1、2018-2019学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1（3分）已知集合Ay|y2x，1x2，yZ，用列举法表示集合A 2（3分）设集合Ax|x10，集合Bx|x3，则AB 3（3分）能说明“若ab，则”为假命题的一组a，b的值依次为 4（3分）集合Ax|x22x30，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是 5（3分）命题“若a2+b20，则a0且b0”的逆否命题是 6（3分）设，是方程x2ax+b0的两个实根，则“a2且b1”是“，均大于1”的 条件7（3分）某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比
2、A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有 人8（3分）已知不等式ax25x+b0的解集为x|3x2，则不等式bx25x+a0的解集为 9（3分）已知正数x、y、z满足x+y+z1，则的最小值为 10（3分）如关于x的不等式|x+1|ax1|0对任意x（0，1）恒成立，则a的取值范围为 11（3分）已知函数f（x）|x2+3x|，xR，若方程f（x）a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 12（3分）定义mina1，a2，an表示a1，a2，an中的最小值，maxa1，a2，an表示a1，a2，an中的最大值则对任意的a0，b0，minmax，a2+
3、b2的值为 二、选择题（每小题4分，共16分）13（4分）已知集合A（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）A9B8C5D414（4分）已知实数x，y，则“|x|+|y|1”是“x2+y21”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件15（4分）设abc，a+b+c1，且a2+b2+c21，则（）Aa+b1Ba+b1Ca+b1D以上都不能恒成立16（4分）对二次函数f（x）ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（x）的极值D
4、点（2，8）在曲线yf（x）上三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为6、8、10、10、14分，共48分）17（6分）已知集合A2，a2+1，a2a，B0，7，a2a5，2a，且5A，求集合B18（8分）解下列不等式：（1）x+1；（2）|x|+|x+|19（10分）设函数f（x）2|x1|+x1，g（x）16x28x+1，记f（x）1的解集为M，g（x）4的解集为N（1）求集合M和N（2）当xMN时，求x2f（x）+xf（x）2的取值范围20（10分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料
5、费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元假定运行过程中轮船以速度v匀速航行（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值21（14分）已知二次项系数是1的二次函数f（x）x2+bx+c（1）当b2，c0时，求方程ff（x）0的实根；（2）设b和c都是整数，若ff（x）0有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数yf（x）的解析式，使得其所有项的系数和最小2018-2019学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1（3分）已知集合Ay|y2x，1x2，yZ，用列举
6、法表示集合A4，3，2，1，0，1，2【分析】先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可【解答】解：因为1x2，42x2，即4y2，又yZ，y4，y3，y2，y1，y0，y1，y2故答案为：4，3，2，1，0，1，22（3分）设集合Ax|x10，集合Bx|x3，则ABx|1x3【分析】根据交集定义求出即可【解答】解：Ax|x1，ABx|1x3，故答案为：x|1x33（3分）能说明“若ab，则”为假命题的一组a，b的值依次为a1，b1【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可【解答】解：当a0，b0时，满足ab，但为假命题，故答案可以是a1，b1，故答案为：a1，b14（3分）集合Ax
7、|x22x30，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是a1【分析】先求出集合A，根据AB，即可求出a的取值范围【解答】解：Ax|x22x30x|1x3，Bx|xa，若AB，则a1，故答案为：a15（3分）命题“若a2+b20，则a0且b0”的逆否命题是“若a0或b0，则a2+b20”【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出即可【解答】解：命题“若a2+b20，则a0且b0”的逆否命题是“若a0或b0，则a2+b20”故答案为：“若a0或b0，则a2+b20”6（3分）设，是方程x2ax+b0的两个实根，则“a2且b1”是“，均大于1”的 必要但不充分条件【分析】根据韦达定理
8、表示出a，b，设出判断条件和结论，根据题意分别证明【解答】解：根据韦达定理得：a+，b，判定条件是p：，结论是q：；（还要注意条件p中，a，b需满足的大前提a24b0）（1）由，得a+2，b1qp（2）为了证明pq，可以举出反例：取4，它满足a+4+2，b421，但q不成立上述讨论可知：a2，b1是1，1的必要但不充分条件，故答案为：必要但不充分7（3分）某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有9人【分析】利用方程思想，设A、B都参加的同学为x人，则可分别得到只
