第9章-力矩分配法与近似法[精品]课件.ppt

1、第9章 力矩分配法与近似法 1、力矩分配法力矩分配法建立于近似状态，逐次调整后收 敛于真实状态，得到精确解，属于渐近法。2、力矩分配法力矩分配法不解联立方程，计算步骤单一。物理概念生动形象，计算结果直观。3、基于位移法的力矩分配法，直接求得杆 端弯矩，精度满足工程要求，应用广泛。4、适合于手算，与电算并存。5、常见还有无剪力分配法、迭代法等。9.1力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念 1 转动刚度转动刚度S 转动刚度：转动刚度：一单跨超静定梁的一端（一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发端）单位转角时，发生于该端（近端、或称生于该端（近端、或称A端）的弯矩。端）的弯矩。设设 lEIi，

2、则，则 SABBA1MBA图图(a)AB1SAB图图(b)BA1SAB图图(c)MBAAB1SAB图图(d)iSAB4当远端（当远端（B端）固定，端）固定，当远端（当远端（B端）铰支端）铰支，iSAB3当远端（当远端（B端）定向端）定向，iSAB当远端（当远端（B端）自由，端）自由，0ABS其实，其实，(d)不属于单跨超静定不属于单跨超静定量，只是有时为了便于应用，量，只是有时为了便于应用，如此定义。如此定义。2 分配系数分配系数 如图如图(e)所示结构受集中力偶作用。所示结构受集中力偶作用。04344333222111ZSMiZSMiZSMiZSMAAAAAAAAAAA(a)3图图(e)A1

3、24M由结点由结点A的平衡条件得的平衡条件得 MMMMMAAAA4321把把(a)式代入上式，得式代入上式，得 MZSiAi(b)解之得解之得 iAiSMZ(c)把把(c)式代回式代回(a)式，即得各杆式，即得各杆的的A端弯矩为端弯矩为 MMSSMAijAjAiAi（i=1,2,3）其中：其中：jAjAiAiSS称为分配系数。称为分配系数。它表明，结点它表明，结点A的弯矩的弯矩M按照分配系数的大小比例地分配于按照分配系数的大小比例地分配于汇交于该结点的各杆汇交于该结点的各杆A端。端。显然有显然有 1iAi04344333222111ZSMiZSMiZSMiZSMAAAAAAAAAAA(a)汇交

4、于同一刚节点的各杆杆端的分配系数之和恒等于汇交于同一刚节点的各杆杆端的分配系数之和恒等于1各杆端的分配弯矩与该杆端转动刚度成正比，转动刚度越大，则该各杆端的分配弯矩与该杆端转动刚度成正比，转动刚度越大，则该杆端产生的弯矩越大。杆端产生的弯矩越大。3 传递系数传递系数C 传递系数：传递系数：一单跨超静定梁的一端（一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于远端（端）单位转角时，发生于远端（B端）的弯矩与近端（端）的弯矩与近端（A端）的弯矩之比。端）的弯矩之比。当远端（当远端（B端）固定，端）固定，21ABBAABSMC当远端（当远端（B端）铰支端）铰支，0ABBAABSMC当远端（当远端（B端

5、）定向端）定向，1ABBAABSMC当远端（当远端（B端）自由，端）自由，0ABCSABBA1MBA图图(a)AB1SAB图图(b)BA1SAB图图(c)MBAAB1SAB图图(d)图示结构，各杆线刚度均为图示结构，各杆线刚度均为I,用力矩分配法计算时，用力矩分配法计算时，分配系数分配系数AB为（）为（）101A81B41C83DBB 原结构原结构锁定锁定释放释放未知未知已知已知还原还原单节点结构的力矩分配单节点结构的力矩分配 例1、用力矩分配法求解图示结构，并作M图：解：解：BEIACEIm4m4kN/m10074731、计算分配系数：、计算分配系数：BBASSBA74 iii3447374

