1、第5课时 离散型随机变量的均值 与方差、正态分布1均值均值(1)若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为基础知识梳理基础知识梳理X x1x2 xi xnP p1p2 pi pn 则称则称EX 为随机变量为随机变量X的均值或数学期望，它反的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的映了离散型随机变量取值的 (2)若若YaXb，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y也是随机变量，且也是随机变量，且E(aXb).(3)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则EX ；若若XB(n，p)，则，则EX .基础知识梳理基础知识梳理x1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平aEXbpnp2
2、方差方差(1)设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为基础知识梳理基础知识梳理X x1x2 xi xnP p1p2 pi pn(2)D(aXb).(3)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则DX (4)若若XB(n，p)，则，则DX 基础知识梳理基础知识梳理Xnp(1p)p(1p)a2DX基础知识梳理基础知识梳理随机变量的均值、方差与样随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？本均值、方差的关系是怎样的？【思考思考提示提示】随机变量随机变量的均值、方差是一个常数，样本的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本
3、容量的增观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差变量的均值与方差3正态曲线的特点正态曲线的特点(1)曲线位于曲线位于x轴轴 ，与，与x轴轴 ；(2)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线 对称；对称；(3)曲线在曲线在x处达到峰值处达到峰值 ；(4)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为 ；基础知识梳理基础知识梳理上方上方不相交不相交x1(5)当当一定时，曲线随着一定时，曲线随着的变化而的变化而沿沿x轴平移；轴平移；(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确确定定 ，曲线越，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体，表示总
4、体的分布越的分布越 ；，曲线越，曲线越“矮矮胖胖”，表示总体的分布越，表示总体的分布越 基础知识梳理基础知识梳理越小越小集中集中越大越大分散分散基础知识梳理基础知识梳理参数参数，在正态分布中的实在正态分布中的实际意义是什么？际意义是什么？【思考思考提示提示】是正态是正态分布的期望，分布的期望，是正态分布的标是正态分布的标准差准差1若随机变量若随机变量X的分布列如下，的分布列如下，则则X的数学期望是的数学期望是()A.pBqC1 Dpq答案答案：B三基能力强化三基能力强化X01Ppq2正态总体正态总体N(0,1)在区间在区间(2，1)和和(1,2)上取值的概率为上取值的概率为P1，P2，则则()
5、AP1P2 BP1P2CP1P2 D不确定不确定答案答案：C三基能力强化三基能力强化3一名射手每次射击中靶的概一名射手每次射击中靶的概率为率为0.8，则独立射击，则独立射击3次中靶的次数次中靶的次数X的期望值是的期望值是()A0.83 B0.8C2.4 D3答案答案：C三基能力强化三基能力强化4(教材习题改编教材习题改编)某人进行射某人进行射击，每次中靶的概率均为击，每次中靶的概率均为0.8，现规，现规定：若中靶就停止射击；若没有中定：若中靶就停止射击；若没有中靶，则继续射击如果只有靶，则继续射击如果只有3发子发子弹，则射击次数弹，则射击次数X的数学期望为的数学期望为_(用数字作答用数字作答)
6、答案答案：1.24三基能力强化三基能力强化5(2009年高考广东卷年高考广东卷)已知离散已知离散型随机变量型随机变量X的分布列如下表若的分布列如下表若EX0，DX1，则，则a_，b_.三基能力强化三基能力强化关于正态总体在某个区间内取关于正态总体在某个区间内取值的概率求法值的概率求法(1)熟记熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值的值(2)充分利用正态曲线的对称性充分利用正态曲线的对称性和曲线与和曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1.课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一正态分布正态分布课堂互动讲练课堂互动讲练设设XN(5,1)，求，求P(6X7)【思路点拨思路点拨】利用正态分布的利用正
7、态分布的对称性，对称性，P(6X7)P(3X4)课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】由已知由已知5，1.P(4X6)0.6826，P(3X7)0.9544.P(3X4)P(6X7)0.95440.68260.2718.如图，由正态曲线的对称性可得如图，由正态曲线的对称性可得P(3X4)P(6X7)【名师点评名师点评】在利用对称性转在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴化区间时，要注意正态曲线的对称轴是是x，而不是，而不是x0(0)课堂互动讲练课堂互动讲练若其他条件不变，则若其他条件不变，则P(X7)及及P(5X6)应如何求解？应如何求解？课堂互动讲练课堂互动讲练解解：由：由1，5，P(3X
8、7)P(521X521)0.9544，课堂互动讲练课堂互动讲练求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值与方差的均值与方差的步骤：的步骤：(1)理解理解X的意义，写出的意义，写出X的所有可的所有可能取值；能取值；(2)求求X取每个值的概率；取每个值的概率；(3)写写出出X的分布列；的分布列；(4)由均值的定义求由均值的定义求EX；(5)由方差的定义求由方差的定义求DX.另外，当随机变量另外，当随机变量X服从两点分布服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出接由公式求出EX和和DX.课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二求离散型随机变量的期记与方差求
