（）解：PAPD，E为AD中点，PEAD侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD易知 BCDE为正方形，ADBE建立如图空间直角坐标系Exyz，设PEt（t0），则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，t），C（1，1，0）PC与AB所成角为45，|cos|cos45，解得：t，PE（）解：F为PC的中点，所以，设是平面BEF的法向量，则 取x2，则z，得是平面ABE的法向量由图可知二面角EACB的平面角是钝角，所以二面角EACB的余弦值为21 / 21