9、参加A，不参加B，只参加B，不参加A，以及AB都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可【解答】解：设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为30x，只参加B，不参加A的为33x，则AB都不参加的人数为50（30x+x+33x）x13因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，所以x13，解得x21所以只参加A项，没有参加B项的学生有30219故答案为：98（3分）已知不等式ax25x+b0的解集为x|3x2，则不等式bx25x+a0的解集为 【分析】由不等式ax25x+b0的解集为x|3x2，根据三个二次之间的对应关系，我们易得a，b的值，代入不等式bx2
10、5x+a0易解出其解集【解答】解：ax25x+b0的解集为x|3x2，ax25x+b0的根为3、2，即3+232解得a5，b30则不等式bx25x+a0可化为30x25x50解得故答案为：9（3分）已知正数x、y、z满足x+y+z1，则的最小值为36【分析】由于正数x、y、z满足x+y+z1，可得1+4+9+，再利用均值不等式即可得出【解答】解：正数x、y、z满足x+y+z1，1+4+9+14+36，当且仅当，取等号故答案为3610（3分）如关于x的不等式|x+1|ax1|0对任意x（0，1）恒成立，则a的取值范围为1a3【分析】先去绝对值，变成不等式组恒成立，再转化为最值可解决【解答】解：因
11、为x（0，1），所以原不等式可化为：|ax1|x+1，x1ax1x+1，对任意x（0，1）恒成立，1+1+231a3，故答案为：1a311（3分）已知函数f（x）|x2+3x|，xR，若方程f（x）a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）（9，+）【分析】由yf（x）a|x1|0得f（x）a|x1|，作出函数yf（x），ya|x1|的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由yf（x）a|x1|0得f（x）a|x1|，作出函数yf（x），yg（x）a|x1|的图象，当a0，f（x）0，g（x）0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件；则a0，此时g（x）a|x1
12、|，当3x0时，f（x）x23x，g（x）a（x1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时x23xa（x1），即x2+（3a）x+a0，则由（3a）24a0，即a210a+90，解得a1或a9，当a9时，g（x）9（x1），g（0）9，此时不成立，此时a1，要使两个函数有四个零点，则此时0a1，若a1，此时g（x）a（x1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x1时，f（x）g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3xa（x1），整理得x2+（3a）x+a0，则由（3a）24a0，即a210a+90，解得a1（舍去）或a9，综上a的取值范围是（0，1）（9，+）故答案为：（0，1）（9，+）1
13、2（3分）定义mina1，a2，an表示a1，a2，an中的最小值，maxa1，a2，an表示a1，a2，an中的最大值则对任意的a0，b0，minmax，a2+b2的值为【分析】首先，设max，a2+b2m，从而得到关于m的限制条件，然后，得到m的最小值【解答】解：设max，a2+b2m，a、b0，m，m，ma2+b2，即a，b，可得a2+b2，m，m，即有m的最小值为，故答案为：二、选择题（每小题4分，共16分）13（4分）已知集合A（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）A9B8C5D4【分析】分别令x1，0，1，进行求解即可【解答】解：当x1时，y22，得y1，0，
14、1，当x0时，y23，得y1，0，1，当x1时，y22，得y1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A14（4分）已知实数x，y，则“|x|+|y|1”是“x2+y21”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】找出|x|+|y|1与x2+y21所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果【解答】解：|x|+|y|1表示的区域是以（1，0）（0，1）为定点的正方形及内部，x2+y21表示的区域是以（0，0）为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，|x|+|y|1x2+y21，x2+y21推不出|x|+|y|1，“|x|+|y|1”是“x2+y2
15、1”的充分而不必要条件故选：B15（4分）设abc，a+b+c1，且a2+b2+c21，则（）Aa+b1Ba+b1Ca+b1D以上都不能恒成立【分析】直接利用反证法和关系式的恒等变换求出结果【解答】解：利用反证法：只需证明c0，假设c0，则：（a+b+c）2a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）1所以：ab+bc+ac0，但是abc0，故：ab0，ac0，bc0所以：ab+bc+ac0与ab+bc+ac0矛盾所以：假设错误，故：c0，所以：a+b1c1，故选：A16（4分）对二次函数f（x）ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论
