1、公众号码：王校长资源站第2课时数列的综合问题题型一数列与函数例1数列an的前n项和为Sn，2Snan12n11，nN，且a1，a25,19成等差数列.(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列an的通项公式；(3)设bnlog3(an2n)，若对任意的nN，不等式bn(1n)n(bn2)60恒成立，试求实数的取值范围.解(1)在2Snan12n11，nN中，令n1，得2S1a2221，即a22a13，又2(a25)a119，则由解得a11.(2)当n2时，由得2anan1an2n，则1，又a25，则1.数列是以为首项，为公比的等比数列，1n1，即an3n2n.(3)由(2)可知，bnlo
2、g3(an2n)n.当bn(1n)n(bn2)60恒成立时，即(1)n2(12)n60(nN)恒成立.设f(n)(1)n2(12)n6(nN)，当1时，f(n)n60恒成立，则1满足条件；当1时，由于对称轴n0，则f(n)在1，)上单调递减，f(n)f(1)341满足条件，综上所述，实数的取值范围是1，).思维升华 数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法.跟踪训练1(2018葫芦岛模拟)已知数列an满足a11,2an1an，数列bn满足bn2l
3、og2a2n1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围.解(1)由a11，an0，an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得，Tnn23n，m2n26n对任意正整数n都成立.设f(n)2n26n，f(n)2n26n22，当n1或2时，f(n)的最大值为4，m4.即m的取值范围是4，).题型二数列与不等式例2已知数列an中，a1，其前n项的和为Sn，且满足an(n2).(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn1.证明(1)当n2时，SnSn1，整理得
4、Sn1Sn2SnSn1(n2)，2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，(n1)22n，Sn.当n1时，Sn1，方法一当n2时，Sn，S1S2S3Sn 11.原不等式得证.方法二当n2时，S1S2S3Sn，1.原命题得证.思维升华 数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.跟踪训练2已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1a2，a32b36.(1)求数列an，bn的通项
5、公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn0，所以Tn.又因为Tn在1，)上单调递增，所以当n1时，Tn取最小值T1，所以Tn.题型三数列与数学文化例3我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”()A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤答案D解析原问题等价于等差数列中，已知a14，a52，求a2a3a4的值.由等差数列的性质可知a2a4a1a56，a33，则a2a3a49，即中间三尺共
6、重9斤.思维升华我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.跟踪训练3中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作九章算术、算法统宗中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列an的前n项和Snn2，nN，等比数列bn满足b1a1a2，b2a3a4，则b3等于()A.4 B.5 C.9 D.16答案C解析由题意可得b1a1a2S2221，b2a3a4S4S242223，则等比数列bn的公比q3，故b3b2q339.1.(2018包头模拟)设数列an的前n项和为Sn，且Snan1.(1)
7、求数列an的通项公式；(2)若f(x)，设bnf(a1)f(a2)f(an)，求数列的前n项和Tn.解(1)由Snan1得Sn1an11，两式相减得，Sn1Snan1an，即 an1an1an，即 (n1)，所以数列an是公比为的等比数列，又由a1a11得a1，所以ana1qn1n.(2)因为bnf(a1)f(a2)f(an)12n，所以2，所以Tn22.2.已知等差数列an的公差d0，a10，其前n项和为Sn，且a22，S3，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.(1)解由a10得an(n1)d，Sn，因为a22，S3，S4成等比
8、数列，所以S(a22)S4，即(3d)2(d2)6d，整理得3d212d0，即d24d0，因为d0，所以d4，所以an(n1)d4(n1)4n4.(2)证明由(1)可得Sn12n(n1)，所以bn22，所以Tn2n2n1，所以Tn2n0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，则2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)
9、2n1，由，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.5.(2019盘锦模拟)若正项数列an的前n项和为Sn，首项a11，点P(，Sn1)在曲线y(x1)2上.(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tn表示数列bn的前n项和，若Tna恒成立，求Tn及实数a的取值范围.解(1)由Sn1(1)2，得1，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以(n1)1，即Snn2，由公式an得an所以an2n1.(2)因为bn，所以Tnb1b2bn，显然Tn是关于n的增函数，所以Tn有最小值(Tn)minT1.由于Tna恒成立，所以a，于是a的取值范围是.6.已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为9，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项.(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1cn(nN).(1)解设数列an的公差为d，则解得或(舍去)，所以ann1，Sn.又b1a12，b2a34，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明因为anbn(n1)2n，所以Kn221322(n1)2n，所以2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，所以Knn2n1.则cn，cn1cn0，所以cn1cn(nN).公众号码：王校长资源站