6、1 BC2、计算固端弯矩：、计算固端弯矩：3.1331212 qlMgAB3.133 gBAM3、计算不平衡力矩：、计算不平衡力矩：3.133 R分配系数分配系数gM固端弯矩固端弯矩3.133 3.13300分配传递分配传递结点一次结点一次B09.38 17.76 13.57 0 MM 或或总总4.171 13.57013.57 4.17113.5720081 2ql73.85图M)(mkN 力矩分配法是直接计算力矩分配法是直接计算各杆的杆端弯矩。各杆的杆端弯矩。反号的不平衡力矩：反号的不平衡力矩：-133.3例2、用力矩分配法计算图示结构，并作M图。解：解：4.06.01、计算分配系数：、计

7、算分配系数：BBASSBA4.0 iii23446.0 BC2、计算固端弯矩：、计算固端弯矩：60163 PlMgBC3、计算不平衡力矩：、计算不平衡力矩：分配系数分配系数gM固端弯矩固端弯矩060 0分配传递分配传递结点一次结点一次B1836 540 M杆端弯矩杆端弯矩1806 kN80EIBACEI2mkN 30m2m4m2图M)(mkN 060 gBCMRB300 0BM由由：得06030 R90 R90 R反号的不平衡力矩：反号的不平衡力矩：90368041 Pl7736186例例 计算图示梁计算图示梁,作弯矩图作弯矩图EI48EI360.50.5ABBABCABC 1/2040404

8、5-4040-4505.25.2025.1-38.755.42-42.50CB求和、反号、分配、传递求和、反号、分配、传递38.755.42注意：列表计算注意：列表计算 如图示连续梁，作如图示连续梁，作M图。图。Fp=100kNABCq=10 kN/m2EIEI12m4m4m解：在解：在B B结点引入刚臂结点引入刚臂 查表得查表得kN.m18082ABqlFBAMkN.m1008BCplFFCBFBCMM求出求出B结点的不平衡力矩结点的不平衡力矩 kN.m80FBCFBABMMM5.08412231223EIEIEIBA5.08412238.4EIEIEIBA把不平衡力矩反号加到把不平衡力矩反

9、号加到B结点上并按分配系数分配到各杆的结点上并按分配系数分配到各杆的B端。端。M图（图（kN.m）20018014080过程如表所示。过程如表所示。杆端杆端AB BABC CB分配系数分配系数0.50.5固端弯矩固端弯矩0 180-100 100分配传递分配传递-40-40 -20杆端杆端AB BABC CB分配系数分配系数0.50.5固端弯矩固端弯矩0 180-100 100分配传递分配传递-40-40 -20最终弯矩最终弯矩0 140-140 80 用力矩分配法用力矩分配法计算图示刚架各计算图示刚架各杆端弯矩。杆端弯矩。15kN/m50kN4m4m3m2mACBDiAB=2iAC=1.5i

10、AD=2解：基本结构分配系数分配系数3.05.14242323AB3.05.1424235.14AC4.03.03.01AD固端弯矩和结点不平衡力矩RmkNMgAB 30mkNMMgADgAC240mkNMgDA 36mkNMmkNMmkNMgDAgADgAB362430固端弯矩和结点不平衡力矩R mkN.M,mkN.MmkN.M,mkN.MM,mkN.MCAACDAADBAAB 90818344260228杆端弯矩+300-24+36MABMACMADMDAMCA R反号分配反号分配-1.8-1.8-2.4-1.2-0.9-0.9+28.2-1.8-26.4+34.8RgADMgABMmkN

11、R 6放松结点，计算分配弯矩和传递弯矩回顾：力矩分配法的计算步骤：1.由转动刚度计算由转动刚度计算分配系数分配系数：AAjSSAj2.固端弯矩固端弯矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 计算：计算：AgMR3.计算计算分配弯矩分配弯矩和和传递弯矩传递弯矩：)(RMAjAj 4.叠加求和，计算杆端弯矩：叠加求和，计算杆端弯矩：5.校核。（结点平衡）校核。（结点平衡）分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。（通常列表计算）（通常列表计算）AjAjjAMCM 原结构原结构锁定锁定释放释放B未知未知已知已知B结点分配结点分配释放释放CC结点分结点分配配9.