16、是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（x）的极值D点（2，8）在曲线yf（x）上【分析】可采取排除法分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论【解答】解：可采取排除法若A错，则B，C，D正确即有f（x）ax2+bx+c的导数为f（x）2ax+b，即有f（1）0，即2a+b0，又f（1）3，即a+b+c3，又f（2）8，即4a+2b+c8，由解得，a5，b10，c8符合a为非零整数若B错，则A，C，D正确，则有ab+c0，且4a+2b+c8，且3，解得a，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有ab+c0，且2a+b0，且4a+2b+
17、c8，解得a不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有ab+c0，且2a+b0，且3，解得a不为非零整数，不成立故选：A三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为6、8、10、10、14分，共48分）17（6分）已知集合A2，a2+1，a2a，B0，7，a2a5，2a，且5A，求集合B【分析】由5A，得到a2+15或a2a5（舍），从而得a2，分别代入集合A和B，利用集合中元素的互异性能求出集合B【解答】解：集合A2，a2+1，a2a，B0，7，a2a5，2a，且5A，a2+15或a2a5（舍），解得a2，当a2时，A2，5，2，不成立；当a2时，A2，5，6，B0，7，1，4，成立集
18、合B0，1，4，718（8分）解下列不等式：（1）x+1；（2）|x|+|x+|【分析】（1）分x0和x0两种情况解不等式，再相并；（2）根据绝对值不等式|a|+|b|a+b|取等号的条件是ab0，得|a|+|b|a+b|成立的充要条件是ab0【解答】解（1）x+1，或，解得：x1或2x0，原不等式的解集为（2，0）（1，+）（2）由|x|+|x+|，得x0，解得1x0，原不等式的解集为（1，0）19（10分）设函数f（x）2|x1|+x1，g（x）16x28x+1，记f（x）1的解集为M，g（x）4的解集为N（1）求集合M和N（2）当xMN时，求x2f（x）+xf（x）2的取值范围【分析】（
19、1）分x1和x1两种情况解不等式，再合并；（2）求出交集后，化简原式，用二次函数求值域【解答】解（1）由f（x）2|x1|+x11，得或，解得：1x或0x1，故M0，；由g（x）16x28x+14得x，故N，（2）xMN0，时，f（x）2（1x）+x11x，原式x2（1x）+x（1x）2x（1x）（x+1x）x（1x）x2+x（x）2+，x0，（x）2+0，20（10分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元假定运行过程中轮
20、船以速度v匀速航行（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值【分析】（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v10时W196代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v12.5时，总费用W的最小值为2400（元）【解答】解：（1）由题意，设燃料费为，当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，当v10时，W196，可得96k102，解之得k0.96（2）其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元航行100海里
21、的时间为小时，可得其余航行运作费用为元因此，航行100海里的总费用为（0v15），当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）21（14分）已知二次项系数是1的二次函数f（x）x2+bx+c（1）当b2，c0时，求方程ff（x）0的实根；（2）设b和c都是整数，若ff（x）0有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数yf（x）的解析式，使得其所有项的系数和最小【分析】（1）由题意可得f（x）x22x，设tf（x），则f（t）0，求得t，进而得到x的值；（2）ff（x
22、）0，即为（x2+bx+c）2+（x2+bx+c）b+c0，由题意不妨设四个根分别为a3d，ad，a+d，a+3d，可得四个根的和为4a2b，即b2a；再由韦达定理，消去d，可得b，c的方程，结合b，c为正整数和1+b+c取得最小值，化简运算和推理可得b，c的最小值，即可得到所求解析式【解答】解（1）当b2，c0时，f（x）x22x，设tf（x），则f（t）0，t22t0，解得t0或t2，当t0时，f（x）x22x0，解得x0或x2；当t2时，f（x）x22x2，解得：x1+或x1，综上所述：ff（x）0的实根有：x0，x2，x1+，x1；（2）ff（x）0，即为（x2+bx+c）2+（x2+
23、bx+c）b+c0，即有（x2+bx）2+（2c+b）（x2+bx）+（c2+bc+c）0，（2c+b）24（c2+bc+c）b24c0，可得x2+bx，或x2+bx，不妨设四个根分别为a3d，ad，a+d，a+3d，可得四个根的和为4a2b，即b2a；又设（a3d）（a+3d）a29d2，（ad）（a+d）a2d2，消去d，可得4b216c+8b+10，可得2b24b8c5，由b，c为整数，可得b24c也为正整数的平方，设b24ck2，k为正整数，即有2b24b（2b22k2）5k，即为2k25k4b0，由25+32b为正整数的平方，且k，由1+b+c取得最小值，可得b的最小值为22，k8，4c22282105，则f（x）x2+22x+105，其所有项的系数和最小14 / 14
