1、2.5 用三种方式表示二次函数 确定二次函数表达式的一般方法确定二次函数表达式的一般方法:已知条件已知条件选用表达式的形式选用表达式的形式顶点和另一点的坐标顶点和另一点的坐标_二次函数各项系数中的二次函数各项系数中的一个和两点的坐标一个和两点的坐标_三个点的坐标三个点的坐标_顶点式顶点式一般式一般式一般式一般式【思维诊断】【思维诊断】(打打“”或或“”)”)1.1.确定二次函数的表达式需要三个条件确定二次函数的表达式需要三个条件.().()2.2.知道二次函数的顶点和另一点的坐标知道二次函数的顶点和另一点的坐标,只能用顶点式确定其只能用顶点式确定其表达式表达式.().()3.3.在实际问题中在
2、实际问题中,二次函数的图象一定不是一条完整的抛物二次函数的图象一定不是一条完整的抛物线线.().()4.4.要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上三个点的坐要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上三个点的坐标标.().()知识点一知识点一 由两个点的坐标确定二次函数的表达式由两个点的坐标确定二次函数的表达式【示范题【示范题1 1】(2013(2013黑龙江中考黑龙江中考)如图如图,抛物抛物线线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交于轴交于A(-1,0)A(-1,0)和和B(3,0)B(3,0)两两点点,交交y y轴于点轴于点E.E.(1)(1)求此抛物线的表达式求此抛物线的表达
3、式.(2)(2)若直线若直线y=x+1y=x+1与抛物线交于与抛物线交于A,DA,D两点两点,与与y y轴交于点轴交于点F,F,连接连接DE,DE,求求DEFDEF的面积的面积.【解题探究】【解题探究】(1)(1)已知抛物线的二次项系数已知抛物线的二次项系数a=1,a=1,如何求出如何求出b,cb,c的的值值?提示提示:把点把点A A和点和点B B的坐标代入二次函数的表达式的坐标代入二次函数的表达式,得到关于得到关于b,cb,c的方程组的方程组,解方程组即可求出解方程组即可求出b,cb,c的值的值.(2)(2)如果我们把如果我们把EFEF作为底作为底,如何作辅助线如何作辅助线?再求出哪些条件就
4、可再求出哪些条件就可以求出以求出DEFDEF的面积的面积.提示提示:过点过点D D作作DMyDMy轴于点轴于点M,M,先求出点先求出点D,E,FD,E,F的坐标的坐标,再确定再确定EFEF和和DMDM的长的长,即可求出即可求出DEFDEF的面积的面积.【尝试解答】【尝试解答】(1)(1)抛物线经过抛物线经过A(-1,0),B(3,0),A(-1,0),B(3,0),抛物线的表达式为抛物线的表达式为y=xy=x2 2-2x-3.-2x-3.1bc0,b2,93bc0,c3,解得(2)(2)过点过点D D作作DMyDMy轴于点轴于点M,M,根据题意得根据题意得:解得解得 D(4,5),DM=4,D
5、(4,5),DM=4,对于直线对于直线y=x+1,y=x+1,当当x=0 x=0时时,y=1,F(0,1);,y=1,F(0,1);对于对于y=xy=x2 2-2x-3,-2x-3,当当x=0 x=0时时,y=-3,E(0,-3),EF=4,S,y=-3,E(0,-3),EF=4,SDEFDEF=EFDM=8.=EFDM=8.2yx2x3,yx1,，1212x1,x4,y0,y5,12【想一想】【想一想】示范题示范题1 1中中ABDABD的面积是多少的面积是多少?提示提示:AB=3-(-1)=4,AB=3-(-1)=4,点点D D的坐标为的坐标为(4,5),(4,5),SSABDABD=AB5
6、=10.=AB5=10.12【方法一点通】【方法一点通】由两个点的坐标确定二次函数的表达式的两种常见形式由两个点的坐标确定二次函数的表达式的两种常见形式1.1.已知顶点和另一点的坐标已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式可用顶点式求二次函数的表达式.2.2.已知二次函数各项系数中的一个和任意两点的坐标已知二次函数各项系数中的一个和任意两点的坐标,可用一可用一般式求二次函数的表达式般式求二次函数的表达式.知识点二知识点二 由三个点的坐标确定二次函数的表达式由三个点的坐标确定二次函数的表达式【示范题【示范题2 2】(2013(2013佛山中考佛山中考)如图如图,已知抛物线已知抛物线y
7、=axy=ax2 2+bx+c+bx+c经过点经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)(1)求抛物线的函数表达式求抛物线的函数表达式.(2)(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴求抛物线的顶点坐标和对称轴.(3)(3)把抛物线向上平移把抛物线向上平移,使得顶点落在使得顶点落在x x轴上轴上,求出两条抛物线、求出两条抛物线、对称轴和对称轴和y y轴围成的图形的面积轴围成的图形的面积S(S(图图中阴影部分中阴影部分).).【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)把点把点A,B,CA,B,C的坐标代入抛物线表达式的坐标代入抛物线表达式y=axy=ax2