9、离散型随机变量的期记与方差课堂互动讲练课堂互动讲练(2009年高考山东卷年高考山东卷)在某学校组织在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投最多投3次；在次；在A处每投进一球得处每投进一球得3分，分，在在B处每投进一球得处每投进一球得2分；如果前两次分；如果前两次得分之和超过得分之和超过3分即停止投篮，否则投分即停止投篮，否则投第三次某同学在第三次某同学在A处的命中率处的命中率q1为为0.25，在，在B处的命中率为处的命中率为q2.该同学选择该同学选择先在先在A处投一球，以后都在处投一球，以后都在B处投，用处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总表示
10、该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为分，其分布列为课堂互动讲练课堂互动讲练02345P 0.03 p1p2p3p4(1)求求q2的值；的值；(2)求随机变量求随机变量的数学期望的数学期望E；(3)试比较该同学选择都在试比较该同学选择都在B处投处投篮得分超过篮得分超过3分与选择上述方式投篮分与选择上述方式投篮得分超过得分超过3分的概率的大小分的概率的大小课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】首先由首先由P(0)0.03计算出计算出q2，从而可写出分布，从而可写出分布列本题便可求解列本题便可求解【解解】(1)由题设知，由题设知，“0”对对应的事件为应的事件为“在三次投篮中没有一次在三次
11、投篮中没有一次投中投中”，由对立事件和相互独立事件，由对立事件和相互独立事件性质可知性质可知P(0)(1q1)(1q2)20.03，解得解得q20.8.(2)根据题意根据题意p1P(2)(1q1)C21(1q2)q20.7520.20.80.24.p2P(3)q1(1q2)20.25(10.8)20.01.p3P(4)(1q1)q220.750.820.48.p4P(5)q1q2q1(1q2)q20.250.80.250.20.80.24.因此因此E00.0320.2430.0140.4850.243.63.课堂互动讲练课堂互动讲练(3)用用C表示事件表示事件“该同学选择第一次该同学选择第一次
12、在在A处投，以后都在处投，以后都在B处投，得分超过处投，得分超过3分分”，用，用D表示事件表示事件“该同学选择都在该同学选择都在B处处投，得分超过投，得分超过3分分”，则，则P(C)P(4)P(5)p3p40.480.240.72.P(D)q22C21q2(1q2)q20.8220.80.20.80.896.故故P(D)P(C)即该同学选择都在即该同学选择都在B处投篮得分超过处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在分的概率大于该同学选择第一次在A处处投以后都在投以后都在B处投得分超过处投得分超过3分的概率分的概率课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】(1)随机变量的均随机变量的均值
13、等于该随机变量的每一个取值与该值等于该随机变量的每一个取值与该取值时对应的概率乘积的和取值时对应的概率乘积的和(2)均值均值(数学期望数学期望)是随机变量的是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值随机变量取值的平均水平，均值(数学数学期望期望)是算术平均值概念的推广，是概是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均率意义下的平均(3)EX是一个实数，即是一个实数，即X作为随机作为随机变量是可变的，而变量是可变的，而EX是不变的是不变的课堂互动讲练课堂互动讲练利用均值和方差的性质，可以利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算常用性质有
14、：避免复杂的运算常用性质有：(1)ECC(C为常数为常数)；(2)E(aXb)aEXb(a，b为为常数常数)；(3)E(X1X2)EX1EX2；E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2)；(4)D(aXb)a2DX.课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三均值和方差性质的应用均值和方差性质的应用课堂互动讲练课堂互动讲练已知已知X的概率分布为的概率分布为求：求：(1)EX，DX；(2)设设Y2X3，求，求EY，DY.课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】利用性质利用性质E(ab)aEb，D(ab)a2D求解求解【名师点评名师点评】是一个随机变是一个随机变量，则量，则f()一般仍是一个随机变一般
15、仍是一个随机变量，在求量，在求的期望和方差时，要应用的期望和方差时，要应用期望和方差的性质期望和方差的性质课堂互动讲练课堂互动讲练利用期望和方差比较随机变量的利用期望和方差比较随机变量的取值情况，一般是先比较期望，期望取值情况，一般是先比较期望，期望不同时，即可比较出产品的优劣或技不同时，即可比较出产品的优劣或技术水平的高低，期望相同时，再比较术水平的高低，期望相同时，再比较方差，由方差来决定产品或技术水平方差，由方差来决定产品或技术水平的稳定情况的稳定情况课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分
16、12分分)(2008年高考广东卷年高考广东卷)随机抽取某随机抽取某厂的某种产品厂的某种产品200件，经质检，其中件，经质检，其中有一等品有一等品126件、二等品件、二等品50件，三等件，三等品品20件、次品件、次品4件已知生产件已知生产1件一、件一、二、三等品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6万万元、元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件次品亏损件次品亏损2万元，设万元，设1件产品的利润件产品的利润(单位：万元单位：万元)为为.课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求求的分布列；的分布列；(2)求求1件产品的平均利润件产品的平均利润(即即的数的数学期望学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个