12、2 多结点结构的力矩分配多结点结构的力矩分配 多结点分配多结点分配依次对各结点使用上述方法，即每次只放松一个结点，依次对各结点使用上述方法，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定；把各刚结点的不平衡力矩反号其它结点仍暂时固定；把各刚结点的不平衡力矩反号进行分配和传递，直至不平衡力矩小到可忽略。进行分配和传递，直至不平衡力矩小到可忽略。它是一种逐渐逼近精确解的近似它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。方法。例例:试绘制连续梁的弯矩图。试绘制连续梁的弯矩图。Ai=2i=1i=180kN160kN30kN/MBD分配系数分配系数固端弯矩固端弯矩B点一次分、传点一次分、传C点一次分、传点一次分、传B点二

13、次分、传点二次分、传C点二次分、传点二次分、传B点三次分、传点三次分、传C点第三次分配点第三次分配叠加求杆端弯矩叠加求杆端弯矩0.6 0.40.5 0.590.0-250.0250.0-187.5112.50096.0 64.032.0-23.7-47.3-23.7-47.3014.2 9.54.8-1.2-2.4-1.2-2.400.70.50.3-0.2-0.20200.9-200.9237.4-237.487.63m3m10m3m5mABCD120200.9375237.430087.6CM图图(kN.m)CB例例.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图，并用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图，并

14、求求B支座反力支座反力。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6.04.032132BCBA216131414CDCBSS333.0667.02111CDCB0.4 0.60.667 0.333M-6060-100100分配与传递分配与传递-33.3-66.7-33.429.4 442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（k

15、Nm）ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）计算支座反力:68.2=QBAQBC=56.4BYB=124.6lMMQQBAABABAB0 画图示连续梁的弯矩图。20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常数（1）计算分配系数（各杆线刚度相同，令i=1）571.0429.01 ,429.0343 :BCBAB 500.0444 :CDCBC429.0571.01 ,571.0344 :DFDCD20kN/m40kN4

16、0kN4m4m4m4m1.2mABCDEF基本结构解：40kNDEF48kNm（2）固端弯矩mkNMgBA40420812（3）列表计算20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常数常数基本结构基本结构mkNMgEF482.140mkNMMgCDgDC2044081mkNMgDE24482120kN/m40kN40kNABCDEFEI=常数常数40-2020 24480-11.4-12.6-17.2-22.8-25.1-18.911 11-4.7-6.3-4.7-6.3 -3.2-3.2 3.2 3.21.6 1.622 22-0.7-0.9 -0.5-0.5 -0

17、.7-0.90.3 0.30.5 0.5-0.1-0.2-0.2-0.148017.3-17.310.6-10.60.4-0.4480.434.510.617.331.3M(kNm)弯矩很小弯矩很小停止分配停止分配B,D一次分,传C一次分,传B,D二次分,传C二次分,传B,D三次分,传C三次分,传B，D四次分配力矩分配法小结：力矩分配法小结：1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。配法得到渐近解。2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点

18、不平衡力矩要变号分配。4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：结点不平结点不平衡力矩衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第一结点）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）固端弯矩之和加传递弯矩固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总和等于附加刚臂上的约束力矩总和等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以加快收敛速度。力矩分配法小结：力矩分配法

19、小结：例例 计算图示梁计算图示梁,作弯矩图作弯矩图2483/51462481362/52/31/31/21/21/201006060100-6060-10010000-33.3-66.70000-33.4(-73.4)29.4 44 3 22-14.7-7.3-7.4 4.4 2.2-1.5-0.7-0.8 0.3 0.5 0.2 1.5 14.7 分分C传传 分分C传传 分分C传传 分分B传传 分分B传传 分分B传传 -43.6 92.7 -92.7 41.3 -41.3 43.6 92.7 (90)41.3 (200)为使收敛较快，常从不平衡力为使收敛较快，常从不平衡力矩绝对值较大的结点开

