1、第18讲相似三角形命题点相似三角形的性质与判定1(2017河北T73分)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC，则B的度数与其对应角B的度数相比(D)A增加了10% B减少了10%C增加了(110%) D没有改变2(2011河北T93分)如图，在ABC 中，C90，BC6，D，E 分别在 AB，AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处若A为CE的中点，则折痕DE的长为(B)A.B2C3D43(2014河北T133分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的
2、矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似图1 图2对于两人的观点，下列说法正确的是(A)A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对4(2016河北T152分)如图，在ABC中，A78，AB4，AC6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)重难点相似三角形的性质与判定在ABC中，ABAC，D为BC的中点，以D为顶点作MDNB.(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形；(2)如图2，将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于
3、点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若ABAC10，BC12，当SDEFSABC时，求线段EF的长【思路点拨】(1)由题意得ADBD，DEAC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似三角形的性质得，进而有，从而CEDDEF；(3)首先利用DEF的面积等于ABC的面积的，求出点D到AB的距离，进而利用SDEF的值求出EF即可【自主解答】解：(1)图1中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE.(2)BDFCEDDEF.证明：
4、BBDFBFD180，EDFBDFCDE180，又EDFB，BFDCDE.由ABAC，得BC，BDFCED.BDCD，.又CEDF，BDFCEDDEF.(3)连接AD，过点D作DGEF，DHBF，垂足分别为G，H.ABAC，D是BC的中点，ADBC，BDBC6.在RtABD中，AD2AB2BD2，AD8.SABCBCAD48.SDEFSABC12.又ADBDABDH，DH4.8.BDFDEF，DFBEFD.DGEF，DHBF，DHDG4.8.SDEFEFDG12，EF5.【变式训练1】(2018杭州)如图，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E.(1)求证：BDECAD；(
5、2)若AB13，BC10，求线段DE的长解：(1)证明：ABAC，BDCD，ADBC，BC.DEAB，DEBADC.BDECAD.(2)ABAC，BDCD，ADBC.在RtADB中，AD12，ADBDABDE，DE.基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：BADC，BDAC；ADBCDACAB.(2)一线三等角有以下基本结论：BC，BDEDFC；BDECFD.特殊地：若点D为BC中点，则有BDECFDDFE.“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助【变式训练2】【分类讨论思想】在正方
6、形ABCD中，AB4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持APQ90，CQ1，求线段BP的长解：分三种情况：设BPx.当P在线段BC上时，如图1，四边形ABCD是正方形，BC90.BAPAPB90.APQ90，APBCPQ90.BAPCPQ，ABPPCQ.，x1x22.BP2；当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP22；当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP22.综上所述：线段BP的长为2或22或22.1(2018白银)已知(a0，b0)，下列变形错误的是(B)A. B2a3b C. D3a2b2(2018重庆)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一
7、个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm3(2018河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与ABC是位似图形的是(C)A B C D4(2018哈尔滨)如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GEBD，且交AB于点E，GFAC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A. B. C. D.5(2018邯郸一模)如图，在ABC中，BCDA，DEBC，与ABC相似的三角形(ABC自身除外)的个数是(B)A1 B2 C3 D46(2018石家庄裕华区模拟)李
8、老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是(B)已知：如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC.求证：ADEDBF.证明：又DFAC，DEBC，ABDF.ADEB.ADEDBF.A BC D7(2018随州)如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分，则的值为(C)A1 B. C.1 D.18(2018岳阳)九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容
9、纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步9(2018抚顺)如图，AOB三个顶点的坐标分别为A(8，0)，O(0，0)，B(8，6)，点M为OB的中点以点O为位似中心，把AOB缩小为原来的，得到AOB，点M为OB的中点，则MM的长为或10(2018江西)如图，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长解：BD为ABC的平分线，ABDCBD.ABCD，DABD.DCBD.BCCD.BC4，CD4.ABCD，ABECDE.AE2CE.ACAECE6，AE4.11(2018包头)如图，在四边形ABCD中，BD平分ABC，BADBDC90，E为
10、BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC4，CBD30，则DF的长为(D)A. B. C. D.提示：连接DE，可证DEFBAF.12(2018达州)如图，E，F是ABCD对角线AC上两点，AECFAC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为(C)A. B. C. D1提示：可证AGABCHBC13.13【分类讨论思想】(2018常州)如图，在ABC纸板中，AC4，BC2，AB5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是3AP414(2018福建)如图，在RtABC中，C90，AB10，AC8.线
11、段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，EFG由ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求BDF的大小；(2)求CG的长解：(1)线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，DAB90，ADAB10.ABD45.EFG是ABC沿CB方向平移得到，ABEF.BDFABD45.(2)由平移的性质，得AECG，ABEF，DEADFCABC，ADEDAB180.DAB90，ADE90.ACB90，ADEACB.ADEACB.AC8，ABAD10，AE12.5，由平移的性质，得CGAE12.5.15(2017河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一
12、个涵洞工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，且测得BC22.5米(1)求DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算解：(1)连接DE.AB27米，
13、AD500米，AC15米，AE900米，.又AA，ABCAED.，即DE750米(2)设甲工程队每天开挖涵洞x米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x米，依据题意，得25，解得x10.经检验，x10是原方程的解则1.5x15.甲工程队打通这个涵洞的时间为75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为753 500262 500(元)；乙工程队打通这个涵洞的时间为50(天)，乙工程队打通这个涵洞所需的费用为504 000200 000.200 000262 500，选用乙工程队较合算16(2018泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步A的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步