17、等级经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为的产品，但次品率降为1%，一等品，一等品率提高为率提高为70%，如果此时要求，如果此时要求1件产件产品的平均利润不小于品的平均利润不小于4.73万元，则三万元，则三等品率最多是多少？等品率最多是多少？课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】解答本题要先解答本题要先确定确定的取值以及取每个值时的概的取值以及取每个值时的概率，从而正确地列出分布列求出率，从而正确地列出分布列求出数学期望数学期望(即平均利润即平均利润)，然后解第，然后解第(3)问时，先设出三等品率为问时，先设出三等品率为x，列，列不等式即可求解不等式即可求解【解解】(1)的所有可
18、能取值有的所有可能取值有6,2,1，2；课堂互动讲练课堂互动讲练故故的分布列为的分布列为课堂互动讲练课堂互动讲练6212P0.630.250.10.02 5分分(2)E60.6320.2510.1(2)0.024.34.7分分课堂互动讲练课堂互动讲练(3)设技术革新后的三等品率为设技术革新后的三等品率为x，则此时则此时1件产品的平均利润为件产品的平均利润为Ex60.72(10.70.01x)x(2)0.014.76x(0 x0.29)，9分分依题意，依题意，Ex4.73，即即4.76x4.73，解得解得x0.03.所以三等品率最多为所以三等品率最多为3%.12分分【名师点评名师点评】解决此类题
19、目的解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第的概率，本题第(3)问充分利用了分布问充分利用了分布列的性质列的性质p1p2pi1.课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)因冰雪灾害，某柑桔因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施若实施方案一，预计第一年两年实施若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、倍、0
20、.9倍、倍、0.8倍的概率分别是倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、倍、1.0倍的概率分别是倍的概率分别是0.5、0.5.若实若实课堂互动讲练课堂互动讲练施方案二，预计第一年可以使柑桔产施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的量达到灾前的1.2倍、倍、1.0倍、倍、0.8倍的倍的概率分别是概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、倍、1.0倍的概率分别是倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种实施每种方案第一年与第二年相互独立，令方案第一年
21、与第二年相互独立，令i(i1,2)表示方案表示方案i实施两年后柑桔产量实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数达到灾前产量的倍数 (1)写出写出 1、2的分布列；的分布列；课堂互动讲练课堂互动讲练(2)实施哪种方案，两年后柑桔产实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为灾前产量，预计利润分别为10万元、万元、15万元、万元、20万元问实施哪种方案的万元问实施哪种方案的平均利润更大？平均利润更大？课堂互动讲练课堂互动讲练
22、解解：(1)1的所有取值为的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，2的所有取值为的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，1、2的分布列分别为：的分布列分别为：课堂互动讲练课堂互动讲练1 10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.15 4分分(2)令令A、B分别表示方案一、方分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，一事件，P(A)0.150.150.3，P(B)0.240.080.32.可见，方案二可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大更大
23、.8分分课堂互动讲练课堂互动讲练20.80.961.01.21.44P0.30.20.18 0.24 0.08(3)令令i(i1,2)表示方案表示方案i的预计利的预计利润，则润，则课堂互动讲练课堂互动讲练1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32所以所以E114.75，E214.1，可见，方案一的预计利润更大可见，方案一的预计利润更大.12分分规律方法总结规律方法总结1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值均值均值EX与方差与方差DX均是一个实均是一个实数，数，EX是算术平均值概念的推广，是是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均；概率意义下的平均；DX表
24、示随机变量表示随机变量X对对EX的平均偏离程度的平均偏离程度DX越大，表越大，表明平均偏离程度越大，说明明平均偏离程度越大，说明X的取值的取值越分散反之，越分散反之，DX越小，越小，X的取值越的取值越集中集中规律方法总结规律方法总结2均值均值(期望期望)与方差的关系与方差的关系均值均值(期望期望)反映了随机变量取值反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值相对于它的均值量所取的值相对于它的均值(期望期望)的的集中与离散的程度，因此二者的关系集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式是十分密切的，且有关系式DXEX2(EX)2.规律方法总结规律方法总结3关于正态总体在某个区间内取值关于正态总体在某个区间内取值的概率求法的概率求法(1)熟记熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线充分利用正态曲线的对称性和曲线与与x轴之间面积为轴之间面积为1.正态曲线关于直线正态曲线关于直线x对称，从而对称，从而在关于在关于x对称的区间上概率相等对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)规律方法总结规律方法总结