8、2+bx+c,+bx+c,利用待定系数法求解即可利用待定系数法求解即可.(2)(2)把抛物线表达式整理成顶点式形式把抛物线表达式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对然后写出顶点坐标与对称轴即可称轴即可.(3)(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离根据顶点坐标求出向上平移的距离,再根据阴影部分的面积再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解列式进行计算即可得解.【自主解答】【自主解答】(1)(1)抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c经过点经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),A(0,3),B(3,0),C(4,3),所以抛物线的
9、函数表达式为所以抛物线的函数表达式为y=xy=x2 2-4x+3.-4x+3.(2)y=x(2)y=x2 2-4x+3=(x-2)-4x+3=(x-2)2 2-1,-1,抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(2,-1),(2,-1),对对称轴为直线称轴为直线x=2.x=2.c3,a1,9a3bc0,b4,16a4bc3,c3,解得(3)(3)如图如图,抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(2,-1),PP=1,(2,-1),PP=1,阴影部分的面积等于平行四边形阴影部分的面积等于平行四边形AAPPAAPP的面积的面积,平行四边形平行四边形AAPPAAPP的面积的面积=1=12=2,S2=2,S
10、阴影阴影=2.=2.【想一想】【想一想】示范题示范题2 2中能否用顶点式求抛物线的表达式中能否用顶点式求抛物线的表达式?表达式应该怎样设表达式应该怎样设?代入时要注意什么问题代入时要注意什么问题?提示提示:能用顶点式求抛物线的表达式能用顶点式求抛物线的表达式.抛物线经过点抛物线经过点A(0,3)A(0,3)和和C(4,3),C(4,3),其对称轴是直线其对称轴是直线x=2,x=2,抛抛物线的表达式可设为物线的表达式可设为y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+k,+k,代入时要把代入时要把A,BA,B两点或两点或B,CB,C两两点代入点代入,代入代入A,CA,C两点无法求出两点无法求出a a和
11、和k.k.【备选例题】【备选例题】已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)与与x x轴的两交点的轴的两交点的横坐标分别是横坐标分别是-1-1和和3,3,与与y y轴交点的纵坐标是轴交点的纵坐标是-.-.(1)(1)确定抛物线的表达式确定抛物线的表达式.(2)(2)求出抛物线的开口方向求出抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标.32【解析】【解析】(1)(1)依题意抛物线的表达式可以转化为依题意抛物线的表达式可以转化为y=a(x+1)(x-3)y=a(x+1)(x-3)，将点将点 代入，得代入，得-3a=-3a=-解得解得a=,a=,故故y=(x
12、+1)(x-3),y=(x+1)(x-3),即即y=xy=x2 2-x-.-x-.(2)(2)因为因为y=xy=x2 2-x-=(x-1)-x-=(x-1)2 2-2.-2.所以抛物线开口向上，对称轴是直线所以抛物线开口向上，对称轴是直线x=1,x=1,顶点坐标为顶点坐标为(1(1，-2).-2).3(0)2，3,212121232121232【方法一点通】【方法一点通】“三式三式”巧定表达式巧定表达式1.1.一般式一般式:所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时,可设表达式为可设表达式为y=axy=ax2 2+bx+c(+bx+c(一般式一般式).).2.2.顶点式顶点式:所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式可设表达式为为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(+k(顶点式顶点式).).3.3.交点式交点式:所给条件能够确定抛物线与所给条件能够确定抛物线与x x轴的两个交点坐标时轴的两个交点坐标时,则可设表达式为则可设表达式为y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)()(交点式交点式).).