20、始计算矩绝对值较大的结点开始计算例例2 如图示连续梁，作如图示连续梁，作M图。图。解：在解：在B、C结点引入刚臂结点引入刚臂 ABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图图(a)0FBAFABMMkN.m3008BCpFCBFBClFMMkN.m18082CDpFCDlqM4.0342424BA6.0342434BCB结点：结点：5.0433434CB5.0433443CDC结点：结点：杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递杆端杆端 AB BA

21、 BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 105杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75杆端杆

22、端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.875杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18杆端杆端 AB BA BC CB

23、CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.59杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1

24、.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 3

25、00 -180分配传递分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01杆端杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递分配传递60 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18

26、-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01最终弯矩最终弯矩 71.35 142.71-142.71 293.51-293.5171.351421.71293.51600180M图图(kN.m)ABCDABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图图(a)71.351421.71293.51600180M图图(kN.m)ABCD杆端弯矩杆端弯矩22.90.5 0.3-100-200/3200/3-1001/21/24/73/710固端弯矩固端弯矩分配分配与与传递传递分配系数分配系数50 50

27、25 16.7 33.3-3.6 -3.6 1.8 -2.7 -5.47.2 14.3 10.7 5.4 1.3 2.6 1.9 1-0.7 -0.6 -0.3 -0.5 -145.7 54.3 40.3 40.3 100 -1008kN/m0.75EI100kNm10kN10mEIEI10m10m10m22.945.754.340.3100100-125125-125125-62.5-62.5-31.2-31.20.50.50.50.515.615.67.87.8-2-3.9-3.9-2110.50.5-0.3-0.2杆端杆端弯矩弯矩-116.7141.6-141.6-66.666.6-33

28、.2100kN5m5m100kNEI=常数常数ABCD5m5m分配分配与与传递传递结点结点杆端杆端分配分配系数系数固端固端弯矩弯矩ABCDABBABCCBCDDC141.6116.766.633.2250250M图图(kNm)例例3 如图示刚架，用力矩分配法作如图示刚架，用力矩分配法作M图（图（EI=常数）。常数）。ABCFp=40kNDEF10m 10m20m20m图图(a)20m解：在解：在B、C引入刚臂，引入刚臂，kN.m150163lFFBApMB结点：结点：1134433lEIlEIlEIlEIBA1144434lEIlEIlEIlEIBCBEC结点：结点：1144434lEIlEI

29、lEIlEICBCF1134433lEIlEIlEIlEICD计算过程如下表所示计算过程如下表所示结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端

30、弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96-0.9-1.8-1.36-1.8-0.9 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150

31、分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96-0.9-1.8-1.36-1.8-0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96-0.9-1.8-1.36-1.8-0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17-0.03-0.06

32、-0.04-0.06-0.03 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96-0.9-1.8-1.36-1.8-0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17-0.03-0.06-0.04-0.06-0.03 0.01 0.01 0.01 结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯

33、矩固端弯矩150分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96-0.9-1.8-1.36-1.8-0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17-0.03-0.06-0.04-0.06-0.03 0.01 0.01 0.01 最终弯矩最终弯矩-28.2 56.41 107.69 51.28-17.94 7.69 10.26 5.15 BJJBBJBKKBBKiMMiMM2121结点结点EBCF杆端杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩固

34、端弯矩150分配传递分配传递-27.27-54.55-40.91-54.55-27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96-0.9-1.8-1.36-1.8-0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17-0.03-0.06-0.04-0.06-0.03 0.01 0.01 0.01 最终弯矩最终弯矩-28.2 56.41 107.69 51.28-17.94 7.69 10.26 5.15 校核校核-42.3/i-42.3/i-42.3/i7.7/i 7.7/i7.7/i20EIi 设：设：M图图(kN.m)200107.695.1217.947.6810.2656.4128.251.28ABCFp=40kNDEF10m10m20m20m图图(a)20m200107.695.1217.947.6810.2656.4128.251.28M图图(kN.m)